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数列、导数、解析几何大题综合练习(含答案)


1、已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 4
n 2 1 3
b1 ? 1

*

4

b 2 ?1

…4

b n ?1

= ( a n ? 1)
n 2

bn

(n∈N ),证明{bn}是等差数列;

*

(3)证明

-



a1 a2

+

a2 a3

+…+

an a n ?1



(n∈N ).

*

* 2、设 S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ,都有 S n ? ? m ? 1 ? ? m a n ( m 为常数,

且 m ? 0) . (1)求证:数列 ? a n ? 是等比数列;
* n (2) 设数列 ? a n ? 的公比 q ? f ? m ? , 数列 ?b n ? 满足 b1 ? 2 a1 , b n ? f ? b n ?1 ? ( n ? 2 , ? N ) ,

求数列 ? b n ? 的通项公式; (3)在满足(2)的条件下,求数列 ?
? 2 n ?1 ? ? 的前 n 项和 T n . ? bn ?

1

3、已知函数 f ( x ) ?

x ax ? b

( a , b 为常数且 a ? 0 ) 满足 f ( 2 ) ? 1 且 f ( x ) ? x 有唯一解。

(1)求 f ( x ) 的表达式 ; (2)记 x n ? f ( x n ?1 )( n ? N 且 n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 { x n } 的通项公式。 (3)记 y n ? x n ? x n ? 1 ,数列{ y n }的前 n 项和为 S n ,求证 S n ?
4 3

4、已知数列 { a n } ,其前 n 项和 Sn 满足 S n ? 1 ? 2 ? S n ? 1( ? 是大于 0 的常数) ,且 a1=1,a3=4. (1)求 ? 的值; (2)求数列 { a n } 的通项公式 an; (3)设数列 { na n } 的前 n 项和为 Tn,试比较
Tn 2

与 Sn 的大小.

2

5、已知点(1,

1 3

)是函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 { a n } 的前
x

n 项和为 f ( n ) ? c ,数列 { b n } ( b n ? 0 ) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足
S n - S n ?1 =

Sn +

S n ?1 ( n ? 2 ).

(1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; (2)若数列{
1 b n b n ?1 } 前 n 项和为 T n ,问 T n >

1000 2009

的最小正整数 n 是多少? .

6、在数列

? a n ? 中, a1

? 2, a n ? 1 ? ? a n ? ?

n ?1

? (2 ? ? )2 (n ? N )
n

?

,其中 ? ? 0 .

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)求数列

? a n ? 的通项公式; ? a n ? 的前 n 项和 S n ;
a n ?1

? a (Ⅲ)证明存在 k ? N ,使得 n



a k ?1 ak

对任意 n ? N 均成立.

?

3

7、已知 ?a n ? 是等差数列,其前 n 项和为 S n .已知 a 4 ? 2 , S 5 ? 20 . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设 T n ? a 1 ? a 2 ? ... ? a n ,求 T n ; (3)设 b n ?
?

1 n (12 ? a n )

( n ? N ) , R n ? b1 ? b 2 ? ... ? b n ,是否存在最大的整数 m ,使得对任

?

意 n ? N ,均有 R n ?

m 32

成立?若存在,求出 m 值;若不存在,请说明理由.

8、设数列 { b n }, { Pn }满足 b1 ? 3 , b n ? 3 Pn , 且 Pn ? 1 ? Pn ?
n

n 3
n ?1

( n ? N ).
*

(1)求数列 { b n } 的通项公式;

(2) 若存在实数 t, 使得数列 C n ? ( b n ?
n

1 4

)?

t n ?1

? n 成等差数列

1 C , 记数列 { C n ? ( ) n } 的 2

前 n 项和为 T n ,证明: 3 ?( T n ? 1) ? b n

(3)设 A n ?

1 n ( n ? 1)

T n , 数列 { A n }的前 n 项和为 S n , 求证 S n ?

5 2

4

9、已知数列{ a n }中, a1 ?

1 2

、 点 ( n、 a n ? 1 ? a n)在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(Ⅰ)令 b n ? a n ? 1 ? a n ? 1, 求证 ?b n ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?a n ?的通项; (Ⅲ)设 S n 、 T n 分别为数列

?a n ?、?b n ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? , 使得数列 ?
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? S n ? ? Tn ? ? n ? ?

为等差数列?若存在,试求出 ?

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若不存在,则说明理由

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10、 已知各项均为正数的数列{ a n }前 n 项和满足 S n ? 1 , 6 S n ? ( a n ? 1)( a n ? 2 ), n ? N 且 (1)求{ a n }的通项公式; (2)设数列{ b n }满足 a n ( 2
bn

*

? 1) ? 1 ,并记 T n 为{ b n }的前 n 项和,求证:
*

3T n ? 1 ? log 2 ( a n ? 3 ), n ? N

5

11、已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 x .
3 2

(1)若 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ?
1 3

是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 [1, a ] 上的最大值;

(3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b , 使得函数 g ( x ) ? b x 的图象与函数 f ( x ) 的图象恰有 3 个交点?若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.

12、已知函数 f ( x ) ? m x ?

m x

, g ( x ) ? 2 ln x .

(1)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 m=1 时,求方程 f(x)=g(x)实数根个数 ; (3)若 x ? (1, e ] 时,不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

6

13、设函数 f ( x ) ?

e

x

x

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 若 k ? 0 ,求不等式 f ( x ) ? k (1 ? x ) f ( x ) ? 0 的解集.
'

14、设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; ?1? (2)讨论 g(x)与 g? ?的大小关系;

?x?

1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立.

a

7

15、已知 f ( x ) ? a x ? ln x , x ? (0, e ], g ( x ) ?

ln x x

,其中 e 是自然常数, a ? R .

(1)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?
1 2



(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

16、已知函数 f ( x ) ?

x e
x

, g (x) ?

(2 ? x )e e
2

x

.

(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 求证:当 x ? 1 时, f ( x ) ? g ( x ) ; (Ⅲ) 如果 x 1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) .

8

x 17、 设函数 f ( x ) ? e ( e 为自然对数的底数),g n ( x ) ? 1 ? x ?

x

2

?

x

3

?L ?

x

n

(n ? N ) .
*

2!

3!

n!

(1)证明: f ( x ) ≥ g 1 ( x ) ; (2)当 x ? 0 时,比较 f ( x ) 与 g n ( x ) 的大小,并说明理由;
?2? ?2? ?2? ? 2 ? * (3)证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? . ? ≤ g n ?1 ? ? e ( n ? N ) ?2? ?3? ?4? ? n ?1?
1 2 3 n

18、设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x -2(1-a)x 的单调性.

2

9

19、设函数 f ( x ) ? x ? b ln ( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(Ⅰ)当 b ?

1 2

时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点;
?1 1 1 ? ? 1 ? ? 2 ? 3 都成立. n ?n ? n

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

20、已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 ? 0 , n ? (n∈N*)上的最小值为 bn 令 an=ln(1+n)-bn.
an ? an?2 ? c an?2

(i)如果对一切 n,不等式 (ⅱ)求证:
a1 a2 ? a1 a 3 a2a4 ??? ?

恒成立,求实数 c 的取值范围;
2an ? 1 ? 1.

a1 a 3 ? ? a 2 n ?1 a2a4 ? ? a
2n

?

10

21、已知定点 A(-l,0) ,动点 B 是圆 F: (x-1) +y =8(F 为圆心)上一点,线段 AB 的垂 直平分线交线段 BF 于点 P. (I)求动点 P 的轨迹方程; (II)是否存在过点 E(0,2)的直线 l 交动点 P 的轨迹于点 R、T,且满足 OR ? OT =0(O 为原点) ,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

2

2

22、设圆 C 与两圆 ( x ?

5 ) ? y ? 4, ( x ?
2 2

5 ) ? y ? 4 中的一个内切,另一个外切。
2 2

(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M ( 点 P 的坐标.
3 5 4 5 , ), F ( 5 , 0 ) ,且 P 为 L 上动点,求 M P ? F P 的最大值及此时 5 5

11

23、椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0)离心率为

6 3

,短轴一个端点到右焦点距离为 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值
3 2

,求△AOB 面积

24、在直角坐标系 xO y 中,动点 P 与定点 F (1, 0) 的距离和它到定直线 x ? 2 的距离之比是
2 2

,设动点 P 的轨迹为 C 1 , Q 是动圆 C 2 : x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点.
2 2 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 1 的方程;
2 2

(2)设曲线 C 1 上的三点 A ( x1 , y1 ), B (1,

), C ( x 2 , y 2 ) 与点 F 的距离成等差数列,若线段

A C 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 B T 的斜率 k ;

(3)若直线 P Q 与 C 1 和动圆 C 2 均只有一个公共点,求 P 、 Q 两点的距离 P Q 的最大值.

12

25 、 已 知 曲 线 C : y ? x 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A ( x A , y A ) 和 B ( x B , y B ) , 且
2

x A ? x B .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 A B 所围成的平面区域(含边界)为
D .设点 P ( s , t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.

(1)若点 Q 是线段 A B 的中点,试求线段 P Q 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 25

? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值.
y

B A
o

D
x

26、已知双曲线 x ? y ? 2 的右焦点为 F ,过点 F 的动直线与双曲线相交于 A、B 两点,
2 2

0 又已知点 C 的坐标是 (1,) .

(I)证明 C A ? C B 为常数; (II)若动点 M 满足 C M ? C A ? C B ? C O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程.
???? ? ??? ? ??? ? ????

??? ?

??? ?

13

27、已知椭圆 x ?
2

y

2

? 1 的左,右两个顶点分别为 A 、B .曲线 C 是以 A 、B 两点为顶点,

4

离心率为 5 的双曲线. 设点 P 在第一象限且在曲线 C 上, 直线 A P 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x1 、 x 2 ,证明: x1 ? x 2 ? 1 ; (3)设 ? T A B 与 ? P O B (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S 1 与 S 2 ,且 P A ?P B ? 1 5 , 求 S 1 ? S 2 的取值范围。
2 2

??? ???? ? ?

28、 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( m x , y ? 1) ,向量 b ? ( x , y ? 1) , a ? b ,动 设 点 M ( x , y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?
1 4

?

?

?

?

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个

交点 A,B,且 O A ? O B (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?
1 4

,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共
2 2 2

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

14

29、已知点 H(﹣3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满 足 , .

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过定点 D(m,0) (m>0)作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,E 是 D 点关于坐标原点 O 的对称点,试问∠AED=∠BED 吗?若相等,请给出证明,若不相等,说明理由. (3)在(2)中,是否存在垂直于 x 轴的直线被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若 存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.

