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例谈立体几何中的排列组合概率问题


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数 学 教 学 研 究 

2 0 0 5年第 l 2期 

例 谈 立 体 几何 中 的排 列组 合 概 率 问题 
张 世林 谭 升 平 
4 4 4 3 0 0 )   ( 湖 北 省 巴 东县 第一 中 学

在 近 几 年 的 高 考 试 题 中 出 现 了 以立 体 几 何 中 的 
点、 线、 面的 位置 关 系 为 背景 的排 列 、 组合、 概 率 问  题, 这类问题情 景新 颖 , 多 个知识 点 交 汇在一 起 , 综 

的棱的中点也共面 , 共 有 4×C   =8种 不 同 的 取 法.   故 不 同 的取 法 共 有 4 O+8 +8= 5 6种.  

点评

这类 问题应 根 据立 体 图形 的几何 特点 ,  

合性强 . 能 力要求高 , 往往作 为高考选择 填空题 的压 
轴题 。 它不 仅 考 查相 关 的 基 础 知 识 , 而 且 还 注 重 对 数  学 思 想 方 法 的考 查 , 注 重 对 数 学 能 力 的考 查 .  
1 共 面 问题 : 分 类 讨 论 

选取恰当的分类 标 准 , 做 到 分类 不 重复 , 也 不遗漏.   在 例 2中 , 因为 经 过 一 条 直 线 和 直 线 外 一 点 有 且 仅  有一个平面 , 学 生最容易漏掉 的是第③ 类 , 最 易 重 复  的也 是 第 ③ 类 .  
2 异 面 问题 : 灵 活 转 化 

倒l  ( 2 0 0 5年 全 国卷 Ⅲ ) 不共 面 的 四个 定 点 到  平 面 a的距 离 都 相 等 , 这 样 的 平 面 a共 有 (  
( A) 3个  ( B ) 4个  ( c ) 6个  ( D) 7个 .   解析 事实上 , 平 面 a可 以 分 为 两 类 : 一 类 是 在 

)  

例3  ( 2 0 0 5年 全 国卷 I) 过 三 棱 柱 任 意 两 个 顶  点的直线共 1 5条 , 其 中异 面 直 线 有 (  
( A) 1 8对 ( B) 2 4对 ( C ) 3 O对

) .  
( D) 3 6对 .  

平 面 a的 两 侧各 有 两 个 点 ; 另 一 类 是 在 平 面 a 的 两 

解析

大 家 知 道 一 个 三 棱 锥 可 以 确 定 3对 异 面 

饲分别有一个点 和三 个点. 不 共 面 的 四 个 定 点 可 以 
构成三棱锥 , 如图 1 , 设 E、 F 、 G、 H、 肘 分别 是 A B、 A C、  

直线 , 一 个 三 棱 柱 可 以 组 成  一3=1 2个 三 棱 锥 , 因 

A D、 C D、 B D的中点 , 过 E、 F 、 G 三 点 的平 面 a满 足 题  意。 这 样 的平 面 有 四 个 ; 又 过 E、 , 、  、 肘 的 平 面 a也  满足题意 , 这样 的 平 面 有 三 个 .  
故 适 合 题 设 的平 面 a共 有 七 个 , 应选 ( D) .  
P  

此共有 3 6对 异 面 直线 , 故选 ( D) .   点评 利用熟 知 的立 体 图形 来灵 活转化 , 是 处 

理异面直线配对 的常用方法.   例4 ( 2 0 0 5年 江 苏高 考题 ) 四棱 锥 的 8条 棱 分 

别代 表 8种 不 同 的化 工 产 品 , 有 公 共 点 的 两 条 棱 所 
代 表 的化 工 产 品 在 同 一 仓 库 存 放 是 危 险 的 , 没 有 公  共 点 的棱 所 代 表 的化 工 产 品 在 同 一 仓 库 存 放 是 安 全 



岔  c  
图 1   图2  

的, 现有编号①② ③④ 的 四个仓 库存 放 这 8种 化工 
) .  

产品 , 则 安 全 存 放 的不 同 方 法 总 数 为 (  
( A) 9 6 ( B) 4 8 ( C ) 2 4 ( D) 0 .  

解析

如图 3 , 分 别用 1 — 8标 号 的棱 表 示 8种 

倒2 ( 2 0 0 5年 高 考 模 拟 题 ) 在 四棱 锥 P -A B ?  

C D中 。 顶 点 为 P, 从 其 他 的 顶 点 和 各 棱 的 中 点 中 任 
取 3个 . 使 它 们 和 点 P在 同一 平 面 上 , 不 同 的 取 法 有  (   ) 种.  
( A) 4 0   ( B) 4 8   ( C ) 5 6   ( D) 6 2 .  

不 同 的化 工 产 品 , 易 知 可 以 两 两 放 入 同一 仓 库 的 情 
况如 下 : ( 实质就是 异面直线配对 )  
5   8   5   6   6   7  

<   2 <  

s <  
7  

4 <  
8  

解析

如图 2 , 满 足 题 设 的取 法 可 分 为 三类 :  

故 8种 产 品 安 全 存 放 有 “ ( 1 , 5 ) 、 ( 2 , 6 ) 、 ( 3 , 7 ) 、  

①在 四棱锥 的每 个侧 面上 除 P点外 任取 3点 ,  
有 4×C   = 4 0种 取 法 ;  

( 4 , 8 ) ” 和“ ( 1 , 8 ) 、 ( 2 , 5 ) 、 ( 3 , 6 ) 、 ( 4 , 7 ) ” 两种可能 ,  

故所求的方法种数为 2 A : = 4 8 ( 种) , 故选( B ) .  
点评 这道实际应用题 用四棱锥 的 8条棱 的关 
系来 研 究 化 工 产 品 的存 放 种 数 , 体 现 了数 学 建 模 的  思想 , 学生在解决 问题 时 , 首先 要 通过 阅读 , 理 解 题 

