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数理方程1_图文

数理方程

数理方程

数学物理方程
Equations of Mathematical Physics

主讲:王 正 斌
南京邮电大学 、 理学院、应用物理系

:

wangzb@njupt.edu.cn

答疑:周三中午11:30~13:00,教2#426

数理方程

Refrences:
1.《数学物理方法》(第三版),梁昆淼 编 2.《矢量分析与场论》(第三版),谢树艺 3.《数学物理方程的MATLAB解法与可视化》 彭芳麟 4.《微分方程》

5.《高等数学》

数理方程

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?Caution: FLAMMABLE - Do not read while smoking or near a fire.

数理方程
数理方程这门学科的由来: 20世纪,物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。 现在,物理学的原理、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用,而且在 生命科学、环境科学、化学化工、信息科学等领域也出现了很大程度上的交 叉互融。物理学已经成为自然科学发展的重要基石。 随着科学的发展,对物理学提出了更高的要求。对于物理场及相关物理量 的描述,引进了数学中的偏微分方程。对于原子描述,引进了球函数的概念,

对于半导体器件的开发,引进了粒子“扩散和输运”的概念,很多数学理论和方 法在物理科学与技术领域都找到了归宿,数学与物理的亲缘关系越来越明显。 数学物理方法就这样应运而生了。

数理方程 物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理, 数学的严谨 推理和周密分析方法也应为物理所借鉴 数理方程分类
波动方程 (双曲型偏微分方程) 线性偏微分方程 输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)

线性方程

线性积分方程

数 理 方 程

数学角度

线性微分积分方程

非线性方程

数理方程 1.1、概述

共性:数理方程是把物理规律用数学语言描述出来,也就是研究
某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说, 就是用数学物理方程表达物理规律。这种物理规律反映的是同一 类物理现象的共同规律,也就是所谓的共性。 泛定方程:在数学上同一类物理现象的共性称为泛定方程。 个性:但同一类物理现象中,各个具体问题又具有特殊性,也就

是所谓的个性。例:半导体扩散工艺有两种工艺,一种是“恒定
表面浓度扩散”;另一种是 “限定源扩散”

数理方程
边界条件:为了求解具体的物理问题,还要研究物理量受周围环境的影响,而 周围环境影响总是通过边界才传给研究对象的,因此周围环境的影响体现于边 界所处的物理状况,这就是边界条件。 初始条件:为了求解物理量随时间的变化问题,还要考虑研究对象的特定历 史,也就是早先某个所谓的初始状态,也即初始条件。 定解问题:边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史,也即个性。 在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件。把在给定的定解条件下求解数 学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题。

数理方程 1.2、数学物理方程的导出

数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来(物理问题的 数学建模)
数学物理方程的导出步骤为:

(1) 首先确定所研究的物理量 u ( x,

y, z , t )

(2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要 影响,忽略次要影响),这种相互作用在一个短时间段里如何 影响物理量 u (3) 用数学语言表达出这种相互影响,经简化整理就得到数 学物理方程。

一、波动方程(弦振动方程)
问题1:均匀弦的微小横振动
u T2

数理方程

u ( x, t )

?2 C

B
?1
T1

utt ? a2uxx ? 0

a? T/?
自由振动方程

A
x x ? dx x

utt ? a uxx ? f ( x, t ), f ( x, t ) ?
2

F ( x, t )

受迫振动方程

?

数理方程
问题2:传输线方程 u ( x, t );
Rdx
Ldx

j ( x, t )

Cdx

Gdx

x

x ? dx

?LCjtt ? j xx ? ( LG ? RC ) jt ? RGj ? 0 ? ?LCutt ? u xx ? ( LG ? RC )u t ? RGu ? 0

电报方程

? jtt ? a 2 jxx ? 0 ? ? utt ? a 2u xx ? 0 ? ?

a 2 ? 1/( LC )

理 想 传 输 线

数理方程
问题3:电磁波波动方程

E

H

k
? ? ? ?D ?? H ? J ? ? ?t

Maxwell Equations

结构方程

??B ?0 ? ??D ? ? ? ? D ? ?E
? ? B ? ?H

? ?B ??E ?? ?t ?