30、平面内与两定点 A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加上 A1、A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. (1)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (2)当 m=-1 时,对应的曲线为 C1;对给定的 m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为 C2. 2 设 F1、F2 是 C2 的两个焦点,试问:在 C1 上,是否存在点 N,使得△F1NF2 的面积 S=|m|a .若 存在,求 tan∠F1NF2 的值;若不存在,请说明理由.

15

31、如图所示,四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 B D 是圆的直径,? A B D ? 60 ,? B D C ? 4 5 , P D 垂直底面 A B C D , P D ? 2 2 R , E, F 分别是 P B, C D 上的点,且
PE EB ? DF FC
? ?

,过点 E 作 B C 的平行线交 P C 于 G . P E

(1)求 B D 与平面 A B P 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △ E F G 是直角三角形; (3)当
PE EB ? 1 2

时,求 △ E F G 的面积. A

G

D F C

B

32、如图,四边形 ABCD 中(图 1) 是 BC 的中点,DB=2,DC=1,BC=√5,AB=AD= ,E √2 .将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A-BD-C 为 60°(如图 2) (1)求证:AE⊥平面 BDC; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.

16

1、(1)解:∵an+1=2an+1(n∈N ), ∴an+1+1=2(an+1).………………………………………………………………………………1 分 ∴{an+1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列.…………………………………………2 分 n ∴an+1=2 , n * 即 an=2 -1(n∈N ).………………………………………………………………………………3 分 (2)证法一:∵ 4 ∴4
( b1 ? b 2 ? ? ? b n )
b1 ? 1

*

4
nb

b 2 ?1

…4

b n ?1

= ( a n ? 1)

bn

,

? 2 n .…………………………………………………………………………4 分

∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn, ① 2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1. ② ②-①,得 2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn, …………………………………………………………5 分 即(n-1)bn+1-nbn+2=0, ③ nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③,得 nbn+2-2nbn-1+nbn=0. ……………………………………………………………………………6 分 即 bn+2-2bn+1+bn=0, * ∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N ).………………………………………………………………………7 分 ∴{bn}是等差数列. ……………………………………………………………………………8 分 证法二:同证法一,得(n-1)bn+1-nbn+2=0. 令 n=1,得 b1=2. 设 b2=2+d(d∈R),下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d. (1)当 n=1、2 时,等式成立. …………………………………………………………………6 分 (2)假设当 n=k(k≥2)时,bk=2+(k-1)d,那么 bk+1=
k k ?1

bk-

2 k ?1

=

k k ?1

[2+(k-1)d]-

2 k ?1

=2+[(k+1)-1]d.

这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. * 根据(1)和(2),可知 bn=2+(n-1)d 对任何 n∈N 都成立. ……………………………………7 分 ∵bn+1-bn=d, ∴{bn}是等差数列. ……………………………………………………………………………8 分 (3)证明:∵
ak a k ?1

=

2 2

k

?1 ?1

k ?1

=

2 2(2

k

?1 ? 1 2 )



1 2

,k=1,2,…,n,

k



a1 a2

+

a2 a3

+…+

an a n ?1



n 2

.…………………………………………………………………10 分



ak a k ?1

=
1 3

2 2

k

?1 ?1

k ?1

=

1 2

2(2

1
k ?1

? 1)

=

1 2

-

1 3?2
k

?2

k

?2



1 2

-

?
a2 a3

1 2
k

,k=1,2,…,n,…………………………………………………………………12 分
an a n ?1
n 2 1 3 1 2 1 2
2



a1 a2

+

+…+



-

(

+

+…+

1 2
n

)=

n 2

-

1 3

(1-

1 2
n

)>

n 2

-

1 3

.

17



n 2

-

1 3



a1 a2

+

a2 a3

+…+

an a n ?1



n 2

(n∈N ).…………………………………………14 分

*

2、解: (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? ? m ? 1 ? ? m a1 ,解得 a 1 ? 1 .………………1 分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? m a n ?1 ? m a n . 即 ?1 ? m ? a n ? m a n ?1 . ∵ m 为常数,且 m ? 0 ,∴
an a n ?1 ? m 1? m
m 1? m

……………………………………………2 分

? n ? 2 ? . ………………………………………3 分
…………………………………4 分 ……………………………5 分

∴数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为

的等比数列.

(2)解:由(1)得, q ? f ? m ? ? ∵ b n ? f ? b n ?1 ? ?
b n ?1 1 ? b n ?1 1 bn ?

m 1? m

, b1 ? 2 a1 ? 2 .

, ………………………………………………………………6 分



1 bn

?

1 b n ?1

? 1 ,即

1 b n ?1

? 1 ?n ? 2? .

……………………………………………7 分

∴?

? 1 ? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? bn ?
1 bn ? 1 2 ? ? n ? 1? ?1 ? 2n ? 1 2
2 2n ? 1

……………………………………………8 分



,即 b n ?

2 2n ? 1
n ?1

( n ? N ) …………………………9 分 .
*

(3)解:由(2)知 b n ?
2 3 4

,则

2

? 2

n

bn
n

? 2 n ? 1 ? . ……………………………10 分

所以 T n ?
1

2

?

2

?

2

?? ?

2

?

2

n ?1


? ? 2 n ? 3 ? ? 2 ? ? 2 n ? 1? ,
n n ?1

b1

b2
2

b3
3

b n ?1

bn
n ?1

即 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2
2 3 4

① ……11 分 ② ……12 分

则 2Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2 ? ? 2 n ? 3 ? ? 2
n

? ? 2 n ? 1? ,

②-①得 T n ? 2

n ?1

? ? 2 n ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

n ?1



………………………………13 分

故 Tn ? 2

n ?1

? ? 2 n ? 1? ? 2 ?

2

3

?1 ? 2 ?
n ?1

1? 2

? 2

n ?1

? ? 2n ? 3? ? 6 .

……………………14 分

18

3、解:(1) 由 f ? x ? ? 又 f ?2? ?
2 ax ? 1
2

x ax ? b

? x 即 a x ? ? b ? 1 ? x ? 0 有唯一解,? b ? 1
2

?1

?a ?

1 2



? f

?x? ?
1 xn

x 1 2
1 x n ?1

?

2x x?2

……4 分

x ?1
? 1 2

(2) 由 x n ? f ? x n ? 1 ? ?

x n ?1 1 2 x n ?1 ? 1
? 3 2

?

?

…………6 分

又 x1 ? f ? 1 ? ?

2 3

?

1 x1



? 1 ? 3 1 ,公差为 的等差数列……8 分 ? 数列 ? ? 是以首项为 2 2 ? xn ?
? 1 xn ? 3 2 ? ? n ? 1? ? 1 2 ? n?2 2

? xn ? 2 n?3 1 n?2

2 n?2 1 n?3 )

………10 分

(3) 由 y n ? x n ? x n ? 1 ?

2 n?2

?

? 4(

?

…………12 分

? S n ? y1 ? y 2 ? y 3 ? ... ? y n = x 1 x 2 ? x 2 x 3 ? ? ? ? x n x n ? 1

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 4 ? 1 ?1 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ? 4 ? ? ?? ? n ? 2 n ? 3 ?? ?3 n?3? 3 ?? 3 4 ? ? 4 5 ?

………14 分

4、解: (I)由 S n ? 1 ? 2 ? S n ? 1 得
S 2 ? 2 ? S 1 ? 1 ? 2 ? a 1 ? 1 ? 2 ? ? 1, S 3 ? 2 ? S 2 ? 1 ? 4 ? ? 2 ? ? 1 ,
2

? a 3 ? S 3 ? S 2 ? 4 ? ,? a 3 ? 4 , ? ? 0 ,? ? ? 1 . …………2 分
2

(II)由 S n ? 1 ? 2 S n ? 1整理得 S n ? 1 ? 1 ? 2 ( S n ? 1) ,…………3 分 ∴数列{ S n ? 1 }是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,…………4 分
? Sn ?1 ? 2 ?2
n ?1

, ? S n ? 2 ? 1,
n n ?1

? a n ? S n ? S n ?1 ? 2

( n ? 2 ),
n ?1

…………6 分

? 当 n=1 时 a1=1 满足 a n ? 2

,? a n ? 2

n ?1

. …………7 分

0 1 2 n?2 n ?1 ? n ? 2 , ①…………8 分 (III) T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2

2T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ( n ? 2 ) ? 2
2

n?2

? ( n ? 1) ? 2

n ?1

? n ? 2 ,②…………9 分
n

19

①-②得 ? T n ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ,…………10 分 则 T n ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 . …………11 分
? Tn 2 ? Sn ? n?2 ? 2 ?1
n n

? ( 2 ? 1) ? ( n ? 3 ) ? 2
n

n ?1

?

3 2

. …………12 分

2

? 当 n=1 时,

T1 2

? S1 ? ?

1 2

? 0 , 当 n ? 2时 ,

T2 2

? S2 ? ?

1 2

? 0.

即当 n=1 或 2 时,

Tn 2

? S n ? 0,

Tn 2

? S n . …………13 分

当 n>2 时,

Tn 2

? S n ? 0,

Tn 2

? S n . …………14 分

?1? 5、解(1) Q f ? 1 ? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

1

x

…………1 分
2 9

a1 ? f ? 1 ? ? c ?

1 3

? c , a 2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 2 27

,

a3 ? ? f ? 3 ? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ?

.

4

又数列 ? a n ? 成等比数列, a 1 ?

a2

2

? ?

a3

81 ? ? 2 ? 1 ? c ,所以 c ? 1 ;…………3 分 2 3 3 27

2?1? ? ,所以 a n ? ? ? ? 又公比 q ? 3?3? a1 3
a2 1

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N

*

;…………5 分

Q S n ? S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

??

Sn ?

S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

?n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? 数列

Sn ?

S n ? 1 ? 1 ;…………6 分

?

Sn

? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,…………7 分
2

S n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n , S n ? n …………8 分
2 当 n ? 2 , b n ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ;…………9 分 2

b1=1 满足
? b n ? 2 n ? 1 ( n ? N );…………10 分
*

20

(2) T n ?

1 b1 b 2

?

1 b 2 b3

?

1 b3 b 4

?L ?

1 b n b n ?1

?

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5? 7

?K ?

1 ( 2 n ? 1) ? ? 2 n ? 1 ?

?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? …………11 分 2? 3? 2?3 5? 2?5 7? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ?

?

1? 1 ? n ;…………12 分 ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1

由 Tn ? 满足 T n ?

n 2n ? 1 1000 2009

?

1000 2009

得n ?

