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广西桂林中学2013届高三数学8月月考试题 理【会员独享】


桂林中学 2013 届高三 8 月月考试题(理科数学)
本套试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分. 考试时间:120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本题共 12 题,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

( x ? 2) ?a ? log 2 x ? 2 1.已知函数 f ( x) ? ? x ? 4 在点x ? 2处 连续,则常数 a 的值是( ( x ? 2) ? ? x?2
A.2 B.3 C.4 D.5w.w.w.k.s.5.u.c.o. ( )



2.物体运动的方程为 s ?

1 4 t ? 3 ,则当 t ? 5 的瞬时速度为 4

A.5 B. 25 C. 125 D. 625 3.随机变量 ? 服从二项分布 X~ B?n, p ? ,且 EX ? 300, DX ? 200, 则 p 等于( A.



2 3

B. 0

C. 1

D.

1 3

1? ax ? ( ) x ? ?? 2 ? 3a x 1 1 1 1 A. B. ? C. 或 ? D.不存在 2 2 3 3 1 1 5.从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 ,从两袋中各摸 3 2 2 出一个球,则 等于 ( ) 3
4. 已知 a ? 1 ,则 lim A. 2 个球都不是红球的概率 C. 至少有 1 个红球的概率 B. 2 个球都是红球的概率 D. 2 个球中恰有 1 个红球的概率

6.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位)则 A. ?i B. i C. 1

z ? z 2 的值为 z





D. ?1 ( C. 60 D. 15 ( ) )

7. (2 x ? 1)6 展开式中含 x 2 项的系数为 A. 240 B.120 8.下列四个命题中,不正确 的是 ...
x→x0

A.若函数 f ( x ) 在 x ? x0 处连续,则 lim? f ( x) ? lim? f ( x)
x→x0

x?2 的不连续点是 x ? 2 和 x ? ?2 x2 ? 4 C.若函数 f ( x ) , g ( x) 满足 lim[ f ( x) ? g ( x)] ? 0 ,则 lim f ( x) ? lim g ( x)
B.函数 f ( x ) ?
x→? x →? x→?

用心

爱心

专心

1

D. lim
x→1

x ?1 1 ? x ?1 2
1 1 1 ? ??? n ? n(n ? N , n ? 1) 时,在第二步证明从 n=k 2 3 2 ?1
( C. 2
k ?1

9.用数学归纳法证明 1 ?

到 n=k+1 成立时,左边增加了的项数是 A. 2
k



k B. 2 ? 1

k D. 2 ? 1

10.世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到 A 、 B 、 C 三个 不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到 A 馆,则不同的分配方案有 ( ) A. 36 种 B. 30 种 C. 24 种 D. 20 种 11.在各项均为实数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 4, a4 ? A. 2 B. 8
x ?3

1 ,则 lim S n ? n ?? 2

( D. 32



C. 16

12.已知 f (3) ? 2, f ?(3) ? ?2 ,则 lim A. ? 4 B. 8 C. 0

2 x ? 3 f ( x) 的值为( ) 。 x?3
D.不存在

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分. 13.已知随机变量ξ 服从正态分布 N(0, ? ) ,若 P(ξ >2)=0.023,则 P(-2 ? ξ ? 2)
2

= 。 14.三棱锥 A-BCD 的侧棱两两相等且相互垂直,若外接球的表面积 s=8π ,则侧棱的长= _________________。 15.某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟 采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专 业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取____名学生。 16.函数 y ? sin x ? (cos x ? 1) 的导数是 。

三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 10 分) (请在答题卡上答题) (1)求 ?1 ? 2 x ? 的展开式中的第 3 项的系数.
7

? ? 1 (2) 求 ? x ? ? 2 ? 展开式中的常数项. ? ? x ? ?

3

用心

爱心

专心

2

18、 (本小题满分 12 分) (请在答题卡上答题)

2 ,甲、乙、 5 3 3 丙三人都能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且乙通 20 40
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? .

19、 (本小题满分 12 分) (请在答题卡上答题) 如图,已知在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? DC ,19、 D (本小题满分 12 分) (请在
1

答题卡上答题) 如图,已知在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? DC ,

C1 A1 B1

AB ∥ DC , DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .
(I)求证: DB ? 平面 B1 BCC1 ; (II)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. A D B C

20、 (本小题满分 12 分) (请在答题卡上答题) 某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每生产一件 产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f (x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x ,    x ? 400 0? ? ,每件产品的售价 g (x) 与产量 x 之间的关系式为 f ( x) ? ? 625 ?256,    x ? 400 ? ? 5 0? ?? x ? 750,    x ? 400 . g ( x) ? ? 8 ?500,      x ? 400 ?
(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q(x) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润.

21. (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD, 且 PD=AB=2,E 是 PB 的中点,F 是 AD 的中点.
用心 爱心 专心 3

⑴求异面直线 PD 与 AE 所成角的大小; ⑵求证:EF⊥平面 PBC ; ⑶求二面角 F—PC—B 的大小..