? ? 2 2 H tt ? a ? H ? 0

? ? 2 2 Ett ? a ? E ? 0

数理方程

二、输运方程
问题1:扩散方程

数理方程

扩散:就是由于浓度的不均匀使得物质从浓度高的地方流入浓度低的地方; 应用:制作半导体器件就是常用扩散法;

扩散梯度:在扩散问题中研究的是浓度 u 在空间中的分布和随时间的变化

u ( x, y, z; t ) 那么浓度的不均匀程度可以用浓度梯度? u 表示;
扩散强度:扩散运动的强度可用扩散强度 q 表示,也即定义为单位时间内通过 单位横截面积的原子或分子或质量。
? 扩散定律: q ? ? D?u
dz

z

( x ? dx, y ? dy, z ? dz )

ut ? a 2 ? 2 u ? F ( x, y, z; t )
输运方程

y

dy ( x , y , z ) dx
x

数理方程
问题2:热传导方程 类似于扩散,温度不均匀时,热量从温度高的地方向温度低的地方转移,这 就是热传导问题。此时要研究的是温度在空间的分布和随时间的变化 u (x , y , z ; t ) 热传导定律 :

? q ? ?k?u
2 2

c?u t ? k (u xx ? u yy ? u zz ) ? 0 ? u t ? a ? u ? 0
ut ? a 2 ? 2 u ? f ( x, y, z; t )

k a ? c?
2

f ( x, y, z; t ) ? F ( x, y, z; t ) /(c? )

物体内存在热源时得非齐次偏微分方程

三、恒定场方程

数理方程

所谓的恒定场就是场量不随时间变化,而只与空间变量有关系(U(x,y,z))。 问题1:静电场
? 静电场表明电场强度E 与时间无关,那么麦克斯韦方程组

? ? ? ?D ?? H ? J ? ??t ? ?B ??E ?? ?t ?

??B ?0
? ??D ? ?

? ?? E ?0 ? ??D? ?

? ?? ? E?
2

? 2 ? E ?0

?

Possion Equation Lapalce Equation

? ? u?? ? ? 2u ? 0
2

Possion Equation

Lapalce Equation

数理方程 ?亥姆霍兹方程

? u?k u ?0
2 2

时谐场函数的波动方程退化为亥姆霍兹方程

波动方程、输运方程、恒定场方程之间有什么关系?

数理方程 1.3、定解条件
初始条件 定解条件 边界条件

衔接条件 1、初始条件
对输运方程(扩散、热传导),初始状态是指所研究的物理量 u 的初始分布

(比如初始浓度分布、初始温度分布),因此初始条件为:

u( x, y, z; t ) t ?0 ? ? ( x, y, z)
对波动方程(弦、杆、传输线和电磁波),不仅需要给出初始“位移”,还要
给出初始“速度”

u( x, y, z; t ) t ?0 ? ? ( x, y, z)
对稳定场方程呢?

ut ( x, y, z; t ) t ?0 ?? ( x, y, z)

数理方程
例: 一根长为 l ,两端固定的弦,用手把中点拉开,然后任其振动,如图所示。
此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。 初始速度和初始位移分别为:
u

ut ( x, t ) t ?0 ? 0
?(2h / l ) x ?? ?(2h / l )(l ? x)

h
x?0

x?

l 2

x?l

x

u ( x, t ) t ?0

0? x?l/2 l/2? x?l

数理方程
2、边界条件
边界条件:研究具体的物理系统,还要考虑研究对象所处的特定“环境”,而周围 环境的影响常体现为边界上的物理状况。(可分为三类)

