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2015专题复习一·集合与简易逻辑

专题一

集合、常用逻辑用语
第一讲:4 课时

高考热点一: 集合
[命题方向] : 1.以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算. 2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围. 3.以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算. [真题感悟,自主突破]: 1. ( 12 年 江 苏 ) 已 知 集 合 A={1,2,4} , B={2,4 ,6},则 A∪B= 2.(10 年江苏)设集合 A={-1,1,3},B ={ a +2,a 2+4},且 A∩B={3},则实数 a = 解析:3 ? B, a+2=3, a=1. x-x2,y1=y-y2,因为(x1,y1)∈A,所以 把 x1=x-x2, y1=y-y2 代入 x2+y2≤1 可 得,(x-x2)2+(y-y2)2≤1, 点集 P 所表示的集合是以集合 B={(x,y)|x ≤4,y≥0,3x-4y≥0}的区域为圆心,半径 为 1 的圆内部分,如图中阴影部分所示,其 面积为 5+6+4+3+π =18+π

3. (09 年江苏) 已知集合 A={x|log2x≤2 }, B=(-∞,a),若 A ? B,则实数 a 的取值 范围是(c,+∞),其中 c= 解析:由 log2 x ? 2 得 0 ?

x ? 4,

A ? (0,4] ; 由 A ? B 知 a ? 4 , 所 以

c ? 4。
[典型题例,精析巧解]: 1.(14 年山东)设集合 A={x||x-1|<2},B ={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B= 解析:由|x-1|<2?-2<x-1<2,故 -1<x<3, 即集合 A=(-1,3). 根据指数函 数的性质,可得集合 B=[1,4]. 所以 A∩B=[1,3). 2.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2}, 且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是 解析:由于 A∪(?RB)=R, ∴B?A,∴a≥2 3.在平面直角坐标系中,A={(x,y)|x2+y2 ≤1},B={(x,y)|x≤4,y≥0,3x-4y≥0}, 则 P={(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2,(x1, y1)∈A,(x2,y2)∈B}所表示的区域的面积 为 [解析] 由 x=x1+x2,y=y1+y2,得 x1= [同类拓展,变式训练]: 1. 设集合 A={ (x,y) |y=-4x +6}, B={ (x,y) |y=3x -8},则 A∩B= 2. 设集合 M={2,x2},N ={2,x},若 M =N, 则 x= 3. 设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={ x|1 <x<5,x∈R },若 A∩B= 取值范围是 4.已知集合 A={(x, y)|y= 49-x2}, B={(x, y)|y=x+m}, 且 A∩B≠?, 则实数 m 的取值 范围是________ 解析:集合 A 表示以原点为圆心,7 为 半径的圆在 x 轴及其上方的部分, A∩B≠?, 表示直线 y=x+m 与圆有交点, 作出示意图 可得实数 m 的取值范围是[-7,7 2 ]. ,则实数 a 的

高考热点二

命题及逻辑连结词

[命题方向] 1.命题的四种形式及命题的真假判断. 2..复合命题的真假判断,常与函数、三角、解析几何不等式结合. [真题感悟,自主突破]: p 为真时,设实数 a 的取值集合为 P,则 P ? ={a|0<a<1}.对于命题 q:当 a=0 时, 1 (12 年湖南)命题“若 α= ,则 tan α=1” 不等式为-x>0,解得 x<0,显然不成立; 4 的逆否命题是 当 a≠0 时 , 不 等 式 恒 成 立 的 条 件 是 解析:由命题与其逆否命题之间的关系知, ? ?a>0, 1 ? ? 解得 a> .综上, 2 2 逆否命题是:若 tan α≠1,则α≠ . ?Δ=?-1? -4a×a<0, ?

