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我的收藏-2013届数学(文)第一轮第4章第28讲 三角函数的应用_图文

【例1】

三角函数的最大值与 最小值
? ?

求下列函数的最值.

?1? y=cos

x+sinx,x ? [- , ]; 4 4 1 3 2 ? 2 ? y= cos x+ sinxcosx+1,x ? R; 2 2 ? 3? y=x+2sinx,x ? [0,? ].
2

【解析】1? y=-sin 2 x+sinx+1 ? 1 2 5 =-(sinx- ) + . 2 4 2 2 因为x ? [- , ],所以- ? sinx ? , 4 4 2 2 2 1? 2 所以,当sinx=- 时,ymin= ; 2 2 1 5 当sinx= 时,ymax= . 2 4

? ?

1 3 2 ? 2 ? y= cos x+ sinxcosx+1 2 2 1 3 5 = cos2x+ sin2x+ 4 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ , 2 6 4 3 7 所以ymin= , ymax= . 4 4

2? ? 3?当y?=1+2cosx=0,且x ? [0,? ]时,x= . 3 2? 2? 当x ? [0, )时,y? ? 0,y在[0, )上单调递增; 3 3 2? 2? 当x ? ( ,? ]时,y? ? 0,y在( ,? ]上单调递减. 3 3 2? 2? 所以,当x= 时,ymax= + 3; 3 3 当x=0时,ymin=0.

求解三角函数在给定区间上 的最值时,应注意变量的取值范 围.在求三角函数的最值时,应 通过三角恒等变换先化简再求值 或者利用导数求最值.

【变式练习】 1 sin x cos x 若x ? [0,? ),求y= 的值域. 1 ? sin x ? cos x

t2 ?1 【解析】令sinx+cosx=t,则sinxcosx= , 2 1 2 ?t ? 1? 1 2 所以y= = (t-1). 1? t 2 又t=sinx+cosx= 2sin( x+ ),且x ? [0,? ), 4 ? ? 5? 所以x+ ? [ , ),所以t ? (-1,2], 4 4 4 2 ?1 所以y ? (-1, ]. 2

?

与辅助角公式有关 的三角函数问题
【例2】 已知函数f ? x ?=sin(2x+ )+sin(2x ? )+2cos 2 x. 6 6 ?1? 求f ? x ?的最大值及最小正周期;

?

?

? 2 ? 求使f ? x ? ? 2成立的x的取值范围.

【解析】1?因为f ? x ?=sin(2x+ )+sin ? 6 (2x- )+2cos x 6
2

?

?

=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos 6 6 6 -cos2xsin +cos2x+1 6 = 3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1, 6 2? 2? 所以 ? f ? x ? ? max =2+1=3,T= = =? . ? ? |? | 2

?

?

?

?

?

? 2 ?因为f ? x ? ? 2,即2sin(2x+
1 即sin(2x+ ) ? , 6 2

?
6

)+1 ? 2,

?

5? 所以2k?+ ? 2x+ ? 2k?+ (k ? Z), 6 6 6 所以k? ? x ? k?+ (k ? Z). 3 所以使f ? x ? ? 2成立的x的取值范围是 {x | k? ? x ? k?+ ,k ? Z}. 3

?

?

?

?

求三角函数的最值之前往往要进行 三角恒等变换,将三角函数式化简.在 三角恒等变换中,遇有正、余弦函数的 平方,一般要先考虑降次公式,然后应 用辅助角公式asinx+bcosx=

a 2 ? b 2 sin( x ? )等公式进行化简或 + 计算.

【变式练习 2】已知向量 m=( 3sin2x+2,cosx),
n=(1,2cosx), 设函数 f(x)=m· n.求 f(x)的最小正周期与单 调递减区间.

【解析】(1)m=( 3sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),
所以 f(x)=m· n= 3sin2x+2+2cos2x π = 3sin2x+cos2x+3=2sin(2x+6)+3, 2π 所以 T= 2 =π, π π 3π 令 2kπ+2≤2x+6≤2kπ+ 2 (k∈Z) π 2 所以 f(x)的单调递减区间为 kπ+6≤x≤kπ+3π(k∈Z).

三角函数的应用
【例3】 某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集 训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间 t(0≤t≤24,单位:小时)而周期性变化.为了 了解变化规律,该队观察若干天后,得到 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:

y(米) t(时)

1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0 0 3 6 9 12 15 18 21 24

(1)试画出散点图; (2)观察散点图,从y=at+b,y=Asin(ωt+φ) +b,y=Acos(ωt+φ)中选择一个合适的函数 模型,并求出该拟合模型的解析式; (3)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练, 试安排白天内进行训练的具体时间段.

【解析】1? 散点图如图. ?