1000 9

,…………13 分

的最小正整数为 112. …………14 分

6、 (Ⅰ)解法一:
2 2

a 2 ? 2 ? ? ? ? (2 ? ? )2 ? ? ? 2
2 2 3 2 3 3

2



a 3 ? ? ( ? ? 2 ) ? ? ? (2 ? ? )2 ? 2 ? ? 2
3 3 4 3 4


4

a 4 ? ? ( 2 ? ? 2 ) ? ? ? ( 2 ? ? ) 2 ? 3? ? 2


n n

由此可猜想出数列

? a n ? 的通项公式为 a n

? ( n ? 1) ? ? 2

.…………1 分

以下用数学归纳法证明.
a ? 2 (1)当 n ? 1 时, 1 ,等式成立.…………2 分
k k a ? ( k ? 1) ? ? 2 (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 k ,

那么

a k ? 1 ? ? a1 ? ?
k ?1

k ?1

? (2 ? ? )2 ? ? ( k ? 1) ? k ? ? 2 k ? ? k ? 1 ? 2 k ? 1 ? ? 2 k
k

? [( k ? 1) ? 1]?

?2

k ?1



n n a ? ( n ? 1) ? ? 2 这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 n 对

任何 n ? N 都成立.…………4 分 解法二:由
a n ?1
a n ?1 ? ? a n ? ?
n ?1
n ?1

?

? (2 ? ? )2 (n ? N )
n

?

,? ? 0 ,

可得 ?

n ?1

? 2 ? ?? ? ?? ?

?

an

?

n

? 2 ? ? ? ? ?1 ?? ? ,…………2 分

n

n ?a ? n ? 2 ? ? ? ? n ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,…………3 分 所以 ?

21

? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? 故 n ? ? , an

n

所以数列

? a n ? 的通项公式为 a n
2 3

? ( n ? 1) ? ? 2
n
4

n

.………… 4 分
n ?1

(Ⅱ)解:设
3

Tn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ( n ? 2 ) ?
4 5 n

? ( n ? 1) ?

n



① ②…………5 分

? T n ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ( n ? 2 ) ? ? ( n ? 1) ?

n ?1

当 ? ? 1 时,①式减去②式,
(1 ? ? ) T n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( n ? 1) ?
2 3 n n ?1

?

? ??
2

n ?1



1? ?
n ?1

? ( n ? 1) ?

n ?1

,…………6 分
2

Tn ?

? ??
2

n ?1 2

(1 ? ? )

?

( n ? 1) ? 1? ?

n ?1

?

( n ? 1) ?

n?2

? n?
2

??

(1 ? ? ) ( n ? 1) ?
n?2

.…………7 分
n ?1

?a ? 这时数列 n 的前 n 项和
当 ? ? 1 时,
Tn ? n ( n ? 1) 2

Sn ?

? n?
2

??

2

(1 ? ? )

?2

n ?1

?2

.…………8 分
? n ( n ? 1) 2 ?2
n ?1

Sn ?a ? .这时数列 n 的前 n 项和

?2

.……9 分

? a n ?1 ? a2 ? ? a a (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列 ? n ? 的第一项 1 最大,下面证明:
a n ?1 an ? a2 a1 ?

? ?4
2

,n≥ 2

2



③…………10 分

2 a ? 0 2a ? ( ? ? 4) a n ( n ≥ 2) 由? ? 0 知 n ,要使③式成立,只要 n ? 1 ,…………11 分

因为

( ? ? 4) a n ? ( ? ? 4)( n ? 1) ? ? ( ? ? 1) 2
2 2 n 2

n

? 4 ? ( n ? 1) ? ? 4 ? 2 ? 4 ( n ? 1) ? ·
n n

n ?1

?2

n?2

…………12 分

≥ 2 n ? n ? 1 ? 2 n ? 2 ? 2 a n ? 1, n ≥ 2
所以③式成立.
a n ?1 a 因此,存在 k ? 1 ,使得 n

.…………13 分



a k ?1 ak

?

a2 a1

对任意 n ? N 均成立.…………14 分

?

22

7、解:(1)设数列 ?a n ? 的公差为 d ,则
? a1 ? 3d ? 2 ? ………………………………2 分 ? 5?4 5 a1 ? ? d ? 20 ? 2 ?

解上面方程组得 ?

? a1 ? 8 ?d ? ?2

………………………3 分

所以,数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 8 ? ( n ? 1) ? ( ? 2 ) 即 a n ? 10 ? 2 n ………………………………4 分 (2)由 a n ? 0 且 a n ? 1 ? 0 ,解得 当 n ? 5 时 T n ? ? n 2 ? 9 n ;…………………5 分 当 n ? 5 时 T n ? n 2 ? 9 n ? 40 ;……………7 分 所以, T n ? ? (3)由 b n ?
Rn ? n 2 ( n ? 1)
2 ? ?? n ? 9n,

n ? 5

?n ?

2

? 9 n ? 40 , n ? 5
1 ?

( n ? N ) …………………8 分

?

n (12 ? a n )

1 1 1 ( ? ) ,裂项相消求和得 2 n n ?1

……………………10 分
1 2 ( n ? 2 )( n ? 1)
1 4

因为 R n ? 1 ? R n ?

? 0,

所以 ?R n ? 单调递增,即 R 1 ? 要使 R n ?
m 32

是数列 ?R n ? 的最小值,……………12 分
m 32 ? R1 ? 1 4

? 对 n ? N 总成立,只须

,

所以 m ? 8 又因为 m ? Z ,所以 m 的最大值为 7…………………14 分

8、解: (1)由已知得

P1 ?

b1 3

? 1, Pn ? 1 ? Pn ?

n 3
n ?1

,

? Pn ? P1 ? ( P2 ? P1 ) ? ( P3 ? P2 ) ? ? ? ( Pn ? Pn ? 1 ) ? 1 ? ? 3 Pn ? 3 ? 1 3 ? 2 3
3

1 3
2

?

2 3
2

?? ?

n ?1 3
n

,

?

3 3
3

?? ? : Pn ? 5 4 .

n ?1 3
n ?1

, ,

上述两式错位相减得 ? b n ? 3 Pn ?
n

?

2n ? 1 4 ?3
n

5 4

?3 ?
n

2n ? 1 4
1 4 )? t

(2)? C n ? ( b n ?

n ?1

?n ? (

5 4

?3 ?
n

n ?1 2

)?

t n ?1

?n ?

5t ? 3

n

4 ( n ? 1)

?n?

t 2

,

23

? 当且仅当 t ? 0时 , 数列 { C n }成等差数列 ? Tn ? 1 2 ? 2 2
2

, 此时 C n ? n ( n ? N ).

?

?

3 3
3

?? ?

n 2
n

,

? 2T n ? 1 ? 错位相减得

2 2

?

3 2
2

?? ? 2 2
n

n
n ?1

: Tn ? 2 ?

n?2

. n? ? 2 ?3 1 2 ?1? n n? 1

?

bn 3
n n

? Pn ?

5 4

?

2n ? 1 4 ?3
n

?

5 4

2 ? 1 ? n ? 2 ? T ? 1, n n n 2 ?3 2

? 3 ( T n ? 1) ? b n .

(3) A n ?
2

1 n ( n ? 1)

Tn ?

1 n ( n ? 1)

(2 ?

n?2 2
n

) ?

2 n ( n ? 1)

?

n?2 n ( n ? 1)
2n



n ( n ? 1)

?

2 n

?

2

n ? 1 n ( n ? 1) 2

,

n?2
n

?

1 n2
n

?

1 ( n ? 1) 2
n ?1

; 可得

S n ? A1 ? A 2 ? A 3 ? ? ? A n ? ( ( 2 1 1 1? 2 ? ? 2 2 1 2?2 2 n ?1
2

?

2 2

? ? 1 2

2 3

? 1

2 3
2

? ? 1

2 4

?? ? 1

2 n

?

2 n ?1 1 n2
n

)? 1 ( n ? 1) 2 1 ( n ? 1) 2
n ?1 n ?1

2?2 ?

3?2

3

?? ? 3 2

?

) 3 2 1? 2
n?2 n ?1

? 2?

?

( n ? 1) 2

n ?1

?

?

2 n ?1

?

?

?

( n ? 1) 2

?

3 2

?

5 2

9、解: (I)由已知得
? a2 ? 3 4 , a 2 ? a1 ? 1 ? 3 4

a1 ? ? 1 2

1 2

, 2 a n ?1 ? a n ? n , 3 4 , ………………1 分

?1 ? ?

又 b n ? a n ? 1 ? a n ? 1, b n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? 1,
a n ? 1 ? ( n ? 1) ? ? an ? n ? a n ?1
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?

bn ?1 bn

?

a n ?1 ? a n ? 1 a n ? 2 ? a n ?1 ? 1
3 4

a n ?1 ? a n ? 1 1 2 ? . ? an ? 1 2

2 2 a n ?1 ? a n ? 1
1 2 3

? { b n } 是以 ?

为首项,以

为公比的等比数列

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………………3 分

(II)由(I)知, b n ? ?
? a n ?1 ? a n ? 1 ? ? 3 2 ? 1 2
n

1 n ?1 3 1 ?( ) ? ? ? n , ………………4 分 4 2 2 2 3 2 ? 1 2 , a3 ? a2 ? 1 ? ? 3 2 ? 1 2
2

, ? a 2 ? a1 ? 1 ? ?

, ??????

24

? a n ? a n ?1 ? 1 ? ?

3 2

? 2

1
n ?1

, 3 1 1 1 ( ? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ), 2 2 2 2

将以上各式相加得:? a n ? a1 ? ( n ? 1) ? ?
1 ? a n ? a1 ? n ? 1 ? 3 2 ? 2 1? (1 ? 1 2 1 2
? an ? 3 2
n

n ?1

) ?

1 2

? ( n ? 1) ?

3 2

(1 ? 2

1
n ?1

)?

3 2
n

? n ? 2.

? n ? 2 . ………………7 分 S n ? ? Tn n 1 2
n

(III)解法一:存在 ? ? 2 ,使数列 {
? S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 3( 1 2
1

} 是等差数列

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………………8 分

?

1 2
2

? ??? ?

) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 2 n

1 ? 3? 2

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ?

n ( n ? 1) 2

? 2n

? 3(1 ?

1 2
n

)?

n ? 3n
2

? ?
3 4

3 2
n

?

n ? 3n
2

? 3 . ………………10 分

2
?

2
1 2
n

(1 ? 1? 1 2

) ? ?

T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?

3 2

(1 ?

1 2
n

)? ?

3 2

? 2

3
n ?1

. ………………11 分

数列{

S n ? ? Tn n

} 是等差数列的充要条件是

S n ? ? Tn n

? An ? B, ( A 、 B 是 常 数 ) 即

S n ? ? T n ? A n ? B n , ………………12 分
2

又 S n ? ? Tn ? ?
? 当且仅当 1 ?

3 2
n

?

n ? 3n
2

? 3 ? ? (?