4

2. (14 年陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共 轭 复 数 , 则 |z1| = |z2| ” ,原命题的逆命题 为 ,是 命题。 (填真或假) 解析:当 z1=1,z2=-1 时,这两个复数 不是共轭复数,所以是假的,故否命题也的 3.(14 年辽宁)设 a,b,c 是非零向量.已 知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c=0; 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命 题中真命题是 ①p∨q②p∧q ③ ( p)∧( q)④p∨( q) → → → 解析: 如图, 若 a=A1A, b=AB, c=B1B, 则 a· c≠0,命题 p 为假命题;显然命题 q 为 真命题,所以 p∨q 为真命题.. [典型题例,精析巧解]: 1.命题: “若 x2<1,则-1<x<1”的逆否 命题是 [解析] : (1)∵“-1<x<1”的否定是 x≥ 1,或 x≤-1.∴逆否命题为:若 x≥1 或 x ≤-1,则 x2≥1. 2.命题 A:若函数 y=f(x)是幂函数,则函 数 y=f(x)的图象不经过第四象限. 那么命题 A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题 中假命题的个数是 [解析] :易知命题 A 是真命题,其逆否命 题也是真命题, A 的逆与否命题都是假命题. 3. 设 p: 关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x <0};q:ax2-x+a>0 恒成立,若 p∨q 是 真命题, p∧q 是假命题, 则实数 a 的取值范 围是________. [解析]: 根据指数函数的单调性, 可知命题

命题 q 为真时,设 a 的取值集合为 Q,则 Q 1? ? =?a|a>2?.由“p∨q 是真命题,p∧q 是假
? ?

命题”可知命题 p,q 一真一假,设 U 为实 数集, 当 p 真 q 假时, a 的取值范围是 P∩(?
UQ )

1? ? = {a|0 < a < 1}∩ ?a|a≤2? =
? ?

1? ? ?a|0<a≤ ?;当 p 假 q 真时,a 的取值范围 2? ? 1? ? 是(?UP)∩Q={a|a≤0 或 a≥1}∩?a|a>2?=
? ?

1? ? {a|a≥1}. 综上, a 的取值范围是?a|0<a≤2?
? ?

1? ∪{a|a≥1}=? ?0,2?∪[1,+∞). [同类拓展,变式训练]: 1. 命题: “若 f(x)是奇函数,则 f(-x) 是奇函 数”的否命题是__________ 2. 有下列命题: p: 函数 f(x)=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π; q:已知向量 a=(λ, 1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c 的充要条件是 λ=-1; 其中所有的真命题是 __ 3,已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假 命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围 为________ 1 解析否命题是“若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数” 2 解析 ∵f(x)=-cos 2x,∴T=π,故 p 是 真命题;∵a+b=(λ-1,λ2+1),则 λ2+λ =0,即 λ=-1 或 λ=0,故 q 是假命题; 3 解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2- m≤0,解得 m≥3;又 p(2)是真命题,所以 4+4-m>0, 解得 m<8.故 m 的范围是[3,8).

高考热点三

全称命题与特称命题

[命题方向] 1.全称命题与特称命题的否定及真假判断. 2.利用全称命题与特称命题的真假求参数值或范围. [真题感悟,自主突破]: 2.(14 年天津)已知命题 p:?x>0,总有(x ? ?a>0 要使不等式恒成立,则有 ? x ? +1)e >1,则 p 为_______ ?Δ<0 解析: “?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1”. 2.下列命题中是假命题的是_______ π? ①.?x∈? ?0,2?,x>sin x ②.?x0∈R,sin x0+cos x0=2 ③.?x∈R, 3x>0 ④.?x0∈R,lg x0=0 解析:①由正弦线的定义易知 x>sin x,故 π? ?x∈? ?0,2?,x>sin x,即①是真命题; π? ②sin x+cos x= 2sin? ?x+4?≤ 2,所以不 存在 x0∈R,使 sin x0+cos x0=2,故②是假 命题.③,由指数函数的值域?x∈R,3 >0 是真命题;④取 x0=1,lg x0=lg 1=0,故 ?x0∈R,lg x0=0 是真命题.故②是假命题 [典型题例,精析巧解]: 1.(14 年安徽)命题“?x∈R,|x|+x2≥0” 的否定是_______ 解析:否定是?x0∈R,|x0|+x<0. 2.下列命题中的假命题是_______ ①.?x∈R,ex>0 ②.?x∈N,x2>0 ③?x0∈R,ln x0<1 ④?x0∈N*,sin x0=1 解析:②当 x=0,x2=0,与 x 任意性矛盾, 1 3.已知命题:p:?x0∈R,ax2 0+x0+ ≤0. 2 若命题 p 是假命题, 则 a 的取值范围是____. 解析:因为命题 p 是假命题,所以綈 p 为真 1 2 命题,即?x∈R,ax +x+ >0 恒成立.当 2 1 a=0 时,x>- ,不满足题意;当 a≠0 时, 2
x

,解得

a>0 ? ? ? 1 a> ? ? 2

1 ,所以 a> ,即 a∈ 2

?1,+∞?. ?2 ? ? ?