② 在两个 对角面 上 除点 P外任 取 3点 , 共有 2  

× c l = 8 种不同取法;  
③ 过 点 P 的每 一 条 棱 上 的 三 点 和 与 这 条 棱 异 面 

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2 0 0 5年 第 1 2期 

敛 学 教 学 研 究 

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目所 传 递 的信 息 , 然 后 将 问 题 转 化 为 四 棱 锥 的 8条 

棱 之 间 的排 列 组 合 情 况 , 这 体 现 了 对 数 学 思 维 能 力 
较 高 的考 查 要 求 . 从几何模 型上分析 . 关 键 在 于 把 四  棱 锥 的八 条 棱 分 成 四对 异 面 直 线 .  

率 P 等 于 多 少 ? 显 然 ' P - 警=   1 8 ;  
⑤从 5 6个 三 角 形 中 任 取 两 个 三 角 形 不 共 面 的 
概 率 P等 于多 少 ? 利 用 求 对 立 事 件 概 率 的 公 式 得 P   -l -   =   . 故选 ( A) .  

点评

这是 一道 以立 体 几何 熟知 内容 为载 体 ,  

构思巧妙 , 综合考查 立 几 、 排列 组 合 、 概 率 等 基 础 知  识。 深入考查学生的数学思 维能力 的上乘之作. 本 题  的得 分 率 较 低 , 学生主要失误 表现在以下几方面 :  
图3   图4  

( I ) 面对一个 复 杂的 问题 , 茫 然不知 所措 , 缺 乏  明确 的解 题 目标 意 识 。 不 善 于 将 其 分 解 为 若 干 个 子  问题 , 逐 一分 析 . 各 个 击 破.   ( 2 ) 漏 掉 平 行 六 面 体 的 六 个 对 角 面 也 是 四 点 共 

3 综合问题 : 化整为零 。 各 个 击 破  例5 ( 2 0 0 5年 湖 北 高 考 题 ) 以平行六 面体 A B —   c D —A .  . c . D. 的任意三个顶点 为顶点作 三角形 , 从 

中 随机 取 出两 个 三 角 形  则 这 两 个 三 角 形 不 共 面 的 
概 率 P为 (   ( A )   解析 ) .   ( B )   ( c)   ( D)  

面 的 情 形 . 造 成 所 求 概 率 P - 1 . 警=  , 误 选  
( B ) , 这 是 由立 几 知识 产 生 的错 误 .  

如图4 , 此 问 题 可 分 解 成 五 个 小 问题 :  

( 3 ) 审题 不清 , 一部 分 同学就 是求 从 5 6个 三 角  形 中任 取 两 个 三 角 形 , 它 们 共 面 的 概 率 
P-

① 由平 行 六 面体 的八 个 顶 点 可 以 组 成 多 少 个 三 

角形?可组成 C : = 5 6 个三角形;  
② 平 行 六 面 体 的八 个 顶 点 中 四 点 共 面 的情 形 共 
有 多少 种 ?平 行 六 面 体 的 六 个 面加 上 六 个 对 角 面 共 
l 2个 平 面 ;  

警=   1 8  ( D ) .  

“ 在 知识 网 络 交 汇 点 设 计 试题 ” 是 近 几 年 新 高 考  命题改革特别 反复 强调 的重 要理 念之 一 , 在 复 习 备 
考过程 中 , 要把握好知识 问的纵横 联系与综 合 , 打 破 

③在上述 1 2个平 面内 的每个 四边形 中共 面 的 
三 角 形 有 几 个 ? 有  = 4 ( 个) ;  

数 学 内部 学 科 界 限 , 使 学 生 对 所 学 内 容 真 正 融 会 贯  通, 运 用 自如 , 形 成 有 序 的 网络 化 的知 识 体 系.  

④从 5 6个 三角 形 中 任 取 两 个 三 角 形 共 面 的概 



元二 次 方程 实 根 分布 定 理 及其 应 用 
朱 家 海 
( 云 南 省 会 泽 县 大井 一 中 6 5 4 2 2 2 )  

所谓一元二 次方 程根 的分 布 问题 。 就 是 通 过 对 


问题 的探 讨 .  
1 基 础 知 识  性质 1   ( 判别式 定 理 ) 对 于 一 元 二 次 方 程 似 

元二 次 方 程 的 含 参 变 量 的 讨 论 . 来 确 定 其 根 在 实 

轴 上 的位 置 关 系 , 是 初 中 数 学 竞 赛 的 一 个 重 点 和 热 

点 内容 . 本 文仅 依 托 根 的判 别 式 与 韦 达 定 理 , 借 助 方 
程与不等式 ( 组) 这些 简单 知识 , 就 可 以 巧 妙 破 解 这 

+ h+ c = 0 ( 口 ≠0 ) , 有  ( I ) 无 实 数 根 甘 △=b   一 4 a c< 0 ;   ( 2 ) 有 两个 相 等 实 数 根 骨 △ = b  一 4 a e= 0 ;  

类 公 认 的复 杂 而 且 综 合 性 极 强 的 问 题 , 而 不 必 构 造  二 次 函数 , 借助 抛 物 线 的 直 观 性 求 解 .   。 温故而知新 ” , 让 我 们 从 温 习 初 中 教 科 书 一 元  二 次方 程 的相 关 基 础 知 识 入 手 , 来 逐 步 展 开 对 本 文 

( 3 ) 有 两 个 不相 等 实 数 根 甘 △ = b  一 4 a c >0 .   性质 2   ( 韦达定 理 ) 若 . 、   是 一 元 二 次 方 程 


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