3 2

? 2

3
n ?1

) ?

n ? 3n
2

? 3(1 ?

?
2

)(1 ?

1 2
n

) ………13 分

2

2
} 为等差数列
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?
2

? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { S n ? ? Tn n

S n ? ? Tn n

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………………14 分

解法二:存在 ? ? 2 ,使数列 {

} 是等差数列 ………………8 分
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由(I)(II)知, a n ? 2 b n ? n ? 2 ………………9 分 、
? S n ? 2T ? n ( n ? 1) 2 ? 2 n ………………10 分

n ( n ? 1) S n ? ? Tn n ? 2

? 2 n ? 2Tn ? ? Tn n

?

n?3 2

?

??2
n

T n ………………11 分

25

?

3 4

(1 ? 1? 1 2

1 2
n

) ? ?

又 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?
S n ? ? Tn n n?3 2

3 2

(1 ?

1 2
n

)? ?

3 2

? 2

3
n ?1

………………12 分

?

?

??2
n

(?

3 2

? 2 n

3
n ?1

) ………………13 分 } 是等差数列

? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ? Tn

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………………14 分

10、 (Ⅰ)解:由 a 1

? S1 ?

1 6

( a 1 ? 1)( a 1 ? 2 )

,解得 a1=1 或 a1=2,………………1 分

由假设 a1=S1>1,因此 a1=2。………………2 分 又由 an+1=Sn+1- Sn=
1 6 ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 2 ) ? 1 6 ( a n ? 1)( a n ? 2 ) ,

得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an………………3 分 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。………………4 分 从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,………………5 分 故{an}的通项为 an=3n-2。………………6 分 (Ⅱ)证法一:由 a n ( 2 b ? 1) ? 1 可解得
? 1 ? ? ? log b z ? log z ? 1 ? ? an ? ? ? 3n
z

3n ? 1

;………………7 分

从而 T n

3n ? ?3 6 ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? log z ? · ·?· ? 3n ? 1 ? ?2 5

。………………8 分
3

因此 3T n

? 1 ? log z ( a n

3n ? 2 ?3 6 ? 3 ) ? log z ? · ·?· ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5
3

。………………9 分



3n ? 2 ?3 6 f ( x ) ? ? · ·?· ? · 2 5 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?

,则………………10 分

f ( n ? 1) f (n)

?

3 n ? 2 ? 3n ? 3 ? ·? ? 3 n ? 5 ? 3n ? 2 ?

3

?

(3 n ? 3)

3 2

( 3 n ? 5 )( 3 n ? 2 )

。………………11 分

因 ( 3 n ? 3 ) 2 ? ( 3 n ? 5 )( 3 n ? 2 ) 2 ? 9 n ? 7> 0 ,故………………12 分
f ( n ? 1)> f ( n )

.
27 20 >1

特别的

f ( n ) ? f (1) ?

。………………13 分

26

从而 3T n

? 1 ? log( a n ? 3 ) ? log f ( n )> 0

,即 3T n

? 1 log 2 ( a n ? 3 ) 。………………14 >



证法二:同证法一求得 bn 及 Tn。………………8 分 由二项式定理知当 c>0 时,不等式
(1 ? c ) >1 ? 3 c
3

成立。………………9 分

由此不等式有
3T n ? 1 ? log 1? ? 1? 1 ? ? ? 2?1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 2? ? 5? 3n ? 1 ? ? ?
3 3 3

2

………………10 分

> log

2

3 ?? 3? ? 3 ? ? 2?1 ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? 2 ?? 5? ? 3n ? 1 ? ?

………………12 分 。………………14 分

= log 2

5 8 3n ? 2 2· · ·?· ? log 2 ( 3 n ? 2 ) ? log 2 ( a n ? 3 ) 2 4 3n ? 1

证法三:同证法一求得 bn 及 Tn。………………8 分 令 An= 因
3n 3n ? 1 3 2 6 3n · ·?· 5 3n 3n ? 1 3n ? >

,Bn=
3n ? 2 3n ? 1

3 4

7 3n ? 1 · ·?· 6 3n

,Cn=

5 4

8 3n ? 2 · ·?· 7 3n ? 1

。………………10 分



, 。………………12 分
3

3 因此 A n> A n B n C n

3n ? 2 2

3T n ? 1 ? log

2

3n ? ?2 6 2 ? · ·?· ? 3n ? 1 ? ?3 5

? log

2

2 Ax

3

> log 2

2 A n B n C n ? log 2 ( 3 n ? 2 ) ? log 2 ( a n ? 3 )

………………14 分

11、解:(1) f ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? 3 …………………………………………………………1 分
/ 2

f ( x ) 在 [1, ?? ) 是增函数,

∴ f ( x ) 在 [1, ?? ) 上恒有 f ( x ) ? 0 ,
/ /

即 f ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? 3 ? 0 在 [1, ?? ) 上恒成立,…………………………………………2 分
/ 2

则必有

a 3

? 1 且 f (1) ? ? 2 a ? 0 ,∴ a ? 0 . ………………………………………………4 分
/

(2)依题意, f ( ? ) ? 0 ∴ a ? 4 ,…………………………………………………………5 分
/

1

3
3 2 / 2 ∴ f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 x 、令 f ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?

1 3

、 x 2 ? 3 ……………6 分

当 x 变化时, 变化情况…………………………………………………………………………8 分 ∴ f ( x ) 在 [1, 4 ] 上的最大值是 f (1) ? ? 6 . ………………………………………………10 分
27

(3) 函 数 g ( x ) ? b x 的 图 象 与 函 数 f ( x ) 的 图 象 恰 有 3 个 交 点 , 即 方 程
f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 x ? b x 恰有 3 个不等实根.…………………………………………11 分
3 2

∴ x ? 4 x ? 3 x ? bx ? 0 ,∴ x ? 0 是其中一个根,……………………………………12 分
3 2

∴方程 x ? 4 x ? 3 ? b ? 0 有两个非零不等实根.
2

∴ ? ? 0 且 ? 3 ? b ? 0 ∴ b ? ? 7 且 b ? ? 3 . ………………………………………………14 分 ∴存在满足条件的 b 值, b 的取值范围是 b ? ? 7 且 b ? ? 3 .

12、解: (1) m ? 2 时, f ( x ) ? 2 x ?

2 x

, f '( x ) ? 2 ?

2 x
3

, f '(1) ? 4 、切点坐标为 (1, 0) ,

∴切线方程为 y ? 4 x ? 4 ;………………………………………………………………4 分 (2) m ? 1 时, 令h(x) ? f (x) ? g (x) ? x ?
1 x ? 2 1 ln x , 则 h '( x ) ? 1 ? 1 x
2

?

2 x

?

( x ? 1) x
2

2

? 0 ……6 分

∴ h ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数. …………………………………………………………7 分
2 又 h ( e ).h ( ) ? ? ( ? e ? 2 ) ? 0,? h ( x ) 在 ( , e ) 上有且只有一个零点、

1 e

1 e

1 e

∴方程 f ( x ) ? g ( x ) 有且仅有一个实数根; (或说明 h (1) ? 0 也可以) ;……………8 分 (3)由题意知, mx ?
m x
2 `? x ? 1 ? 0 则当 x ? (1, e ] 时, m ?

? 2 ln x ? 2 恒 成 立 , 即 m ( x ? 1) ? 2 x ? 2 x ln x 恒 成 立 ,
2

2 x ? 2 x ln x x ?1
2

恒成立,………………………10 分
? 2 ( x ? 1). ln x ? 4
2

令 G (x) ?

2 x ? 2 x ln x x ?1
2

, 当 x ? (1, e ] 时 , G '( x ) ?

( x ? 1)
2

2

? 0 、 则 G (x) 在

x ? (1, e ] 时递减,…………………………………………………………………………12 分 G ( x ) 在 x ? (1, e ] 时的最小值为 G ( e ) ?

4e e ?1
2

, m 的取值范围是 ( ? ? , 则

4e e ?1
2

) .……14 分

13、解:(1) f ( x ) ? ?
'

1 x
2

e ?
x

1 x

e ?
x

x ?1 x
2

e , ………………………………………2 分

x

由 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 .………………………………………3 分
'

因为 当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ;…5 分
' ' '

28

(0,1] .…………………6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, ?? ) ,单调减区间是: ( ? ? , 0),

(2)
(x ?



f ( x ) ? k (1 ? x ) f ( x ) ?
'

x ? 1 ? kx ? kx x
2

2

e

x

?

( x ? 1)( ? kx ? 1) x
2

e ?0
x

, 得 :

1 k ( ) ? x

?1 )…………………………………………………8 分 0 .

故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: { x 1 ? x ? 集是: { x
1 k

1 k

} ;当 k ? 1 时,解集是: ? ;当 k ? 1 时, 解

? x ? 1} . ………………………………………………………14 分

1 14、解(1)由题设知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+ .…………………………1 分

x

x-1 .…………………………2 分 x2 令 g′(x)=0 得 x=1,…………………………3 分 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间. 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点. 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. …………………………5 分
∴g′(x)=

?1? (2)g? ?=-lnx+x. …………………………6 分 x ? ?
1 ?1? 设 h(x)=g(x)-g? ?=2lnx-x+ ,…………………………7 分 x

? ?
x

x

? x-1? 则 h′(x)=- 2

2

.…………………………8 分

?1? 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g? ?,…………………………9 分 ?x?
当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0. 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,…………………………10 分 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0. ?1? 即 g(x)>g? ?.…………………………11 分

?x?

当 x>1 时,h(x)<h(1)=0, ?1? 即 g(x)<g? ?.…………………………12 分

?x?

1 1 (3)由(1)知 g(x)的最小值为 1, 所以, (a)-g(x)< , g 对任意 x>0 成立?g(a)-1< , lna 即

a

a

<1,从而得 0<a<e. …………………………14 分
' 15、解: (1)? f ( x ) ? x ? ln x , f ( x ) ? 1 ?

1 x

?

x ?1 x

,…………………………1 分

∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减,
' ' 当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增,

∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ;………………………… 3 分
29

(2)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0 , e ] 上的最小值为 1 ∴ f ( x ) ? 0, f ( x ) m in ? 1 , 令 h(x) ? g (x) ?
1 2 ? ln x x ? 1 2

, h'(x) ?

1 ? ln x x
2

,…………………………4 分

' 当 0 ? x ? e 时, h ( x ) ? 0 , h ( x ) 在 (0 , e ] 上单调递增,…………………………5 分

∴ h ( x ) m ax ? h ( e ) ?

1 e

?

1 2

?

1 2

?