[同类拓展,变式训练]: 1 1.若命题 p:?x∈R, 2 >0,则其 x +x+1 否定是______. 解析:隐含条件 1 >0 且 x2+x+1≠0 x2+x+1

1 ∴?x∈R, 2 <0,或 x2+x+1=0. x +x+1 1?x ?1?x 2.命题 p1:?x∈(0,+∞),? ?2? <?3? ; p2 : ? x ∈ (0,1), log 1 x > log 1 x ; p3 :? x
2

3

?1?x> log x ; ?0,1?, ∈(0, +∞), p : ? x ∈ 4 1 ?2? ? 3?
2

?1?x< log 1 x ,其中的真命题是_____ ?2? 3
1 log 1 x =log32 解析 取 x= , 则 log 1 x =1, 2 3 2 1? ?1?x <1,p2 正确;当 x∈? ?0,3?时,?2? <1,而

log 1 x >1,p4 正确.
3

3.若命题“?x∈R, ax2-ax-2≤0”是真命 题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知,x 为任意实数时,都有 ax2 -ax-2≤0 成立.当 a=0 时,-2≤0 显然
? ?a<0, 成立.当 a≠0 时,由? 得- 2 ?Δ=a +8a≤0 ?

8≤a<0.综上, 实数 a 的取值范围是[-8,0].

高考热点四 充分必要条件的判定
[命题方向] 1.充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性 质相结合考查. 2.利用充要性求参数值或取值范围. [真题感悟,自主突破]: 3.(14 重庆)已知命题 p:对任意 x∈R,总 1. (14 天津)设 a, b∈R, 则 “a>b” 是 “a|a| >b|b|”的_______条件 有 2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不 (填充分不必要、必要不充分、充要、既不 必要条件.则下列命题为真命题的是____ 充分又不必要) ①.p∧q ②. p∧ q 解析: 构造函数 f(x)=x|x|,则 f(x)在定义域 R 上为
2 ? ?x ,x≥0, 奇函数.因为 f(x)=? 2 所以函 ?-x ,x<0, ?

③. 解析:

p∧q

④.p∧

q

命题 p 是真命题.由 x>2?x>1,而 x>1 ?/ x>2, 因此“x>1”是“x>2”的必要 不充分条件,故命题 q 是假命题,则 真命题,p∧綈 q 是真命题,选④ [典型题例,精析巧解]: 1.(12 天津)设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为偶函数”的_______条件 [解析] 由条件推结论和结论推条件后判断. 若 φ=0, 则 f(x)=cos x 是偶函数, 但是若 f(x) =cos (x+φ)是偶函数,则 φ=π 也成立.故 “φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为偶函数” 的充分而不必要条件. 2.( 12 安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m, 直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β ”是“a⊥b”的_______ 【解析】 利用面面垂直的性质定理及空间直线的位 置关系,判定充分必要条件. 当α⊥β时,由于 α∩β=m,b?β,b⊥m, 由面面垂直的性质定理知,b⊥α. 又∵a?α,∴b⊥a.∴“α⊥β ”是“a⊥b”的充 分条件.而当 a?α 且 a∥m 时,∵b⊥m, ∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直, ∴“α⊥β ”不是“a⊥b”的必要条件, 3. 设集合 P={t|数列{n2+tn(n∈N*)}单调递 增}, 集合 Q={t|函数 f(x)=kx2+tx 在区间[1, +∞)上单调递增},若“t∈P”是“t∈Q” q是

数 f(x)在 R 上单调递增,所以 a>b?f(a)> f(b)?a|a|>b|b|..充要条件 2. (14 江西)下列叙述中正确的是_______ ①.若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0” 的充分条件是“b2-4ac≤0” ②.若 a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要 条件是“a>c” ③.命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定 是“存在 x∈R,有 x2≥0” ④.l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面, 若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β 解析: 由于“若 b2-4ac≤0,则 ax2+bx+c≥0” 是假命题, 所以“ax2+bx+c≥0”的充分条 件不是“b2-4ac≤0”, ①错; ∵ab2>cb2, 且 b2>0,∴a>c.而 a>c 时,若 b2=0,则 ab2>cb2 不成立,由此知“ab2>cb2”是“a >c”的充分不必要条件,②错;“对任意 x ∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2<0”,③错;由 l⊥α,l⊥β,可得 α∥β, 理由是:垂直于同一条直线的两个平面平 行,④正确.

