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【高考领航】(创新版)2015届高考新一轮总复习数学(理)考点突破课件 第11课时 导数的应用(一)_图文

高考总复习 数学

第11课时

导数的应用(一)

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(一)考纲点击 1 .了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超

过三次).
2 .了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用 导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超 过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项 式函数一般不超过三次).
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(二)命题趋势 1 .利用导数的有关知识,研究函数的单调性、极值、最

值.

2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题.

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1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)

个区间内单调递增;如果f′(x)
区间内单调递减.

> 0,那么函数y=f(x)在这 < 0,那么函数 y=f(x)在这个

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对点演练 (1)函数 f(x)=x2-2lnx 的单调减区间是 ( A.(0,1) C.(-∞,1) B.(1,+∞) D.(-1,1) )

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2 解析:∵f′(x)=2x-x 2?x+1??x-1? = (x>0). x ∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 答案:A

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(2)已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,

则a的最大值是________.
解析:f′(x)=3x2-a在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0, 则f′(1)≥0?a≤3. 答案:3

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2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,

①如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,那么
f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,那么 f(x0)是极小值.

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(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x); f′(x)=0

②求方程

的根;
f′(x)=0 的根的左右两侧导数值的符号, 极小值 .

③检查f′(x)在方程

如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 极大值 ;如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得

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对点演练
(1)(教材习题改编 ) 若函数 f(x) =x3 +ax2 + 3x-9 在x =-3 时取 得极值,则a等于 ( A.2 C.4 B.3 D.5 )

解析:∵f′(x)=3x2+2ax+3,f′(-3)=0,

∴a=5.
答案:D

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(2)(2012·陕西)设函数f(x)=xex,则
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 解析:求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1), 令f′(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,

(

)

易知x=-1是函数f(x)的极小值点.
答案:D

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3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值

与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f ( a) 为函数的最大值, f(a) 为函数的最小值, f(b) 为函数的最大值;若函数 f(x) 在 [a , b] 上单调递减,则 f(b) 为函数的最小值.

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(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a, b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的 极值 ;

②将f(x)的各极值与 f(a),f(b) 进行比较,其中最大的一个是最
大值,最小的一个是最小值.

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对点演练 x3 2 函数 f(x)= 3 +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 解析:f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 17 得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- 3 , 10 17 f(2)=- 3 .可知最小值为- 3 . 17 答案:- 3

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1 .可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部

对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上
的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较. 2.可导函数y=f(x),f′(x)>0(或f′(x)<0)在(a,b)上成立是f(x) 在(a,b)上单调递增(或递减)的充分不必要条件. 3.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的

必要不充分条件.

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4.已知含参函数 f(x) 在某个区间上递增 ( 或递减 ) ,求参数范 围时,常利用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立确定参数的范围,但

最后要对取等号时的值进行检验,f′(x)不可恒为0.
5.求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它们在定义区间内 的一切实根;

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(3) 把函数f(x) 的间断点 ( 即f(x) 的无定义点 ) 的横坐标和上面的 各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数

f(x)的定义域分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

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题型一 利用导数研究函数的单调性 ( 理科 )(2014· 苏州模拟 ) 已知函数 f(x) = ln x - a2x2 +

ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值; (2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调减函数,求实数a的 取值范围.

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【解】

(1)函数 f(x)=ln x-a2x2+ax 的定义域为(0,+∞),

2 2 - 2 a x +ax+1 1 2 ∴f′(x)= -2a x+a= x x

-?2ax+1??ax-1? = . x 1 ①当 a=0 时, f′(x)= x>0, ∴f(x)的增区间为(0, +∞), 此时 f(x) 无极值; 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x=a或 x=-2a(舍去).

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x f′(x) f(x)

? 1? ?0, ? a? ?

1 a 0 极大值

?1 ? ? ,+∞? ?a ?





? ?1 ? 1? ∴f(x)的增区间为?0,a?,减区间为?a,+∞? ? ? ? ?

∴f(x)有极大值为 f

?1? ? ?=-ln ?a?

a,无极小值;

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1 1 ③当 a<0 时,令 f′(x)=0,得 x=a(舍去)或 x=-2a x f′(x) f(x)
? 1? ?0,- ? 2a? ?

1 - 2a 0 极大值

? ? 1 ?- ,+∞? ? 2a ?





? ? ? 1? 1 ∴f(x)的增区间为?0,-2a?,减区间为?-2a,+∞? ? ? ? ?

∴f(x)有极大值为

? ? 1? 1? 3 f?-2a?=ln?-2a?-4 ? ? ? ?