第一类边界条件(Dirichlet 问题):直接规定了所研究的物理量在边界上的数值

u( x, y, z; t ) ( x, y , z )?( x
u x?0 ? 0
端点的边界条件为 u( x, t ) x?a ? f (t )

0 , y0 , z 0 )

? f 1 ( x0 , y 0 , z 0 ; t )
? l 固定而振动,则边界条件分别为

(1) 弦振动问题的边界条件:弦的两端 x ? 0 和 x

u x?l ? 0

(2) 细杆导热问题边界条件:杆的一端点x ? a 的温度 u 按已知的规律 f (t ) 变化,则该

(3) 恒定表面浓度扩散问题:硅片边界就是其表面x ? 0和 x

? l ,边界上的物理状况为

u( x, t ) x?0 ? N 0

u( x, t ) x?l ? N 0

数理方程
第二类边界条件(Neumann问题): 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上 方向导数的数值

?u ( x, y, z; t ) ?n

? f 2 ( x0 , y 0 , z 0 ; t )
( x , y , z ) ?( x0 , y0 , z0 )

(1) 纵振动的杆问题:杆的某个端点

x ? a受有沿端点外法线方向的外力 f (t )
x ?a

根据胡 克定律,该端点的张应力与外力的关系为 :

Yun x?a ? S ? f (t ) ? un
热传导定律,则边界条件为:

? f (t ) / YS

(2) 细杆导热问题:若杆的某个端点 x ? a 有热流 f (t ) 沿该端点外法线方向流出,根据

? ku n
? ku n

x ?a

? f (t ) ? u n
? ? f (t ) ? un
x ?a

x ?a

? ? f (t ) / k
? f (t ) / k

若热流f(t)是流入,则边界条件为:
x ?a x ?a

若端点绝热,则 :

un

?0

数理方程
第三类边界条件:规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上 的数值。

(u ? Hu n ) ( x, y , z )?( x
(1) 细杆导热问题:

0 , y0 , z 0 )

? f 3 ( x0 , y 0 , z 0 ; t )

H为常系数。

杆的某端点 x ? a自由冷却,即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律交换热量,则自由冷 却规定了从杆端流出的热流强度 (?ku n )与温度差 (u x?a ? ? ) 之间的关系为:

? ku n ? h(u x?a ? ? ) ? (u ? Hun ) x?a ? ?
h为杆端与周围介质的热交换系数,对杆的两端都是自由冷却,那么在 x ? l 端,外法 向n就是x方向,而在x ? 0 端,外法向n就是-x方向,则自由冷却条件分别表示为:

(u ? Hu n ) x ? a ? ? (u ? Hu n ) x ?0 ? ?

数理方程
3、定解问题=泛定方程+定解条件

utt ? a 2uxx ? 0
定解问题

?0 ? u |t ?0 ? 0, ut |t ?0 ? ? k ? 2?? ?

u |x?0 ? u |x?l ? 0

, | x - c |? ? , | x - c |? ? (? ? 0)

长为 l 的细弦两端固定,开始时在 x ? c 处受到冲量k 的作用

定解问题的适定性:解的存在性、解的唯一性和解的稳定性;
若 一个定解问题存在唯一且稳定的解,则此问题称为适定的。

数理方程

例1:试给出一个由下列定解问题描述的物理模型:
? ? 2u ? 2u a ? x2 ? y2 ? b ? 2 ? 2 ? f ( x, y ), ?y ? ?x ? ?u | x 2 ? y 2 ? a ? ?1 第一类边界条件 u( x, y, z, t ) |M0?? ? f(x0 , y0 , z0 , t) ? ? ?u | ?u(x, y, z, t) ? ?n x 2 ? y 2 ?b ? 0 第二类边界条件 |M 0 ?? ? f(x 0 , y 0 , z 0 , t) ? ?n

第三类边界条件

u+Hun | M0?? ? f(x0 , y0 , z0 , t)

例2、设一圆膜边界固定,周围介质阻力可忽略不 计,且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布,试给 出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的定解问题。