的充分不必要条件,则实数 k 的最小值为 _____. 解析:因为数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增, 所以(n+1)2+t(n+1)>n2+tn, 可得 t>-2n -1,又 n∈N ,所以 t>-3.因为函数 f(x) =kx2+tx 在区间[1,+∞)上单调递增,所 t 以其图象的对称轴 x=- ≤1 且 k>0,故 2k t≥-2k, 又“t∈P”是“t∈Q”的充分不必 3 要条件,所以-2k≤-3,即 k≥ ,故实数 2 3 k 的最小值为 . 2 [同类拓展,变式训练]: 1.(12 年陕西)设 a,b∈R,i 是虚数单
*

3 7 ∴由 cos α=5可推出 cos 2α=-25. 7 3 由 cos 2α=-25得 cos α=± ∴由 cos 5, 7 3 2α=-25不能推出 cos α=5.
3.已知 p:?1-

? ?

x-1? ?≤2,q:x2-2x 3 ?

+1-m2≤0(m>0),若 ? p 是 ? q 的充 分不必要条件,则实数 m 的取值范围 是________ 【解析】 x-1? ? ?≤2 得 p:-2≤x≤10, 解?1- 3 ? ? 又 x2-2x+1-m2=[x-(1-m)][x -(1+m)]≤0,且 m>0, ∴q:1-m≤x≤1+m. ∵ ? p 是 ? q 的充分不必要条件, ∴q 是 p 的充分不必要条件.

b 位, 则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数” i 的________条件 b 解析:∵a+ =a-bi 为纯虚数,∴ i 必有 a=0,b≠0,而 ab=0 时有 a=0 或 b=0,∴由 a=0,b≠0?ab=0, 反之不成立. ∴必要不充分条件. 3 7 2. “cos α=5”是“cos2α=-25”的__条件

由图得

3 【解析】 ∵cos α=5, ∴cos 2α=2cos 2α 9 7 -1=2× - 1 =- 25 25,

?1-m>-2 ?1+m≤10 ?m>0
∴0<m≤3..

?1-m≥-2 或?1+m<10 ?m>0

集合专题检测
1.设集合 A={x| 1<x<4},集合 B={x| x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB) = 2.已知集合 A={0,1},B={-1,0,a+3},且 A?B,则 a 等于 3.已知集合 A={x| log2x<1},B={x| 0<x<c,其中 c>0}.若 A∪B =B,则 c 的取值范围是 3 集合 A={x||x-1|<2},B={x| 的取值范围是________. 5 已知集合 M={m, -3}, N={x| 2x2+7x+3<0, x∈Z}, 如果 M∩N≠ ?,则 m 等于
? ? ?x2 ? ? ?x-3 2 ≤0 6. 设全集为 R, M=?x? 4 +y =1 ?, N=?x? ? ? ? ? ? ?x+1 ? ? ?, 则集合 M∩N ? ?
x?b ? 0 },若 x?2

A∩B≠?,则实数 b


? ? ? x ? ? 7 设全集 U=R, 集合 A=?x∈Z?3-x≥0 ?, B={x∈Z| x2≤9}, 则 A∩B ? ? ? ? ?

= 8.已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则 满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 9.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)= 10.设全集 U={x∈Z|
6 ≥1},M∩N={1,2},?U(M∪N)={0}, x ?1

(?UM)∩N={4,5},则 M=

[规范解答] 1 解析 .解 x2-2x-3≤0 得-1≤x≤3,∴B=[-1,3],则?RB=(-∞,-1)∪(3,+∞), ∴A∩(?RB)=(3,4). 2∵A?B,∴a+3=1,∴a=-2. 3 解不等式 log2x<1,得 0<x<2,∴A={x| 0<x<2}.∵A∪B=B,∴A?B,∴c≥2. 4 解析:由题意得 A={x|-1<x<3},

x?b ? 0 等价于(x-b)(x+2)<0,因为方程(x-b)(x+2) x?2

=0 的两根为-2 和 b,又由 A∩B≠?,所以 b>-1.故填 b>-1. 1 5 解析 由 2x2+7x+3<0,得-3<x<- , 2 又 x∈Z,∴N={-2,-1},又 M∩N≠?,∴m=-2 或-1. x-3 6 解析 根据椭圆的有界性知 M={x| -2≤x≤2}, 解不等式 ≤0, 得 N={x| -1<x≤3}. x+1 7 解析
? ? x ? ? 图 中 阴 影 表 示 的 是 A∩B , 化 简 集 合 : A = ?x∈Z?x-3≤0 ? = ? ?