? 2 ?由散点图可知,选择
y=Asin(?t+? )+b函数 模型较为合适. 由图可知T=12, 2? ? 则?= = . T 6 将点? 0,1.0 ?, ? 3,1.4 ? 代入, 2 ?t 得函数的解析式为y= sin +1(0 ? t ? 24). 5 6

2 ?t 4 ? 3?由y= sin +1 ? (0 ? t ? 24), 5 6 5 ?t 1 即sin ? - , 6 2 ? ? t 7? 则- +2k? ? ? +2k? (k ? Z), 6 6 6 得-1+12k ? t ? 7+12k (k ? Z). 令k=0,1, 2,从而得0 ? t ? 7或11 ? t ? 19 或23 ? t ? 24. 所以,应在白天11时~19时进行训练.

三角函数,特别是正弦函 数和余弦函数,是现实世界中 许多周期现象的数学模型.注 意在一个周期现象里有多个量 (包括常量与变量),它们共同 描述同一个周期现象.

【变式练习3】 如图为一个观览车示意图.该观览车圆半 径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈.途中OA与地面垂直.以 OA为始边,逆时针转动θ角到OB.设B点与 地面距离为h.

(1)求h与θ的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB, 求h与t的函数关系式; (3)填写下列表格: θ 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° h(m) t(s) h(m) 0 5 10 15 20 25 30

【解析】(1)作辅助线如图所示. 因为h=0.8+OA+BC =0.8+4.8+OBsinα =5.6+4.8sin(θ-90°), 所以h=5.6-4.8cosθ(θ≥0).

2? ? ? ? 2 ?因为?= = , 又?=?t,所以?= t, 60 30 30 所以h=5.6-4.8cos

?

30 ? 3? 表格填写完整如下:
θ h(m)

t (t ? 0).

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 0.8 1.44 3.2 5.6 8 9.77 10.4 0 0.8 5 1.44 10 3.2 15 5.6 20 8 25 9.77 30 10.4

t(s) h(m)

x 1.函数f ? x ?=sinx+2cos 的一个单调 2 3 ? [2k?- ?,k?+ ](k ? Z)   2 增区间是_______________________ 4 4 2 x 【解析】由于f ? x ?=sinx+2cos 2 ? =sinx+cosx+1= 2sin( x+ )+1, 4 3? ? 故易知它在(2k?- ,k?+ )(k ? Z) 2 4 4 上单调递增.
2

2.函数y=(tanx+ 3)cosx, ? [0, ))的 (x 2 2 最大值为_____________
【解析】y=tanxcosx+ 3cosx =sinx+ 3cosx=2sin( x+ ). 3 5? 因为0 ? x ? ,所以 ? x+ ? , 2 3 3 6 1 ? 所以 ? sin( x+ ) ? 1,所以ymax=2. 2 3

?

?

?

?

?

3.设函数f ? x ?=cos? x( 3sin? x+cos? x) (其中0 ? ? ? 2).若函数f ? x ?的图象的一 条对称轴为直线x= ,那么?=______. 3

?

【解析】f ? x ?=cos? x( 3sin? x+cos? x) = 3sin? xcos? x+cos ? x
2

3 1 1 = sin2? x+ cos2? x+ 2 2 2 ? 1 =sin(2? x+ )+ . 6 2 若函数f ? x ?的图象的一条对称轴为直线 1 x= ,则?可取 . 3 2

?

  4.已知函数f ? x ?=sin2x,g ? x ?=cos(2x+ ), 6 直线x=t (t ? R )与函数f ? x ?、g ? x ?的图象分 别交于M 、N 两点.

?

?1?当t=

?
4

时,求 MN 的值;

? 2 ? 求 MN 在t ? [0, ]时的最大值.
2

?

【解析】1? MN = | sin(2 ? )-cos(2 ? + ) | ? 4 4 6 2? 3 = |1-cos |= . 3 2

?

?

?

? 2 ? MN = | sin2t-cos(2t+

?
6

)|

3 3 ? = | sin2t- cos2t | = 3 | sin(2t- ) | . 2 2 6 ? ? ? 5? 因为t ? [0, ],则2t- ? [- , ], 2 6 6 6 所以 MN 的最大值为 3.

kx ? 5.设三角函数f ? x ?=sin( + ),k ? 0. 5 3 ?1? 写出f ? x ?的最大值M,最小值m与最 小正周期T;

? 2 ? 试求最小的正整数k,使得当自变量
x在任意两个整数间(包括整数本身)变化 时,函数f ? x ? 至少有一个值是M 与一个 值是m.

kx ? 【解析】1?因为f ? x ?=sin( ? ), ? 5 3 k ? 0,且x ? R, 10? 所以M=1,m=-1,T= . |k|

? 2 ? 设x ? [n,n+1],n ? Z.依题意,当自变量x 在任意两个整数间变化时,函数f ? x ? 至少有 一个最大值,又有一个最小值,则函数f ? x ?
的最小正周期应不大于区间[n,n+1](n ? Z) 10? 的长度,即 ? 1,解得 k ? 10?,所以最小 |k| 的正整数k=32.

求三角函数的周期、值域、单调 区间、对称轴、对称中心等一类与三 角函数性质有关的问题时,需要我们 运用“化一”的方法.首先化简已知 函数式,即一般可考虑将其化为y= Asin(ωx+φ)+b的形式.


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