3 =-ln(-2a)-4,无极小值;
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(2)法一:由(1)可知:①当 a=0 时,f(x)在区间(1,+∞)上为增函 数,不合题意; ②当 a>0
?1 ? 时,f(x)的单调递减区间为?a,+∞?, ? ?

1 ? ? ≤1 依题意,得?a ,得 a≥1; ? ?a>0 ③当 a<0
? ? 1 时,f(x)的单调递减区间为?-2a,+∞?, ? ?

1 ? ?- ≤1 1 2 a 依题意,得? ,得 a≤- . 2 ? ?a<0
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综上,实数 a

? 1? 的取值范围是?-∞,-2?∪[1,+∞). ? ?

1 法二:①当 a=0 时,f′(x)= >0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增 x 函数,不合题意; ②当 a≠0 时,f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,只需 f′(x)≤0 在 区间(1,+∞)上恒成立.

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∵x>0 ∴只要 2a2x2-ax-1≥0 恒成立, a ? ? 2≤1 1 4 a ? ∴ ,解得 a≤- 或 a≥1. 2 2 ? ?2a -a-1≥0

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【归纳提升】

已知函数单调性,求参数范围的两个方法

(1)利用集合间的包含关系处理: y=f(x)在(a, b)上单调, 则区间(a, b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减,则 f′(x)≤0”来求解.

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(文科)已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间; (2) 是否存在 a ,使 f(x) 在 ( - 2,3) 上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. 【解】 f′(x)=ex-a, (1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0, 即f(x)在R上递增,

若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a.
因此当a≤0时,f(x)的单调增区间为R,当a>0时,f(x)的单调 增区间是[ln a,+∞).
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(2)∵f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立. ∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.

又∵-2<x<3,∴e-2<ex<e3,只需a≥e3.
当a=e3时,f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上, f′(x)<0,即f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上为减函数.

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针对训练 1. (2013· 课标全国 Ⅰ) 已知函数 f(x) = ex(ax + b) - x2- 4x ,曲

线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8.

从而a=4,b=4.

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(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f′(x)=4e
x

? 1? x (x+2)-2x-4=4(x+2)?e -2?. ? ?

令 f′(x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2) 上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2).


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题型二 利用导数研究函数的极值 (2013·重庆)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线

y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值.

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6 【解】 (1)因 f(x)=a(x-5) +6ln x,故 f′(x)=2a(x-5)+ x.
2

令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)· (x-1),由点(0,6)在切线上 1 可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2

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1 6 2 (2) 由 (1) 知, f(x) = (x - 5) + 6ln x(x > 0) , f′(x) = x - 5 + = 2 x ?x-2??x-3? . x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为 增函数;当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得 2 极小值 f(3)=2+6ln3.

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【归纳提升】 导函数的零点并不一定就是函数的极值 点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是

不是函数的极值点.

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针对训练 ex 2.设 f(x)= 2,其中 a 为正实数. 1+ax 4 (1)当 a=3时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.
2 1 + ax -2ax x 解:对 f(x)求导得 f′(x)=e · 2 2 .① ?1+ax ?

4 (1)当 a=3时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0. 3 1 解得 x1=2,x2=2.结合①,可知
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x f′(x) f(x)

? 1? ?-∞, ? 2? ?

1 2 0 极大值

? 1 3? ? , ? ? 2 2?

3 2 0 极小值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?







3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2

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(2) 若f(x) 为R 上的单调函数,则 f′(x) 在 R 上不变号,结合①与 条件a>0,知ax2-2ax+1≥0,在R上恒成立,即Δ=4a2-4a =4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1.

所以a的取值范围为{a|0<a≤1}.

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题型三 利用导数求函数的最值 (理科)(2013· 浙江)已知 f(x)=x2ln(ax)(a>0). e (1)若曲线 y=f(x)在 x= 处的切线斜率为 3e,求 a 的值; a 1 (2)求 f(x)在[ , e]上的最小值. e a 【解】 (1)∵f′(x)=2xln(ax)+x · ax=x[2ln(ax)+1],
2

e e e ∴3e=f′( )= [2ln(a·)+1],∴a=1. a a a

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(2)由题知 x>0,f′(x)=x[2ln(ax)+1], 令 f′(x)=0,则 2ln(ax)+1=0,得 x= 1 1 a e ,

1 1 ①当 a≥1 时, ≤ .当 x∈[ , e]时,f′(x)≥0, a e e e 1 ∴f(x)在[ , e]上是增函数, e
? ∴[f(x)]min=f? ? ?