?

? ?

? ?? ?x?x-3?≤0, ?x∈Z?? ?x-3≠0 ?? ?

? ?={x∈Z| 0≤x<3}={0,1,2},B={x∈Z| -3≤x≤3}={-3,-2, ?

-1,0,1,2,3},所以 A∩B={0,1,2}, 8 [解析]由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2 ,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2, 3,4}. 9.解 x2-2x-3≤0 得-1≤x≤3,∴B=[-1,3], 则?RB=(-∞,-1)∪(3,+∞),∴A∩(?RB)=(3,4). 10.解析:由

6 6 x?5 ≥1,得 -1≥0,即 ≤0,解得-1<x≤5.因为 x∈Z,所以 U= x ?1 x ?1 x ?1

{0,1,2,3,4,5}.如图所示,在韦恩图中分别表示出已知集合中的元素,由 M∩N={1, 2},可知 1∈M,1∈N,2∈M,2∈N;由?U(M∪N)={0},可知 0?M∪N,所以 0?M,且 M ∪N={1,2,3,4,5};由(?UM)∩N={4,5},可知 4?M,4∈N,5?M,5∈N.从而 N={1, 2,4,5},M={1,2,3}.

π 1 设函数 f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数”是“φ= ”的________条件 2 π π 解析:当 φ= 时,可得到 f(x)为奇函数,但 f(x)为奇函数时 φ= 不一定成立,所以“f(x) 2 2 π 为奇函数”是“φ= ”的必要不充分条件. 2 2.已知 p:<1,q:x2+(a-1)x-a>0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围是________. 解析:由题意知,p:x∈(-∞,1)∪(2,+∞),q:(x-1)(x+a)>0,由 p 是 q 的充分不必 要条件可知 p 中不等式的解集是 q 中不等式的解集的真子集,从而有-a=1 或 1<-a<2, 所以实数 a 的取值范围是(-2,-1]. 答案:(-2,-1]

3. 下列命题中,真命题是 A.?x0∈R, e 0 ≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是b=-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 解析 应用量词和充要条件知识解决. 对于?x∈R,都有 ex>0,故选项 A 是假命题;当 x=2 时,2x=x2,故选项 B 是 a a 假命题;当b=-1 时,有 a+b=0,但当 a+b=0 时,如 a=0,b=0 时,b无意 义,故选项 C 是假命题;当 a>1,b>1 时,必有 ab>1,但当 ab>1 时,未必 有 a>1,b>1,如当 a=-1,b=-2 时,ab>1,但 a 不大于 1,b 不大于 1, 故 a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,选项 D 是真命题.
4.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则原命题与其逆命题的真假 情况是( )
x

A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题真,逆命题真 D.原命题假,逆命题假 解析:原命题的逆否命题:若 a,b 都小于 1,则 a+b<2,是真命题,所以原命题为真 命题;原命题的逆命题:若 a,b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2,如 a=3,b=-3 满 足条件 a,b 中至少有一个不小于 1,但此时 a+b=0,故逆命题为假命题,故选 A. 答案:A