1 2

? 1 ? f ( x ) m in
1 2

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

;…………………………6 分

(3)假设存在实数 a ,使 f ( x ) ? ax ? ln x , x ? (0, e ] 有最小值 3 ,
f (x) ? a ?
'

1 x

?

ax ? 1 x

…………………………7 分
'



, ] 当 a ? 0 时 , ? x?( 0 e ?
4 e

f

x ( , 所0 以 ? )

f ( x ) 在 (0 , e ] 上 单 调 递 减 ,

f ( x ) m in ? f ( e ) ? ae ? 1 ? 3 解得 a ?

(舍) ,所以,此时 f ( x ) 无最小值. ………………9 分
1 1 , e ] 上单调递增,f ( x ) m in ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a a

②当 0 ?
2

1 a

? e 时,f ( x ) 在 (0,

1 a

) 上单调递减, ( 在

a ? e ,满足条件.

…………………………11 分
'





1 a

, ? e 时 , ? x ? ( 0e , ? ] f
f ( e) ? a e 1 解得 a ? ? ? , 3

x ?( ,) 所 0 以

f ( x ) 在 (0 , e ] 上 单 调 递 减 ,

f ( xm )

i

? n

4 e

(舍) ,所以,此时 f ( x ) 无最小值. ………………13 分

2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e ] 时 f ( x ) 有最小值 3 .…………………………14 分

16、解⑴∵ f ( x ) =

x e
x

,∴ f ?( x ) =
x
f ?( x ) f (x)

1? x e
x

.令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 1 .…………………2 分 1 0 极大值
1 e
1 e
(1, ? ? )

( ? ? ,1)

+ ↗

- ↘

∴当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) =
x e
x

.…………………4 分
x

⑵令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

?

(2 ? x )e e
2

,……………5 分

30

则 F ?( x ) =

1? x e
x

?

e (1 ? x )
x

e

2

?

(1 ? x )( e ? e
2

2x

)

e

x?2

.……………6 分

当 x ? 1 时, 1 ? x ? 0 , 2 x ? 2 ,从而 e 2 ? e 2 x ? 0 ,……………7 分 ∴ F ? ( x ) >0, F ( x ) 在 (1, ? ? ) 是增函数.……………8 分
∴ F ( x ) ? F (1) ?

1 e

?

1 e

? 0 ,故当 x ? 1 时, f ( x ) ? g ( x ) ……………9 分

⑶∵ f ( x ) 在 ( ? ? ,1) 内是增函数,在 (1, ? ? ) 内是减函数.……………10 分 ∴当 x1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时, x1 、 x 2 不可能在同一单调区间内. ∴ x1 ? 1 ? x 2 ,……………11 分 由⑵的结论知 x ? 1 时, F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) >0,∴ f ( x 2 ) ? g ( x 2 ) .……………12 分 ∵ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,∴ f ( x1 ) ? g ( x 2 ) .……………13 分 又 g ( x 2 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ……………14 分

17、 (1)证明:设 ? 1 ( x ) ? f ( x ) ? g 1 ( x ) ? e ? x ? 1 ,
x

所以 ? 1? ( x ) ? e ? 1 .……………………………1 分
x

当 x ? 0 时, ? 1? ( x ) ? 0 ,当 x ? 0 时, ? 1? ( x ) ? 0 ,当 x ? 0 时, ? 1? ( x ) ? 0 . 即函数 ? 1 ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上单调递减,在 (0, ? ? ) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小 值,………2 分 因为 ? 1 (0 ) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 ? 1 ( x )≥ ? 1 (0 ) ? 0 . 即 f ( x ) ? g 1 ( x )≥ 0 ,所以 f ( x ) ≥ g 1 ( x ) .………………………3 分 (2)解:当 x ? 0 时, f ( x ) ? g n ( x ) .……………………………………………4 分 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x ) ? g 1 ( x ) . ②假设当 n ? k ( k ? N )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x ) ? g k ( x ) ,……………5 分
*

令 ? k ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) , ? k ?1 ( x ) ? f ( x ) ? g k ?1 ( x ) ,

31

? 因为对任意的正实数 x , ? k ? 1? ( x ) ? f ? ? x ? ? g k ? 1 ? x ? ? f ( x ) ? g k ( x ) ,

由归纳假设知, ? k ? 1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 .……………………………6 分 即 ? k ? 1 ( x ) ? f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) 在 (0, ? ? ) 上为增函数,亦即 ? k ? 1 ( x ) ? ? k ? 1 (0 ) , 因为 ? k ? 1 (0 ) ? 0 ,所以 ? k ? 1 ( x ) ? 0 . 从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) . 这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有 f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) . 由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x ) ? g n ( x ) .……………………8 分 (3)证明 1:先证对任意正整数 n , g n ? 1 ? ? e . 由(2)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x ) ? g n ( x ) . 令 x ? 1 ,得 g n ? 1 ? ? f ? 1 ? = e .所以 g n ? 1 ? ? e .……………………………………9 分 再证对任意正整数 n ,
1 1 1 ?2? ?2? ?2? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? . ? ? g n ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2 ! 3! n! ?2? ?3? ?4? ? n ?1?
1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? 成立. ? ? n! ? n ?1?
n 1 2 3 n

? n ?1? 即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ? ? (*)成立.……………………………10 分 ? 2 ?

n

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) :
?1?1? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1

②假设当 n ? k ( k ? N )时,不等式(*)成立,
*

? k ?1? 即k !? ? ? .……………………………………………………………………11 分 ? 2 ?

k

则 ? k ? 1? ! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ?

? k ?1? ? k ?1? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
32

k

k ?1



?k?2? ? ? ? 2 ? ? k ?1? ? ? ? 2 ?

k ?1

k ?1

?k?2? ?? ? ? k ?1 ?

k ?1

1 ? ? ? ?1 ? ? k ?1? ?

k ?1

? C k ?1 ? C k ?1
0 1

? 1 ? ? ? ? C k ?1 ? ? k ?1 ? k ?1? 1
k ?1

k ?1

? 2,

…………………………………………………………………………………………12 分
? k ?1? 所以 ? k ? 1 ? ! ? 2 ? ? ? 2 ?
k ?1

?k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1

.………………………………………13 分

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ? 立.………………14 分 方法 2(基本不等式法) : 因为 n ? 1 ?
n ?1
?2? ?2? ?2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? g n ?1 ? ? e 成 ?2? ?3? ?4? ? n ?1?
1 2 3 n

,……………………………………………………11 分 ,

? n ? 1? ? 2
……,
1? n ?

?

2 n ?1 2

n ?1 2


n

? n ?1? 将以上 n 个不等式相乘,得 n ! ? ? ? .…………………………………13 分 ? 2 ?

所以对任意正整数 n ,不等式(*)都成立.
?2? ?2? ?2? ? 2 ? 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g n ?1 ? ? e 成 ?2? ?3? ?4? ? n ?1?
1 2 3 n

立.……………14 分 18、
解 : 显 然 f ( x )的 定 义 域 为 (0 ,+ ? ). f ?( x ) ? ? 1 x 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x ? 1
2

? 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a )

x 设 g ( x ) ? 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x ? 1, x ? (0 ,+ ? ).
2

① 若 a ? 1, 则 g ( x ) ? 1 ? 0, ? 在 (0 ,+ ? ) 有 f ? ( x ) > 0, ? f ( x ) 在 (0 ,+ ? ) 上 是 增 函 数 .

33

② 若 a ? 1, 则 2 a (1 ? a ) ? 0, g ( x )的 图 像 开 口 向 下 . 此 时 ? = [ ? 2 (1 ? a )] ? 4 ? 2 a (1 ? a ) ? 1
2

? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) ? 0 . 方 程 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x ? 1= 0 有 两
2

不等实根 x1 ? x2 ? 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) ,

4 a (1 ? a ) 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a )

4 a (1 ? a )

且 x1 ? 0 ? x 2 . ? 在 (0 , 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) 4 a (1 ? a ) 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) ) 上 g ( x ) ? 0, 即 f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 是 增 函 数 .

在(

2 (1 ? a ) ?

4 a (1 ? a )

,+ ? ) 上 , g ( x ) < 0, 即 f ?( x ) < 0, f ( x ) 是 减 函 数 .

③ 若 0 ? a ? 1, 则 2 a (1 ? a ) ? 0, g ( x )的 图 象 开 口 向 上 . 由 ? = 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) 知 , 当 1 3 (0 ,+ ? ) 上 , g ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? ? 0, f ( x ) 是 增 函 数 . 当0 ? a ? 1 3 不等实根满足 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) 4 a (1 ? a ) 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) )和 ( ? 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) 4 a (1 ? a ) 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) ? 0, 时 , ? > 0, 方 程 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x ? 1= 0的 两
2

? a ? 1时 , ? ? 0, 故 在

故 在 (0 ,

2 (1 ? a ) ?

2 (1 ? a ) ?

4 a (1 ? a )

4 a (1 ? a )

,+ ? ) 上 ,

g ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? ? 0, f ( x ) 是 增 函 数 . 在( 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) 2 (1 ? a ) ? 4 (1 ? a )(1 ? 3 a ) , ) 上 g ( x ) < 0, 即 f ( x ) ? < 0, f ( x ) 是 减 函 数 . 4 a (1 ? a ) 4 a (1 ? a )

19、解:(I) 函数 f ( x ) ? x ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ? 1, ? ? ? .
2

f '( x ) ? 2 x ?

b x ?1

?

2x ? 2x ? b
2

x ?1

,……………………………1 分

令 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x ) 在 ? ?
2

? ?

1

1? ? ? , ? ? ? 上递增,在 ? ? 1, ? ? 上递减, 2 2? ? ?

g ( x ) m in ? g ( ?

1 2

)? ?

1 2

? b .……………………………2 分

34

当b ?

1 2

时, g ( x ) m in ? ?
2

1 2

?b ? 0,
'

g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 ? ? 1, ? ? ? 上恒成立.? f ( x ) ? 0, …………………3 分

即当 b ?

1 2

时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ? 1, ? ? ? 上单调递增。

(II)分以下几种情形讨论: (1)由(I)知当 b ?
1 2
2( x ? 1 )
2

时函数 f ( x ) 无极值点.

(2)当 b ?

1 2

时, f '( x ) ?
1 2

2 x ?1

,? x ? ? ? 1, ?
?

?

1? ? 1 ' ? 时, f ( x ) ? 0, x ? ? ? , ? ? 2? ? 2

? ? 时, ?

f ( x ) ? 0, ? b ?
'

时,函数 f ( x ) 在 ? ? 1, ? ? ? 上无极值点。……………………………5 分
?1 ? 1 ? 2b 2 1 ? 2b 2

(3)当 b ?

1 2

' 时,解 f ( x ) ? 0 得两个不同解 x1 ?

, x2 ?

?1 ?