P

E D F A

C

B

22. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a、b、c、d∈R)满足:对任意

x ? R 都有 f ( x) ? f (? x) ? 0 , f ?(1) ? 0 , f (1) ? ?
(1) f (x ) 的解析式;

2 3

(2)当 x ? [?1,1] 时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直; (3)设 F ( x) ? xf ( x) ,证明: x ? (0, 3 ) 时, F ( x ) ? 桂林中学 2013 届高三 8 月月考(数学理科)答案 一、选择题 题号 答案 0.954 三、解答题: 1 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 B 12 B 二、填 空题 13.

3 . 4

14. 2 6 3

15. 40

16. cos 2 x ? cos x

2 ,甲、 5 3 3 乙、丙三人都能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且 20 40
18.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 乙通过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? . 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:

3 ?2 ? 5 xy ? 20 , ? ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y ) ? 3 , ?5 40 ?

3 ? ?x ? 4 , ? 即? ?y ? 1. ? 2 ?



1 ? ?x ? 2 , ? (舍去)┅┅┅┅┅┅┅4 分 ? ?y ? 3. ? 4 ?

用心

爱心

专心

4

3 1 、 . ┅┅┅┅┅┅┅6 分 4 2 3 3 P (? ? 3) ? (Ⅱ)因为 P (? ? 0) ? 40 20 2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 P(? ? 1) ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 5 4 2 5 4 2 5 4 2 20 17 P (? ? 2) ? 1 ? ( P0 ? P ? P3 ) ? 1 40 3 7 17 3 33 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 所以 E? = 0 ? ┅┅┅┅┅┅┅12 分 40 20 40 20 20
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 19. (本题满分 12 分) 如图,已知在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? DC ,

AB ∥ DC , DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .
(I)求证: DB ? 平面 B1 BCC1 ; (II)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. 19. 解法一: (I)设 E 是 DC 的中点,连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

? BE ? CD . 故 BD ? 2 , BC ? 2 , CD ? 2 , ?∠DBC ? 90? , 即 B D ? B.……….. 2 分 C
……..3 分? BD ? 平面 BCC1B1 ,

BD ? BB1 B1B ? BC ? B.

D1

…….5 分 H

(II)由(I)知 DB ? 平面 BCC1B1 , 又 BC1 ? 平面 BCC1B1 ,? BD ? BC1 ,

C1

A1

B1
M D F C

取 DB 的中点 F , 连结 A1F ,又 A1D ? A1B ,则 A1F ? BD . 取 DC1 的中点 M ,连结 FM ,则 FM ∥ BC1 ,? FM ? BD . A

E B

?∠A1FM 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角.
连结 A1M ,在 △A1FM 中, A1 F ?

………8 分

3 1 1 6 2 , FM ? BC1 ? BC 2 ? CC12 ? , 2 2 2 2

取 D1C1 的中点 H ,连结 A1H , HM , 在 Rt△A HM 中,? A H ? 2 , HM ? 1 ,? A M ? 3 . 1 1 1 ………..10 分

用心

爱心

专心

5

9 3 ? ?3 A1F 2 ? FM 2 ? A1M 2 3 2 2 . ? cos ?A1FM ? ? ? 2 A1F ? FM 3 3 2 6 2? ? 2 2

? 二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

3 . 3

…..12 分

解法二: (I)以 D 为原点, DA DC,DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所 , 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 D( 0 , 0 ) B(11 0) , C1 (0,2,2) , A1 (1 0, , ,0 , , , , 2)

B1 (11, , C (0,2,0) . ,2)

……….. 2 分 ………..3 分 z

??? ? DB ? (11 0) , BC ? (?1,1,0) , BB1 ? (0,0,2) , ,

BD ? BC ? ?1 ? 1 ? 0 ? BD ? BC

D1
A1
……..5 分

BD ? BB1 ? 0 ? BD ? BB1
又因为 B1B ? BC ? B. 所以, DB ? 平面 B1 BCC1 . (II)设 n ? ( x,y,z ) 为平面 A BD 的一个法向量. 1

C1
B1

??? ? ???? ? ??? ? 由 n ? DA , n ? DB , DA1 ? (1,0,2),DB ? (11 0) , , 1
得?

D x A B C

y

? x ? 2 z ? 0, ? x ? y ? 0.

2 1) 取 z ? 1 ,则 n ? (?2,, .

……….7 分

又 DC1 ? (0,2) , DB ? (11 0) ,设 m ? ( x1,y1,z1 ) 为平面 C1BD 的一个法向量, , , 2, 由 m ? DC1 , m ? DB ,得 ?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

?2 y1 ? 2 z1 ? 0, ,, 取 z1 ? 1,则 m ? (1 ? 11) ,…….9 分 ? x1 ? y1 ? 0.

