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第1讲 函数及其表示 【学生版】

第1课
【高考会这样考】

函数及其表示

1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查. 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习 弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:(1)求函数的定义域 的方法;(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用. 基础梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做定义域,与 x 的值 对应的 y 值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等; 这是判断两函数相等的依据. 注:函数即非空数集之间的映射 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法. 3.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么 就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. ① 像与原像: ② 一一映射:

1

一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x)) 的定义域;②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定 义域. 两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 三个要素 函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系 所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函 数是特殊的映射,映射 f:A→B 的三要素是两个集合 A、B 和对应关系 f.

题型一

映射与函数的概念


题 1:若 f : A ? B 构成映射,下列说法中正确的有( ① A 中任一元素在 B 中必须有像且唯一 ; ② B 中的多个元素可以在 A 中有相同的像; ③ B 中的元素可以在 A 中无原像; ④ 像的集合就是集合 B. A.①② B.③④ C.①③

D.②③④

变式 1:函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是(
A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2



变式 2: (09 年山东梁山)设 f、g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到
下) :映射 f 的对应法则是表 1
原象 象 1 3 2 4 3 2 4 1

映射 g 的对应法则是表 2
原象 象 1 4 2 3 3 1 4 2

2

则与 f [ g (1)] 相同的是(



A. g[ f (1)] ;B. g[ f (2)] ;C. g[ f (3)] ;D. g[ f (4)]

题型二

同一函数的判定

函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 题 1:下列哪个函数与 y=x 相同( A. y= x B. y ? )

x2 ???

C. y ?

? x?


2

D.y=t

变式 1.下列函数中哪个与函数 y ? ?2 x3 相同( A. y ? x ?2x B. y ? ? x ?2 x

C. y ? ? x ?2x3

D. y ? x

2

?2 x

变式 2. 下列各组函数表示相等函数的是( A. y ? B. y ?



x2 ? 9 与 y ? x?3 x ?3

x2 ? 1 与 y ? x ? 1

0 C. y ? x (x≠0) 与 y ? 1 (x≠0)

D. y ? 2 x ? 1 ,x∈Z 与 y ? 2 x ? 1 ,x∈Z

题型三 求函数的定义域
(1)当 f(x)是整式时, (2)当 f(x)是分式时, (3)当 f(x)是偶次根式时, (4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时, (5)当 f(x)是对数式时, (6)f(x)为 tan x 的定义域为
3

; ; ; ; .

例 1、求下列函数的定义域: (1)f(x)= (2)f(x)= |x-2|-1 ; log2 x-

x+
-x -3x+4
2

.

变式 1. 求下列函数的定义域

1 1 ⑴ y ? 2x ? 3 ? ? 2? x x
⑶ y ? log x?1 ?1 ? 3x ?

? x ? 1? ⑵y?

0

x ?x

求复合函数的定义域 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; ②若 y=f(g(x))的定义域为(a ,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. 例 5. 已知函数 f( 2 x ? 1 )定义域为 ? ?1,3? , 求 f(x)的定义域

变式 2. 已经函数 f(x)定义域为[ 0 , 4], 求 f ( x 2 ) 的定义域

? 1 1? 1 变式 1 (1)已知 f(x)的定义域为?- , ?,求函数 y ? f ( x 2 ? x ? ) 的定义域; ? 2 2? 2 (2)已知函数 f(3-2x)的定义域为[-1,2],求 f(x)的定义域.

4

题型四
1、 观察法 题 1:求函数 y ?

求函数的值域

x ? 1 的值域.

2、配方法 题 1:求 y ? x 2 ? 4 x ? 6 ,x∈ ?1,5? 的值域.

变式 1:求函数 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的值域.

3、换元法 题 1:求 y ? 2x ? x ?1 的值域.

变式 1:求函数 f ( x) ? 3 ? 4 ? 2 ? 3, x ?[?1,2] 的值域.
x x

4、均值不等式法 题 1:求函数 f ( x ) ?

x2 ? 4 , x ? 0 的值域. 4x

变式 1:求函数 y ? x ?

1 的值域. x ?1

5

5、分离常数法 题 1:求 y ?

x 的值域. x ?1

变式 1:求函数 y ?

3x ? 5 的值域. x ?1

6、判别式法 题 1:求 y ?

x2 ? 2 x ? 3 的值域. x2 ? x ? 1

x2 ? x ? 1 变式 1:求函数 y ? 2 的值域. x ? x ?1

变式 2:求函数 y ?

2x2 ? 4x ? 7 的值域. x2 ? 2x ? 3

7、有界性法 题 1:求函数 y ?

x2 的值域. x2 ? 2

2e x ( x ? [0,1]) 的值域. 变式 1:求函数 y ? x e ?2

6

8、数形结合法 题 1:已知 0 ? x ? ? ,求函数 y ?

2 ? cos x 的值域. sin x

变式 1:已知 x ? [0, 2? ) ,求函数 y ?

1 ? sin x 的值域. 2 ? cos x

题型五 1、拼凑法

求函数的解析式

题 1:已知 f( x ? 1 )= x 2 ? 3x ? 2 ,求 f( x )的解析式.

变式 1:已知 f(x+1)= x 2 ? 2 x ? 3 ,求 f(x)的解析式

1 1 变式 2:已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x ) 的解析式. x x

2、换元法
2 题 1:已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f(x)的解析式. x

7

变式 1:已知 f (

1 ? x 1 ? x2 )? ,求 f ( x ) 的解析式. 1 ? x 1 ? x2

3、待定系数法 题 1:若 f [ f(x)] = 4x+3,求一次函数 f(x)的解析式.

变式 1. 已知 f(x)是二次函数,且 f ? x ? 1? ? f ? x ?1? ? 2x ? 4x ? 4 ,求 f(x).
2

4、方程组法

题 1:已知 f(x) ? 2 f( ? x)= x ,求函数 f(x)的解析式.

变式 1:已知 2 f(x) ? f( ? x)= x+1 ,求函数 f(x)的解析式.

变式 2:已知 2 f(x) ? f ?

?1? ? = 3x ,求函数 f(x)的解析式. ? x?

题型六

分段函数

题 1:已知函数

f ? x?

? ? f ? x ? 2 ??????x ? ?1 ,求 f [f( ?4 )]的值 ?? ?2 x ? 2???????? 1 ? x ? 1 ? ? x ? ???????x ? 1? ? ????? ?

8

? ?x ? 2 ???????x?(??,1] 1 变式 1:设函数 f ? x ? ? ? ???????? ,求满足 f(x)= 的 x 值 2 ? log81 x,????x?(1,??)???? ?

?1 ? , x ? ( ??,0) 变式 2:已知函数 f ( x ) ? ? x ,求 f ( x ? 1) . 2 ? ? x , x ? [0, ??)

?21? x , x ? 1 题 2:设函数 f ( x ) ? ? ,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( 1 ? log x , x ? 1 ? 2
A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)

).

?2 x ? a, x ? 1 变式 1:已知实数 a≠0,函数 f ( x) ? ? ,若 f(1-a)=f(1+a),则 a ?? x ? 2a, x ? 1
的值为________.

9


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