5 (2012 年潍坊模拟)已知命题 p: ?x∈R, mx2+1≤0, 命题 q: ?x∈R, (m+2)x2

+1>0,若 p∧q 为真命题,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.(0,2) 解析:若 p 为真命题,则 m<0;若 q 为真命题,则 m≥-2.所以,若 p∧q 为真 命题,则 m∈[-2,0). 6 “a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 a<-2 时,f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,所以函数 f(x)=ax+3 在区 间[-1,2]上存在零点;反过来,当函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点 时,不能得知 a<-2,如当 a=4 时,函数 f(x)=ax+3=4x+3 在区间[-1,2]上 存在零点. 因此,“a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的充分不必要条 件,选 A. x ?1 7.。已知 p:|1- |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若 ? p 是 ? q 的必要而 2 不充分条件,则实数 m 的取值范围是________. 解析:由题意知,p 是 q 的充分不必要条件, 即 p 的解集是 q 的解集的子集. x ?1 x ?1 x ?1 由 p:|1- |≤2?-2≤ -1≤2?-1≤ ≤3?-1≤x≤7, 2 2 2 q:x2-2x+1-m2≤0?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,(*) 不等式(*)的解为 1-m≤x≤1+m,所以 1-m≤-1 且 1+m≥7, 所以实数 m 的取值范围是[6,+∞). 8. “x>y>0”是“y>1”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 x ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x x 解析: >1?(x-y)y>0,由 x>y>0,得 x-y>0,y>0,所以 x>y>0? >1,具有 y y
?x>y ?x<y ? ? x x 充分性.由 >1,得? 或? ,所以 >1?/ x>y>0,不具有必要性,故选 A. y y ? ? y > 0 y < 0 ? ?

答案:A

9.已知条件 p:x≤1,条件 q:<1,则綈 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 [审题导引] (1)求出綈 p 与 q 中 x 的范围后,再判断; (2)先解 p 与 q 中的不等式,然后利用数轴求解. [规范解答] (1) ? p:x>1,又易知 q:x<0 或 x>1,

∴ ? p 是 q 的充分不必要条件. 10.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A.a>b+1 B.a>b-1 2 2 C.a >b D.a3>b3 解析 ∵a>b+1>b,∴a>b+1 是 a>b 的充分条件, 但当 a>b 时不能推出 a>b+1,故选 A. 1 11.已知 p:|x-10|+|9-x|≥a 的解集为 R,q:a<1,则綈 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵|x-10|+|9-x|≥1, 且|x-10|+|9-x|≥a 的解集为 R, ∴p:a≤1,则 ? p:a>1; 1 解不等式a<1,得 q:a<0 或 a>1, ∴ ? p 是 q 的充分不必要条件. 答案 A

12.已知命题 p1:当 x,y∈R 时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0. p2:函数 y=2x+2-x 在 R 内为减函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( ? p1)∨p2 和 q4:p1∧( ? p2)中,真命题是 A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

解析 解法一 p1 是真命题,事实上:(充分性)若 xy≥0,则 x,y 至少有一 个为 0 或两者同号,∴|x+y|=|x|+|y|一定成立. (必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得 x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,∴xy =|xy|.∴xy≥0.故 p1 为真. 1? 1 1 ? 而对于 p2:y′=2xln 2-2xln 2=ln 2?2x-2x?,当 x∈[0,+∞)时,2x≥2x,又 ? ? ln 2>0,∴y′≥0,函数单调递增; 同理得当 x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故 p2 是假命题. 由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C. 解法二 p1 是真命题,同解法一.对 p2 的真假可以取特殊值来判断,如取 5 17 5 17 x1=1<x2=2,得 y1=2<y2= 4 ;取 x3=-1>x4=-2,得 y3=2<y4= 4 ,即可 得到 p2 是假命题,由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C. 解法三 p1 是真命题,同解法一.对 p2:由于 y=2x+2-x≥2 2x· 2-x=2(等

号在 x=0 时取得),故函数在 R 上有最小值 2,故这个函数一定不是单调函数, p2 是假命题,由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C. 答案 C

【规律方法总结】 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化. 一般规律为:①若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解; ②若给定的集合是点集,用数形结合法求解; ③若给定的集合是抽象集合,用 Venn 图求解.

[方法与技巧] : 1.解决四种命题间的关系问题,关键是分原命题的条件和结论,将原命题写成“若 p 则 q” 的形式,原命题写其它三种命题时要注意大前提必须放在前面. 2.判断一个命题的真假性可通过判断其等价命题(逆否题)的真假来判断.若为复合命题, 则应借助真值表判断. 全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称命题的否定是将全称量词改为存在 量词,并把结论否定;特称命题的否定是将存在量词改为全称量词,并把结论否定;而命题 的否定是直接否定其结论.

判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)要弄清先后顺序: “A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A; (2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过 举出恰当的反例来说明; (3)要注意转化:若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件;若綈 p 是 綈 q 的充要条件,那么 p 是 q 的充要条件.