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数学:2.5《等比数列的前N项和》课件(新人教版A必修5)(1) 2


等比数列的前n项和

上节课我们学习了等比数列的有关知识,现在请同 学们首先回顾一下等比数列的有关内容:
等 比 数 列

定义式

an ? a n ?1

q (n≥2,q≠0)

a 2 a3 a 4 an ? q (n≥2,q≠0) ? ?… = 即: ? a n ?1 a1 a 2 a3

通项公式

an= a1qn-1 (a1≠0且q≠0)

在等比数列中,公比q是不能为0的。那它能为1吗? 若能,则是一个什么数列?

提出问题:已知 等比数列{an},公比为q, 求 Sn=a1+a2+…+an 分析:由等比数列的通项公式可知,任一项皆可用首项 及公比来表示,因此上式可变为: 从第二项起,每一项为
前一项的q倍

Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1
我们注意观察相邻两项的结构,有何特点?



如果将等式①两边同乘q,则得到一个新的等式
qSn= a1q+a1q2+a1q3 + … +a1qn ②

Sn=a1+a2+…+ an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ……①

q Sn=
① - ②得

a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……②
Sn-qSn=a1-a1qn

a1 ? a1q n a1 ?1 ? q n ? ? ⑴当q≠1时 Sn= 1? q 1? q ⑵当q=1时 Sn=na1
? a1 (1 ? q n ) ? 即: S n ? ? 1 ? q ?na ? 1 (q ? 1) (q ? 1)

(1-q)Sn=a1-a1qn

当 q≠ 1时

a1 ? a1q Sn ? 1? q

n

a1 ? a1q q ? 1? q
a1 ? an q ? 1? q

n ?1

an= a1qn-1

等比数列的前n项和公式为:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) 或 S n ? ? 1 ? q (2) ?na (q ? 1) ? 1

以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”

当公比q不确定时,应当分q=1和q≠1两种情况讨论。

以下问题你能回答吗? 等比数列的前n项和公式可不只有上面 n的n是项数n吗? 是 ① 公式中的 q 这种方法啊!它的推导方法还有好多种 ,有 兴趣的同学可别忘了下去研究啊 ! ② 在公式(1)中,当q≠1时,
n a ( 1 ? q ), 分母是1-q时,分子是 1 n a ( q ? 1) 。 分母是q-1时,分子是 1

练习:
①等比数列1,21,22,23,…,263 的所有项的和是( D )

A. 264

B.263-1

C.264+1

D.264-1

264-1,这个数很大,超过了1.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g,则填满棋 盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。

②数列a,a2,a3,…,an的前n项和为( D )

1 255 1? 8 ? 1 1 1 ③等比数列 , , ,… 前8项和为_____________ 2 256

a(1 ? a n ) A. 1? a

B. 0

C. n

D.以上都不对

2

4

8

“ , , 一尺之棰 日取其半 万世不竭



1
1 8



1 1 2n 2n

1 4

n天之后取得的
木棒的总长呢?

1 2

1 4

1 8



1 2n

1 1 1 + + + 4 8 2

… +

1 n = 2

?

n天之后,我们总共取的木棒长度为:
1? 1? ?1 ? n ? 1 2? 2 ? ? 1? n 1 2 1? 2

Sn=

例1:远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 其灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? 这首古诗的答案是什么?
数学建模:已知等比数列?an ?,公比q=2 n=7,S7=381求a1
分析:这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景,最后一句把 它变成了一个数学问题?你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗?

解:设尖头有灯a1盏,则由题意得:
a1 ? a1q 7 a1 ? a1 ? 27 即 ? 381 S7= 1? q 1? 2

解得

a1 =3,

故尖头有灯3盏

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q (q ? 1) (q ? 1) ? ? Sn ? ? 1 ? q 或S n ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ?na (q ? 1) ? 1 ? 1

通过上面例题与习题的求解,可以看出,在公式 中涉及到了五个量,我们只要知道其中的三个量,利 用等比数列的通项公式,及等比数列的前n项和公式 就可以求出另外两个量。即“知三求二”。

例2:求和:

1 1 1 2 n Sn= ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) ( x ? 0, x ? 1, y ? 1) y y y
分析:上面各括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后一项 分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和。

解:

∵ x ? 0, x ? 1, y ? 1 1 1 1 2 n Sn = ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n )
y y y

=(x+x2+…+xn)+(

x ? x n?1 y n ?1 ? n?1 = 1? x y ? yn

1 1 1 ? 2 ? ?? n ) y y y 1 1 ( 1 ? ) n n x (1 ? x ) y y ? = 1 1? x 1? y

1 1 1 2 n Sn= ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) ( x ? 0, x ? 1, y ? 1) y y y x ? x n?1 y n ?1 ? n?1 = 1? x y ? yn
引申:(1)当把x≠1这个条件去掉时,上式该如何求和呢? 分析:应该分x=1和x≠1两种情况讨论 (2)当把x≠1,y≠1这两个条件去掉时,上式又该如何求和呢? ① x =1,y=1 ②x =1,y ≠ 1 ③x ≠ 1,y=1 ④ x ≠ 1, y ≠ 1 这四种情况讨论

分析:应该分

四、小结: 1、两个公式:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) 或 S n ? ? 1 ? q (2) ?na (q ? 1) ? 1

2、两种方法:
错位相减法、分组求和法

3、两种思想:
分类讨论的思想(q=1和q≠1)
方程思想(知三求二)

五、 作业:P61

1、 4、 5、 6

等比数列前n项和公式的其他推导方法
(一) 用等比定理推导 an a 2 a 3 a4 ? ? ? ??? ? ?q 因为 a1 a2 a3 a n ?1 a 2 ? a 3 ? a4 ? ? ? ? ? a n ?q 所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an?1 S n ? a1 ?q S n ? an

a1 ? a n q a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) 或 Sn ? 1? q 1? q
n

当 q = 1 时 S n = n a1

(二) 从基本问题出发

公式

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1

= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
n

(q ? 1)


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