设 m 与 n 的夹角为 ? ,二面角 A1 ? BD ? C1 为 ? ,显然 ? 为锐角,

? cos ? ?| cos? |?

|m ? n| 3 3 , ? ? |m||n| 3 9? 3

………..12 分

20、.某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每 生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f (x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x ,    x ? 400 0? ? ,每件产品的售价 g (x) 与产量 x 之间的关系式为 f ( x) ? ? 625 ?256,    x ? 400 ?
用心 爱心 专心 6

? 5 0? ?? x ? 750,    x ? 400 . g ( x) ? ? 8 ?500,      x ? 400 ?
(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q(x) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 20. 解:(Ⅰ)总成本为 c( x) ? 14000 ? 210x .1 分 所以日销售利润 Q( x) ? f ( x) g ( x) ? c( x)

? 1 3 6 2 x ? x ? 210x ? 14000,    x ? 400 0? ?? 5 ? ? 1000 ?? 210x ? 114000,          ? 400 x ?
(Ⅱ)①当 0 ? x ? 400 时,

Q / ( x) ? ?

3 2 12 x ? x ? 210 . 1000 5

令 Q / ( x) ? 0 ,解得 x ? 100 或 x ? 700 .……7分 于是 Q(x) 在区间 [0,100] 上单调递减,在区间 [100,400] 上单调递增,所以 Q(x) 在 x ? 400 时 取到最大值,且最大值为 30000;……9分 ②当 x ? 400 时, Q( x) ? ?210x ? 114000 ? 30000 . 综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元.

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)连结 BD ∵PD⊥平面 ABCD,

P

∴平面 PDB⊥平面 ABCD, 过点 E 作 EO⊥BD 于 O,连结 AO. 则 EO∥PD,且 EO⊥平面 ABCD .∴∠AEO 为异面直线 PD,AE 所成的角…………3 分 C D F B A

1 ∵E 是 PB 的中点,则 O 是 BD 的中点,且 EO= PD=1. 2 AO ? 2. 在 Rt△EOA 中,AO= 2 , ? tan AEO ? EO

即异面直线 PD 与 AE 所成角的大小为 arctan 2. …………………………… 4 分 (Ⅱ)连结 FO, ∵F 是 AD 的中点, ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面 ABCD,

由三垂线定理,得 EF⊥AD.又∵AD∥BC,∴EF⊥BC. ………………… 6 分 连 结 FB. 可 求 得 FB = PF = 5. 则 EF ⊥ PB. 又 ∵ PB ∩ BC = B , ∴ EF ⊥ 平 面 PBC. …………………8 分
用心 爱心 专心 7

(Ⅲ)取 PC 的中点 G,连结 EG,FG.则 EG 是 FG 在平面 PBC 内的射影 ∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥BC 又 DC⊥BC,且 PD∩DC = D, ∴BC⊥平面 PDC,∴BC⊥PC,∵EG∥BC,则 EG⊥PC∴FG⊥PC ∴∠FGE 是二面角 F—PC—B 的平面角 ………………………………………10 分 在 Rt△FEG 中,EG=

1 BC = 1,GF = 2

DF 2 ? DG2 ? 3 ,

? cos FGE ?

3 EG 1 3 ? ? . ∴二面角 F—PC—B 的大小为 arccos . …12 分 3 FG 3 3

说明:如学生用向量法解题,则建立坐标系给写出相关点的坐标给 2 分,第(1)问正确给 2 分,第(2)问正确给 4 分,第(3)问正确给 4 分。 22.解: (I)因为, ?x ? R, f (? x) ? ? f ( x) 成立,所以: b ? d ? 0 , 由: f ?(1) ? 0 ,得 由: f (1) ? ?

3a ? c ? 0 ,

2 2 ,得 a ? c ? ? 3 3 1 1 3 解之得: a ? , c ? ?1 从而,函数解析式为: f ( x ) ? x ? x …………4 分 3 3
(2)由于, f ?( x) ? x 2 ? 1 ,设:任意两数 x1 , x2 ? [?1,1] 是函数 f (x) 图像上两点的横坐
2 2 标,则这两点的切线的斜率分别是: k1 ? f ?( x1 ) ? x1 ? 1, k 2 ? f ?( x2 ) ? x2 ? 1

又因为:? 1 ? x1 ? 1,?1 ? x2 ? 1 ,所以,k1 ? 0, k 2 ? 0 ,得:k1k 2 ? 0 知:k1k 2 ? ?1 故,当 x ? [?1,1] 是函数 f (x) 图像上任意两点的切线不可能垂直…………9 分
2

(3)当: x ? (0, 3 ) 时, x 2 ? (0,3) 且 3 ? x ? 0

此时

1 1 1 x2 ? 3 ? x2 2 3 F ( x) ? xf ( x) ? x( x 3 ? x) ? x 2 (3 ? x 2 ) ? ? ( ) ? 3 3 3 2 4
当且仅当: x ? 3 ? x , 即 x ?
2 2

3 6 ? (0, 3 ) ,取等号,故: F ( x) ? …………12 分 4 3

用心

爱心

专心

8


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