1 ? 2b 2

.

当 b ? 0 时, x1 ?

?1 ?

1 ? 2b 2

? ? 1 , x2 ?

?1 ?

? ?1,

? x1 ? ? ? 1, ? ? ? , x 2 ? ? ? 1, ? ? ? , 此 时 f ( x ) 在
?1 ? 1 ? 2b 2

? ? 1, ? ? ? 上 有 唯 一 的 极 小 值 点

x2 ?

.……………………………7 分

当0 ? b ?

1 2

时, x1 , x 2 ? ? ? 1, ? ? ? , f ( x ) 在 ? ? 1, x1 ? , ? x 2 , ? ? ? 都大于 0 , f ( x ) 在 ( x1 , x 2 )
' '

上 小 于 0 , 此 时 f ( x ) 有 一 个 极 大 值 点 x1 ?
?1 ? 1 ? 2b 2

?1 ? 2

1 ?b 2

和一个极小值点

x2 ?

.……………………………9 分

综上可知: b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ? 1, ? ? ? 上有唯一的极小值点 x 2 ?
?1 ? 1 ? 2b 2

?1 ?

1 ? 2b 2



0?b?

1 2

时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

和一个极小值点 x 2 ?

?1 ?

1 ? 2b 2



b?

1 2

时,函数 f ( x ) 在 ? ? 1, ? ? ? 上无极值点。……………………………10 分
2

(III)当 b ? ? 1 时, f ( x ) ? x ? ln ( x ? 1). ……………………………11 分

35

3 3 2 令 h ( x ) ? x ? f ( x ) ? x ? x ? ln( x ? 1), 则 h ( x ) ?
'

3 x ? ( x ? 1)
3

2

x ?1

………………12 分

在 ? 0, ? ? ? 上恒正, h ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增, x ? ? 0, ? ? ? 时, 当 恒有 h ( x ) ? h (0) ? 0 . ? 即当 x ? ? 0, ? ? ? 时,有 x ? x ? ln ( x ? 1) ? 0, ln ( x ? 1) ? x ? x ,………………13 分
3 2 2 3

对任意正整数 n ,取 x ?

1 n

得 ln (

1 n

? 1) ?

1 n
2

?

1 n
3

……………………………14 分

20、解: (I)因为 f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+ ? ), 且 f〃(x)=
1 1? x

-1=

?x 1? x

.……………1 分

由 f〃(x)>0 得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0) ; 由 f〃(x)<0 得 x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+ ? ). ……………3 分 (Ⅱ)因为 f(x)在 ? 0 , n ? 上是减函数,所以 b n ? f ( n ) ? ln (1 ? n ) ? n , ……………4 分 则 a n ? ln(1 ? n ) ? b n ? ln(1 ? n ) ? ln(1 ? n ) ? n ? n . ……………5 分 (i)因为
c an?2
c n?2 ?

?

an?2 ?

a n 对 n∈N*恒成立.

所以

n?2 ?

n 对 n∈N*恒成立.

则c ? n ? 2 ?

n ? 2 n 对 n∈N*恒成立.
2

设 g (n) ? n ? 2 ? 考虑 g ( x ) ? x ? 2 ?
( 因为 g ′x ) ? 1 ? 1 2

n ? 2 n , n∈N*,则 c<g(n)对 n∈N*恒成立. ……………6 分
2

x ? 2 x , x ? ?1, ? ? ? .
2
? 1 2

(x ? 2 x)
2

? (2 x ? 2) ? 1 ?

x ?1 x ? 2x
2

?1?

x ?1 x ?1

=0,……………7 分

所以 g ( x ) 在 ?1, ? ? ? 内是减函数;则当 n∈N*时,g(n)随 n 的增大而减小,……………8 分
2? ? lim
x? ?

4 n

又因为 lim g ( n ) ? lim ( n ? 2 ?
x? ? x? ?

n ? 2 n ) ? lim
2

2n ? 4 n?2? n ? 2n
2

=1.
2 n

x? ?

1?

2 n

?

1?

所以对一切 n ? N , g ( n ) ? 1 . 因此 c≤1,即实数 c 的取值范围是(-∞, 1]. ……………10 分
*

36

(ⅱ) 解法一:由(i)知

1 2n ? 1

?

2n ? 1 ?

2 n ? 1. ……………11 分

因为[

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ?? ? ( 2 n )

] ?

2

1?3 3 ?5 5 ?7 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? < , 3 2 2 4 6 (2n) 2n ? 1 2n ? 1 1

所以

1 ? 3 ? 5 ? ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n) 1?3 2?4

?

2n ? 1

< 2n ? 1 ?

2 n ? 1 (n ? N ),……………13 分

*



1 2

?

?? ?

1 ? 3 ? 5 ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? (2n)



3?

1?

5?

3 ?? ?

2a ? 1 ?

2n ? 1 ?

2 n ? 1 ? 1 .即

a1 a2

?

a1 a 3 a2an

???

a1 a 3 ? a 2 n ?1 a2a4 ? a2n



2 a n ? 1 ? 1( n ? N*) ……………14 分
1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1. ……………11 分

解法二:由(ⅰ)知

下面证明不等式

1 ? 3 ? 5 ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? (2n)
1 2

?

1 2n ? 1 1 3

( n ? N ).

?

① 当 n=1 时,左边=

,右边=

,左边<右边.不等式成立. ……………12 分

② 假设当 n=k 时,不等式成立.即

1 ? 3 ? 5 ? ( 2 k ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? (2 k )

?

1 2n ? 1

. 当 n=k+1 时,

1 ? 3 ? 5 ? 2 k -1) 2 k ? 1) ( ( 2 ? 4 ? 6 ? 2 k )2 k ? 2 ) ( (
4k 2 ? 8k ? 3 4k 2 ? 8k ? 4 1 2k ? 3



1 2k ? 1
1 2k ? 3

?

2k ? 1 2k ? 2
1

?

2k ? 1 2k ? 2

?

2k ? 1 2k ? 3 2k ? 2

?

1 2k ? 3

=

?



?

2 ( k ? 1) ? 1
?

,

即 n=k+1 时,不等式成立……………13 分
1 2n ? 1 ( n ? N *)

综合①、②得,不等式 1 ? 3 ? 5 ? ? ∴ 1 ? 3 ? 5 ??
1 2 ? 1 ?3 2 ?4 ?? ?
?

( 2 n ? 1)

2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n)
( 2 n ? 1) < 2n ? 1 ? 2n ? 1



成立.

2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n)

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) < 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n)

3- 1+ 5- 3= ? + 2 n ? 1 ?

2n ? 1 ? 1.

即 a1
a2

?

a1a 3 a2a4

? ?+

a 1 a 3 ? a 2 n ?1 a 2 a 4 ? a 2n

< 2 a n ? 1 ? 1( n ? N *)

.……………14 分

37

22、解: (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F1 ( ? 5 , 0 ) 、 F2 ( 5 , 0 ) , 由题意得 R ? | C F1 | ? 2 ? | C F2 | ? 2 或 R ? | C F2 | ? 2 ? | C F1 | ? 2 ,…………2 分
?|| C F1 | ? | C F2 ||? 4 ? 2 5 ? | F1 F2 | ,

可知圆心 C 的轨迹是以 F1 , F 2 为焦点的双曲线,…………5 分 设方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,则 2 a ? 4, a ? 2, c ? x
2

5 , b ? c ? a ? 1, b ? 1 ,………6 分
2 2 2

所以轨迹 L 的方程为

? y ? 1 .…………7 分
2

4

(2)∵ || M P | ? | F P ||? | M F |? 2 ,仅当 P M ? ? P F ( ? ? 0 ) 时,取"=",……9 分 由 k M F ? ? 2 知直线 l M F : y ? ? 2 ( x ? 联立
x
2 2

???? ?

??? ?

5 ) ,…………11 分

? y ? 1 并整理得 1 5 x ? 3 2 5 x ? 9 ? 0 …………12 分
2

4

解得 x ?

6 5 5

或x ?

14 5 15

(舍 去 ) ,此时 P (

6 5 5

,-

2 5 5

)

所以 || M P | ? | F P || 最大值等于 2,此时 P (

3 5 5

,

4 5 5

) .…………14 分

38

?c 6 , ? ? 23、解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? b ? 1 ,…………3 分 ? ? a ? 3,

? 所求椭圆方程为

x

2

? y ? 1 .…………4 分
2

3

(Ⅱ)设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) . (1)当 A B ⊥ x 轴时, A B ?
3 .…………5 分

(2)当 A B 与 x 轴不垂直时,设直线 A B 的方程为 y ? kx ? m .
m 1? k
2

由已知

?

3 2

,得 m ?
2

3 4

( k ? 1) .…………6 分
2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3 k ? 1) x ? 6 km x ? 3 m ? 3 ? 0 ,…………7 分
2 2 2

? x1 ? x 2 ?

? 6 km 3k ? 1
2

x1 x 2 ?

3( m ? 1)
2

3k ? 1
2

.…………8 分

? AB

2

2 2 2 1 2 ( m ? 1) ? 2 ? 36k m 2 2 ? ? (1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? ? 2 2 2 3k ? 1 ? ? (3 k ? 1)

?

1 2 ( k ? 1)(3 k ? 1 ? m )
2 2 2

(3 k ? 1)
2

2

?

3( k ? 1)(9 k ? 1)
2 2

(3 k ? 1)
2

2

? 3?

12k
4

2 2

9k ? 6k ? 1

? 3?
2

12 9k ? 1 k
2

(k ? 0) ≤ 3 ? ?6

12 2?3? 6

? 4 .…………10 分

当且仅当 9 k ?
2

1 k
2

,即 k ? ?

3 3

时等号成立.…………11 分

当 k ? 0 时, A B ? 综上所述 A B

3 ,…………12 分

m ax

? 2 .…………13 分

? 当 A B 最大时, △ A O B 面积取最大值 S ?

1 2

? AB

m ax

?

3 2

?

3 2

…………14 分

24、解: (1)由已知,得

( x ? 1) ? y
2

2

2?x

?

2 2

,………1 分.

39

将两边平方,并化简得

x

2

? y ? 1,
2

…3 分.

2 x
2

故轨迹 C 1 的方程是

? y ? 1 。……4 分.
2

2
2 2
2 2 2 2

(2)由已知可得 A F ?

( 2 ? x1 ) , B F ?

( 2 ? 1) , C F ?

(2 ? x2 ) ,

因为 2 B F ? A F ? C F ,所以 即得 x1 ? x 2 ? 2 , 线段 A C 中点为 (1, ①
y1 ? y 2 2

2 2

( 2 ? x1 ) ?

2 2

(2 ? x2 ) ? 2 ?