数理方程

数理方程
例3、考虑长为 l 的均匀杆的导热问题,写出以下三种情况下的边界条件 (a)杆的两端温度保持零度; (b)杆的两端均绝热;

q

n

n x

q

(c) 杆的一端为恒温零度,另一端绝热; 解:设杆的温度为 u ( x, t )
(a)

u |x?0 ? 0, u |x?l ? 0

(第一类边界条件)

(b)因为当沿杆长方向有热量流动时由Fourier热传导定律(即热流强度 q ? ?k?u )有

?u ?u q ? ?k ,q ? ? k ? ( ? x) x ? 0 ?x x?l
(c)显然,此时有

q?0

ux

x?0

? 0, u x | x?l ? 0

u x?0 ? 0, u x | x?l ? 0

可看为第三类边界条件

u ? Hu n | M ?? ? f(x0 ,y 0 ,z 0 ,t)
0

数理方程
例4、试给出一个由下列定解问题描述的物理模型:
2 ? ?u ? 2u 2 ? u ? ? a [ 2 ? 2 ] ? f ( x, y ), ?x ?y ? ?t ?u | 2 2 ? u1 (t) t?0 ? x ? y ?a ? ? ?u ? ?n | x 2 ? y 2 ?b ? 0 ? ?u ( x, y,0) ? ? ( x, y ) ?

a ? x2 ? y2 ? b

例5、有一长为 l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间变化 的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持

零度,另一端绝热,写出定解问题。

数理方程

1.4、数学物理方程的分类
1、线性二阶偏微分方程模型的一般形式
多自变量的线性二阶偏微分方程表示为:

?? a u ?? b u ? cu ? f ? 0
j ?1 i ?1 ij xi x j i ?1 i xi

n

n

n

f ?0 f ?0

该方程为齐次的 该方程为非齐次的

方程线性、非线性如何判断?

数理方程
2、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类

a11uxx ? 2a12uxy ? a22uyy ? bux ? b2u y ? cu ? f 1
作自变量的代换

? x ? x(? ,? ) ? ? y ? y (? ,? )

?

?? ? ? ( x,y) ? ?? ? ? ( x,y)

?u x ? u ? ? x ? u?? x ? ? ?u y ? u ? ? y ? u?? y ?

?u xx ? ? ? ?u xy ? ? ?u ? yy ? ?

2 ? (u?? ? x2 ? u?? ? x? x ? u? ? xx ) ? (u?? ? x? x ? u??? x ? u?? xx ) 2 ? u?? ? x2 ? 2u?? ? x? x ? u??? x ? u? ? xx ? u?? xx

? (u?? ? x ? y ? u?? ? x? y ? u? ? xy ) ? (u??? x ? y ? u??? x? y ? u?? xy ) ? u?? ? x ? y ? u?? (? x? y ? ? y? x ) ? u??? x? y ? u? ? xy ? u?? xy
2 ? (u?? ? y2 ? u?? ? y? y ? u? ? yy ) ? (u??? y ? y ? u??? y ? u?? yy ) 2 ? u?? ? y2 ? 2u?? ? y? y ? u??? y ? u? ? yy ? u?? yy

数理方程
把变换的新自变量代入原偏微分方程中得:

A11u?? ? 2 A12 u?? ? A22 u?? ? B1u? ? B2 u? ? Cu ? F ? 0
2 ? A11 ? a11? x2 ? 2a12 ? x ? y ? a 22 ? y ? ? A12 ? a11? x? x ? a12 (? x? y ? ? y? x ) ? a 22 ? y? y ? 2 2 A22 ? a11? x ? 2a12? x? y ? a 22? y ? ? ? B1 ? a11? xx ? 2a12 ? xy ? a 22 ? yy ? b1? x ? b2? y ? ? B2 ? a11? xx ? 2a12? xy ? a 22? yy ? b1? x ? b2? y ?C ? c ? ?F ? f ?