1? 1? 1? ? 1 a =eln =e ?ln a-2?; ? e? e ? ?

1 1 1 ②当e<a<1 时, < < e. e a e
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1 1 1 当 x∈[ , ]时,f′(x)<0;当 x∈[ , e]时, e a e a e f′(x)>0, 1 1 1 ∴f(x)在[ , )上是减函数,在[ , e]上为增函数, e a e a e
? 1 ? 1 ? ? ∴[f(x)]min=f? ?=a2eln a e ? ?

1 1 =-2a2e; e 1 1 1 ③当 0<a≤e时, ≥ e.当 x∈[ , e]时,f′(x)<0, a e e 1 ∴f(x)在[ , e]上是减函数, e ∴[f(x)]min=f( e)=e· ln a
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? e=e?ln ?

1? a+2?. ?
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【归纳提升】 在解决类似的问题时,首先要注意区分函数 最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数y=f(x)

在[a,b]内所有使f′(x)=0的点,再计算函数y=f(x)在区间内
所有使f′(x)=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.

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(文科)(2014· 银川模拟)设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),或函数 1 f(x)在 x=1 处与直线 y=-2相切, (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数
?1 ? f(x)在?e,e?上的最大值. ? ?

【解】 (1)因 f(x)=ax3+bx+c, 故 f′(x)=3ax2+b,

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由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16,
? ?f′?2?=0, 故有? ? ?f?2?=c-16, ? ?12a+b=0, 即? ? ?8a+2b+c=c-16, ? ?12a+b=0, 化简得? ? ?4a+b=-8,

解得 a=1,b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c; f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
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令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x1=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4.
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当 x∈(-∞, -2)时, f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞, -2)上为增函数;

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针对训练 3.(2014· 浙江十校联考)已知函数 f(x)=ln x+ax(a∈R). (1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=x2-4x+2,若对任意 x1∈(0,+∞),均存在 x2∈ [0,1],使得 f(x1)<g(x2),求 a 的取值范围. 1 ax+1 解析:(1)f′(x)=a+ = (x>0). x x ①当 a≥0 时,由于 x>0,故 ax+1>0,f′(x)>0, 所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
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1 ②当 a<0 时,由 f′(x)=0,得 x=- . a
? ? 1 ? 1? 在区间?0,-a?上,f′(x)>0,在区间?-a,+∞?上,f′(x)<0, ? ? ? ?

所以函数

? 1? f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ?0,-a? , 单 调 递 减 区 间 为 ? ?

? 1 ? ?- ,+∞?. ? a ?

(2)由题意得 f(x)max<g(x)max,而 g(x)max=2, 由(1)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故 不符合题意.
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当 a<0 故

? ? 1 ? 1? 时, f(x)在?0,-a?上单调递增, 在?-a,+∞?上单调递减, ? ? ? ?

? 1? ? 1? f(x)的极大值即为最大值,f?-a?=-1+ln?-a?=-1-ln(-a), ? ? ? ?

1 所以 2>-1-ln(-a),解得 a<- 3. e

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满分指导:利用导数求函数最值问题 【典例】 (满分 15 分)(2013· 浙江)已知 a∈R, 函数 f(x)=2x3-3(a +1)x2+6ax. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

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【规范解答】 (1)当 a=1 时,f′(x)=6x2-12x+6,所以 f′(2) =6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y-4=6(x-2), 即 6x-y-8=0.3 分 (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f′(x)=0,得 x1=1,x2=a. 5 分 当 a>1 时,

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x f′(x) f ( x)

0

(0,1) +

1 0

(1,

a)


a 0

(a,2a) +

2a

0

单调 极大值 单调
递增 3a-1

极小值

单调
递增

递减 a2(3-a)

4a3

7分

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比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得
? ?0,1<a≤3, g(a)=? 2 ? ?a ?3-a?,a>3.

9分

当 a<-1 时,

x f′(x) f ( x)

0

(0,1) -

1 0 极小值3 a -1

(1,-2a) + 单调递 增

-2a

0

单调 递减

-28 a3-24 a2

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得 g(a)=3a-1.13 分 综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为 ?3a-1,a<-1, ? g(a)=?0,1<a≤3, ?a2?3-a?,a>3. ?

15 分

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【失分警示】 1.导数的几何意义不明确出错.

2.易忽视对a分类讨论或分类不准确造成失误.
3.极值和端点值大小比较致误出错. 4.对讨论的结果不会总结致误.

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