2 2

( 2 ? 1) ,

…5 分.
y1 ? y 2 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2

) ,其垂直平分线方程为 y ?

? ?

( x ? 1) ,…6 分.

因为 A , C 在椭圆上,故有

x1

2

2 x1 ? x 2
2 2

? y1 ? 1 ,
2

x2 2

2

? y 2 ? 1 ,两式相减,得:
2

2

? y1 ? y 2 ? 0
2 2


2 ( y1 ? y 2 ) x1 ? x 2

将①代入③,化简得 ?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

?

? y1 ? y 2 ,

④ …………7 分.

将④代入②,并令 y ? 0 得, x ?
2 ?0 1 2 ?

1 2

,即 T 的坐标为 ( , 0 ) 。………………8 分.
2

1

所以 k B T ?

2 1?

Q 直线 P Q 的方程为 y ? kx ? m 2 .……9 分.设 P ? x1 , y1 ? 、 ? x 2 , y 2 ? ,

因为 P 既在椭圆 C 1 上又在直线 P Q 上,从而有 ? ?

? y 1 ? kx1 ? m x1 y ? 1 ?1 ? ? 2 1
2
2 2

(1) (2)

将(1)代入(2)得 ? 2 k ? 1 ? x ? 4 km x ? 2 ? m ? 1 ? ? 0
2 2
2

………10 分.

由于直线 P Q 与椭圆 C 1 相切,故 ? ? ? 4 km ? ? 4 ? 2 ? m 2 ? 1 ? ? 2 k 2 ? 1 ? ? 0 从而可得 m ? 1 ? 2 k , x1
2 2

? ?

2k m

(3)
2

同理,由 Q 既在圆 C 2 上又在直线 P Q 上,可得 m ? r
2

2

?1 ? k

2

? , x2 ? ?

kr m

(4)…12 分

40

由(3)(4)得 k 2 ? 、
2 2

r ?1
2

2?r

2

, x 2 ? x1
2

?

k ?2 ? r m

2

?
2

所以 P Q ? ? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? ?1 ? k 2 ? ? x 2 ? x1 ?
m r
2 2

?

?

k

2

?2 ? r ?
2

2

m

2

?

?2 ? r ?
2

2

r

2

?

r ?1
2

2?r
2

2

?

?2 ? r ??r
2

2

? 1?

r

2

? 3?r ?
2

2 r
2

? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1)

2

……13 分.



PQ ?

2 ? 1 ,当且仅当 r

?

2 时取等号,

故 P 、 Q 两点的距离 P Q 的最大值 2 ? 1 .……………………………………………14 分.

2 25、解: (1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ? 1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,… 2 分.

1 5

2 2

设线段 P Q 的中点 M 坐标为 ( x , y ) ,
1 ? s ,y ? 2 5 2 2 ?t

则x ? 2

,即 s ? 2 x ?
5 2

1 2

,t ? 2 y ?

5 2

,………………… 3 分.
2

又点 P 在曲线 C 上,∴ 2 y ?

? (2 x ?

1 2

) 化简可得 y ? x
2

? x? 1 2

11 8

,……………5 分.
1 4 ? x ? 5 4

又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ?
2
2 2 2

? 2 ,即 ?



11 8

(?
51 25

1 4

? x ?

5 4

). …………………7 分.

(2)曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ? 即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2 ) ?
2 2

?0, 7 5

49 25

,其圆心坐标为 E ( a , 2 ) ,半径 r ?
2 2

……………9 分.

? 0 与点 D 有公共点;…… 11 分. 25 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点, 当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ? 只需圆心 E 到 25

当0 ? a ?

2 时,曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ?
2

51

直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 5

,得 ?

7 5

2

? a ? 0 ,………13 分.

综上所述, a 的最小值为 ?

7 5

2

.…………………14 分.

0 26、解:由条件知 F ( 2,) ,设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) .

? (I)当 A B 与 x 轴垂直时,可求得点 A、B 的坐标分别为 ( 2, 2 ) , ( 2,

2)

41

? 此时则有 C A ?C B ? (1, 2 ) ? (1,

??? ??? ? ?

2 ) ? ? 1 .………………2 分

当 A B 不与 x 轴垂直时,设直线 A B 的方程是 y ? k ( x ? 2)( k ? ? 1) . 代入 x ? y ? 2 ,则有 (1 ? k ) x ? 4 k x ? (4 k ? 2) ? 0 .………………3 分
2 2 2 2 2 2

则 x1, x 2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x 2 ?

4k
2

2

k ?1

, x1 x 2 ?

4k ? 2
2

k ?1
2

,…………4 分

??? ??? ? ? 2 C A ?C B ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? k ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )
( k ? 1)( 4 k ? 2 )
2 2

? ( k ? 1) x1 x 2 ? (2 k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 4 k ? 1 ?
2 2 2

k ?1
2

?

4 k ( 2 k ? 1)
2 2

k ?1
2

? 4k ? 1
2

? ( ? 4 k ? 2) ? 4 k ? 1 ? ? 1 .………………6 分
2 2

∴ 综上所述, C A ?C B 为常数 ? 1 .
0 (II)设 M ( x, y ) , C M ? ( x ? 1, y ) C A ? ( x1 ? 1, y1 ) C B ? ( x 2 ? 1, y 2 ) C O ? ( ? 1,) , ???? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

????

由 C M ? C A ? C B ? C O 得: ?

???? ?

??? ?

??? ?

????

? x ? 1 ? x1 ? x 2 ? 3, ? x1 ? x 2 ? x ? 2, 即? ? y ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? y

于是 A B 的中点坐标为 ?

? x?2 y? , ? .………………8 分 2? ? 2

y

当 A B 不与 x 轴垂直时,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

2 x?2 2

? ?2
2

y x?2

即 y1 ? y 2 ?

y x?2

( x1 ? x 2 ) .… 9 分

又因为 A、B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x 2 ? y 2 ? 2 ,两式相减得
2 2 2

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ,即 ( x1 ? x 2 )( x ? 2) ? ( y1 ? y 2 ) y .…………10 分

将 y1 ? y 2 ?

y x?2

( x1 ? x 2 ) 代入上式,化简得 x ? y ? 4 .………………11 分
2 2

0) 当 A B 与 x 轴垂直时, x1 ? x 2 ? 2 ,求得 M (2, ,也满足上述方程.…………… 13 分

所以点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .………………14 分
2 2

27、 (1)解:依题意可得 A ( ? 1, 0) , B (1, 0) .……………………………………………1分

42

设双曲线 C 的方程为 x ?
2

y b

2 2

? 1 ?b ? 0? ,

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

1? b 1

2

?

5 ,即 b ? 2 .

所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y

2

? 1 .……………………………………………3 分

4

(2) 证法 1: 设点 P ( x1 , y 1 ) T ( x 2 , y 2 )( x i ? 0 ,y i ? 0 , ? 1, 2 ) 直线 A P 斜率为 k( k ? 0 ) , i 则直线 A P 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,………………………………………………4 分
? y ? k ? x ? 1? , ? 2 联立方程组 ? …………………………………………………5 分 y 2 ? 1. ?x ? ? 4

整理,得 ? 4 ? k
4?k 4?k

2

?x

2

? 2 k x ? k ? 4 ? 0 ,解得 x ? ? 1 或 x ?
2 2

4?k 4?k

2 2



2 2

所以 x 2 ?

.…………6 分

同理可得, x1 ?

4?k 4?k

2 2

.……………………………………………………………7 分

所以 x1 ? x 2 ? 1 .……………………………………………………………………8 分 证法 2:设点 P ( x1 , y 1 ) 、 T ( x 2 , y 2 ) ( x i ? 0 , y i ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 k AP ?
y1 x1 ? 1

, k AT ?

y2 x2 ? 1 y1 ?

.……………………………4 分

因为 k A P ? k A T ,所以

y2 x2 ? 1

x1 ? 1

,即

y1

2 2

? x1 ? 1 ?

?

y2

2 2

? x2
y1 4
2

? 1?

.………………5 分

因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?
2

? 1 , x2 ?
2

y2 4

2

?1.

即 y 1 ? 4 ? x1 ? 1 ? , y 2 ? 4 ? 1 ? x 2
2 2 2

2

? .…………………………………………6 分
? 1 ? x2 x2 ? 1

所以

4 ? x1 ? 1 ?
2

? x1 ? 1 ?

2

?

4 ?1 ? x 2

2

?

? x2

? 1?

2

,即

x1 ? 1 x1 ? 1

.…………………………………7 分

43

所以 x1 ? x 2 ? 1 .………………………………………………………………………8 分 证法 3:设点 P ( x1 , y 1 ) ,直线 A P 的方程为 y ?
y1 x1 ? 1 ( x ? 1) ,……………………4 分

y1 ? ? y ? x ? 1 ? x ? 1? , ? 1 联立方程组 ? ………………………………………………5 分 2 y ? 2 x ? ? 1. ? ? 4

整理,得 ? 4 ( x1 ? 1) ? y1 ? x ? 2 y1 x ? y1 ? 4 ( x1 ? 1) ? 0 , ? ?
2 2 2 2 2 2

解得 x ? ? 1 或 x ?

4 ( x1 ? 1) ? y1
2

2 2

4 ( x1 ? 1) ? y 1
2

.……………………………………6 分

将 y 1 ? 4 x1 ? 4 代 入 x ?
2 2

4 ( x1 ? 1) ? y1
2

2 2

4 ( x1 ? 1) ? y 1
2

, 得 x?

1 x1

, 即 x2 ?

1 x1

. 所 以

x1 ? x 2 ? 1 .…………8 分

(3)解:设点 P ( x1 , y 1 ) 、 T ( x 2 , y 2 ) ( x i ? 0 , y i ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 P A ? ? ? 1 ? x1 , ? y 1 ? , P B ? ? 1 ? x 1 , ? y 1 ? .
2 2 因为 P A ? P B ? 1 5 ,所以 ? ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x1 ? ? y1 ? 1 5 ,即 x1 ? y1 ? 1 6 .…………9 分

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

2

因为点 P 在双曲线上,则 x1 ?
2

y1 4

2

? 1 ,所以 x1 ? 4 x1 ? 4 ? 1 6 ,即 x1 ? 4 .
2 2 2

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 .………………………10 分 因为 S 1 ?
2

1 2

| A B || y 2 | ? | y 2 | , S 2 ?
2 2

1 2

| O B || y 1 |?
2

1 2

| y1 | ,
2 2

所以 S 1 ? S 2 ? y 2 ?

1 4

y1 ? ? 4 ? 4 x 2
2

???x

2 1

? 1 ? ? 5 ? x1 ? 4 x 2 .……………11 分

由(2)知, x1 ? x 2 ? 1 ,即 x 2 ?

1 x1
2


4 t

2 设 t ? x1 ,则 1 ? t ? 4 , S 1 ? S 2 ? 5 ? t ?
2



设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 t

,则 f ? ? t ? ? ? 1 ?

4 t
2

?

?2 ? t??2 ? t?
t
2



当 1 ? t ? 2 时, f ? ? t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ? t ? ? 0 ,
44

所以函数 f ? t ? 在 ? 1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, 4 ? 上单调递减. 因 为
f ?2? ? 1 , f ?1 ? ? f ? 4 ? ? 0

, 所 以 当 t ? 4 , 即 x1 ? 2 时 ,

?S

2 1

? S2

2

?

m in

? f ? 4 ? ? 0 .………12 分

当 t ? 2 ,即 x1 ?
2 2

2 时, ? S 1 ? S 2
2

2

?

m ax

? f ? 2 ? ? 1 .……………………………13 分

所以 S 1 ? S 2 的取值范围为 ? 0,1 ? .…………………………………………14 分 说明:由 S 1 ? S 2 ? 5 ? ? x1 ? 4 x 2
2 2 2 2

? ? 5 ? 4x x
1

2

? 1 ,得 ? S 1 ? S 2
2

2

?

? 1 ,给 1 分.
m ax

28、解(1)因为 a ? b , a ? ( m x , y ? 1) , b ? ( x , y ? 1) , 所以 a ? b ? m x ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

?

?

?

?

? ?

即 m x ? y ? 1 .………………………1 分
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ? 1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. ………………………3 分 (2).当 m ?
1 4

时, 轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1,
2

4

? y ? kx ? t ? 2 2 设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方程组 ? x 2 得 x ? 4 ( kx ? t ) ? 4 , 2 ? y ?1 ? ? 4

即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 ,………………………4 分
2 2 2

要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 (4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4 k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4 k ? 1 ,
2 2 2 2

8 kt ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? ? 1 ? 4k 且? ………………………5 分 2 4t ? 4 ? x x ? 1 2 2 ? 1 ? 4k ?
2

y1 y 2 ? ( kx1 ? t )( kx 2 ? t ) ? k x1 x 2 ? kt ( x1 ? x 2 ) ? t ?
2

k (4t ? 4)
2 2

1 ? 4k

2

?

8k t

2 2 2

1 ? 4k

?t ?
2

t ? 4k
2

2

1 ? 4k

2

,

45

要使 O A ? O B ,

??? ?

??? ?

需使 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即
2 2

4t ? 4
2

1 ? 4k
2

2

?

t ? 4k
2

2

1 ? 4k

2

?

5t ? 4 k ? 4
2 2

1 ? 4k
2

2

? 0 ,…6 分

所以 5 t ? 4 k ? 4 ? 0 ,
2 2

即 5t ? 4 k ? 4 且 t ? 4 k ? 1 ,
2

即 4 k ? 4 ? 20 k ? 5 恒成立.
2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,
4 (1 ? k )
2

所以圆的半径为 r ?

t 1? k
2

r ?
2

t

2 2



1? k

? 5

1? k

2

?

4 5

圆为 x ? y ?
2 2

4 5

.………7 分

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?
(? 2 5 5 ,? 2 5
2 2

2 5

5 ,与

x

2

? y ? 1 交于点 (
2

2 5

5 ,?

2 5

5) 或

4

5 ) 也满足 O A ? O B .………………………8 分 4 5

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点

A,B,且 O A ? O B .
(3)当 m ?
1 4

??? ?

??? ?

时,轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆
2

4

C: x 2 ? y 2 ? R 2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?
因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,
? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4 ( kx ? t ) ? 4 , 2 ? y ?1 ? ? 4

t 1? k
2

, 即 t ? R (1 ? k ) ①, …9 分
2 2 2

即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 (4 k ? t ? 1) ? 0 ,即 4 k ? t ? 1 ? 0 ,②…10 分
2 2 2 2 2 2
2 2

2 ? 2 3R ?t ? 2 ? 4?R 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 2 ? ? 4?R

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

46

8 kt ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 由? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?

中 x 1 ? x 2 ,所以, x1 ?
2

4t ? 4
2

1 ? 4k

2

?

16 R ? 16
2

3R

2

, ……………11 分

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 2 ? 1 ?
2

1 4

x1 ?
2

4?R 3R
2

2

所以 | O B1 | ? x1 ? y1 ? 5 ?
2 2 2

4 R
2

,…12 分

在直角三角形 OA1B1 中, | A1 B1 | ? | O B1 | ? | O A1 | ? 5 ?
2 2

4 R
2

? R ? 5?(
2

4 R
2

?R )
2

因为

4 R
2

? R ? 4 当且仅当 R ?
2

2 ? (1, 2 ) 时取等号,所以 | A1 B1 | ? 5 ? 4 ? 1 ,………14 分
2

即当 R ?

2 ? (1, 2 ) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

29、解: (1)设 M(x,y) ,P(0,y') ,Q(x',0) (x'>0) ,∵ ∴ ∴





且(3,y')?(x,y﹣y')=0,……2 分 .∴y =4x(x>0) .……4 分
2

∴动点 M 的轨迹 C 是以 O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)…5 分 (2)①当直线 l 垂直于 x 轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED;……………6 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 依题意,可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣m) (k≠0,m>0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 A,B 两点的坐标满足方程组 消去 x 并整理,得 ky ﹣4y﹣4km=0,
2



.…………………………………………………8 分

设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2,则: k1+k2= = = =

= ∴tan∠AED+tan(180°﹣∠BED)=0,∴tan∠AED=tan∠BED, ∵ , ∴∠AED=∠BED.

.………………11 分

综合①、②可知∠AED=∠BED.…………………………………………………12 分 (3)假设存在垂直 x 轴的直线 x=n,弦长为 d 则 =(n-m+1)x1+mn-n 当 m=1 时不存在 当 m>0 且 m≠1 时,存在直线 x=m-1…………………………………………………14 分
47
2

30、解:(1)设动点为 M,其坐标为(x,y), 当 x≠±a 时,由条件可得 kMA1?kMA2=
2 2 2

y

x+a x-a x2-a2

?

y



y2

=m,

即 mx -y =ma (x≠±a), 2 2 2 又 A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足 mx -y =ma , 2 2 2 故依题意,曲线 C 的方程为 mx -y =ma . …………………………………………2 分

x2 y2 当 m<-1 时,曲线 C 的方程为 2+ =1,C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a -ma2 2 2 2 当 m=-1 时,曲线 C 的方程为 x +y =a ,C 是圆心在原点的圆; x2 y2 当-1<m<0 时,曲线 C 的方程为 2+ =1,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a -ma2 x2 y2 当 m>0 时,曲线 C 的方程为 2- 2=1,C 是焦点在 x 轴上的双曲线.…………6 分 a ma 2 2 2 (2)由(1)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x +y =a ; 当 m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C2 的两个焦点分别为 F1(-a 1+m,0),F2(a 1+m,0). 对于给定的 m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1 上存在点 N(x0,y0)(y0≠0)使得△F1NF2 的面积 S= 2 |m|a 的充要条件
2 2 2 ① ?x0+y0=a ,y0≠0, ? 是?1 2 ?2?2a 1+m|y0|=|m|a . ② ?

……………………………8 分

由①得 0<|y0|≤a,由②得|y0|= 当 0< 当 |m|a

|m|a 1+m

.

1- 5 1+ 5 2 ≤a,即 ≤m<0 或 0<m≤ 时,存在点 N,使 S=|m|a ;……10 分 2 2 1+m

|m|a

1- 5 1+ 5 >a,即-1<m< 或 m> 时,不存在满足条件的点 N. ……12 分 2 2 1+m

当 m∈?

?1- 5 ? ? 1+ 5? ,0?∪?0, ?时, 2 ? ? 2 ? ?

→ → 由NF1=(-a 1+m-x0,-y0),NF2=(a 1+m-x0,-y0),可得 → → NF1?NF2=x2-(1+m)a2+y2=-ma2, 0 0 → → 设|NF1|=r1,|NF2|=r2,∠F1NF2=θ , ma2 → → 2 则由NF1?NF2=r1r2cosθ =-ma ,可得 r1r2=- , cosθ 1 ma2sinθ 1 2 从而 S= r1r2sinθ =- =- ma tanθ , 2 2cosθ 2 2 于是由 S=|m|a , 1 2 2|m| 2 可得- ma tanθ =|m|a ,即 tanθ =- .…………………………………………14 分 2 m 综上可得: ?1- 5 ? 2 当 m∈? ,0?时,在 C1 上,存在点 N,使得 S=|m|a ,且 tan∠F1NF2=2; 2 ? ?

? 1+ 5? 2 当 m∈?0, ?时,在 C1 上,存在点 N,使得 S=|m|a ,且 tan∠F1NF2=-2; 2 ? ?
1- 5? ?1+ 5 ? ? 当 m∈?-1, ?∪? ,+∞?时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N. 2 ? ? 2 ? ?

48

P 31、解(1)在 R t ? B A D 中,? ? A B D ? 6 0 ,? A B ? R , A D ? 而 PD 垂直底面 ABCD, P A ?
PB ? PD ? BD
2
2
?

3R

E
PD ? AD
2 2 2

?

(2 2 R ) ? ( 3R ) ?
2 2

1 1R

G D F

2

?

(2 2 R ) ? (2 R ) ? 2 3R ,
2
2 2

A

在 ? P A B 中, P A ? A B ? P B , B C 即 ? P A B 为以 ? P A B 为直角的直角三角形。………………………3 分 设点 D 到面 P A B 的距离为 H ,由 V P ? A B D ? V D ? P A B 有 P A ?A B ?H ? A B ?A D ?P D ,即
H ? A D ?P D PA ? 3 R ?2 2 R 1 1R ? 2 66 11 R
sin ? ? H BD ? 66 11

………………………6 分
? DF

,? G F / / P D ,? G F ? B C , EB GC EB FC GC DC ? G F ? E G ,? ? E F G 是直角三角形;………………………10 分 PE 1 EG PE 1 GF CF 2 ? 时 ? ? , ? ? , (3) EB 2 BC PB 3 PD CD 3

(2) E G / / B C ,?

PE

?

PG

,而

PE

?

DF

,即

PG

即 EG ?

1 3

BC ?

1 3

? 2 R ? co s 4 5 ? ?
? 1 2 E G ?G F ? 1 2

2 3

R,GF ?
2 3 R?

2 3

PD ?
R ? 4 9 R

2 3
2

? 2 2R ?

4 2 3

R

,

? ? E F G 的面积 S

?EFG

?

4 2 3

………………………14 分

32、

49

50


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