形式相同

适当选取 ? 和 ? ,使其满足下列一阶偏微分方程
2 a11 z x ? 2a12 z x z y ? a22 z 2 ? 0 y
2 a11 yx ? 2a12 yx ? a22 ? 0

原方程的特征方程

数理方程
特征方程对应的解为:
2 dy a12 ? a12 ? a11 a 22 ? dx a11

dy a12 ? ? dx

2 a12

? a11 a 22

积分得特征线

?? ( x, y) ? 常数 ? ?? ( x, y) ? 常数

a11

根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型:
2 a12 ? a11a22 ? 0 2 a12 ? a11a22 ? 0 2 a12 ? a11a22 ? 0

双曲型 抛物型 椭圆型

数理方程
(1) 双曲型方程 (a12 ? a11a22 ? 0 )
2

由特征方程可以得
2 2 dy a12 ? a12 ? a11 a 22 dy a12 ? a12 ? a11 a 22 ? , ? dx a11 dx a11

那么特征线为:

?? ( x, y) ? 常数 ? ?? ( x, y) ? 常数

? ? ? ( x, y), ? ? ? ( x, y) 作为新的自变量,则 A11 ? 0, A22 ? 0
原偏微分方程化为双曲线方程的标准形:

u?? ? ?

1 [ B1u? ? B2 u? ? Cu ? F ] 2 A12

数理方程
若再作自变量代换 :
?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 1 (? ? ? ) ? 2 ? ? ?? ? 1 (? ? ? ) 2 ?

利用变换关系,原方程变成:
u?? ? u ?? ? ? 1 [( B1 ? B2 )u? ? ( B1 ? B2 )u ? ? 2Cu ? 2 F ] A12

这也是双曲线方程的标准形
2 (2) 抛物型方程 (a12 ? a11a22 ? 0)

? dy a ? a 2 ? a a 12 11 22 ? ? 12 a11 ? dx ? 2 ? dy a12 ? a12 ? a11 a 22 ? ? a11 ? dx

?

dy a12 ? dx a11

那么特征线是:? ( x, y) ? 常数

数理方程
?x dy a12 ?? ?? ?y dx a11
代 入 变 换 系 数
2 a12 ? a11 a22 ? 0

? y2 2 ? ?x 2 ?x A11 ? ? y2 [a11 ( ) ? 2a12 ? a22 ] ? ? [a12 ? a11a22 ] ? 0 ? ?y ?y a11 ? ? ? y? y 2 ?x ?x ? [a12 ? a11a22 ] ? 0 ? A12 ? ? y [a11 ? x ? a12 ( ? y ? ? x ) ? a22? y ] ? ? ?y ?y a11 ? ? ?x 2 ?x ?x 2 2 ? A22 ? ? y [a11 ( ) ? 2a12 ? a22 ] ? ? y [ a11 ( ) ? a22 ]2 ? 0 ?y ?y ?y ? ?
1 ?? [ B1u? ? B2 u? ? Cu ? F ] A22
抛物型方程的标准形式

u??

数理方程
2 (3) 椭圆型方程 (a12 ? a11a22 ? 0)

? dy a ? a 2 ? a a 12 11 22 ? ? 12 a11 ? dx ? 2 ? dy a12 ? a12 ? a11a22 ? ? a11 ? dx

?? ( x, y) ? 常数 由特征方程的解可以得到特征线为: ? ?? ( x, y) ? 常数
2 a12 ? a11 a22 ? 0

A11 ? 0

? ? ? ( x, y) ? ? * ( x, y)

A22 ? 0

u?? ? ?

1 [ B1u? ? B2 u? ? Cu ? F ] 2 A12

数理方程

?? ? ? ? i? 作代换:? ?? ? ? ? i?

?? ? Re? ? 1 (? ? ? ) ? 2 ? ? ?? ? Im ? ? 1 (? ? ? ) 2 ?

u?? ? u ??

1 ?? [( B1 ? B2 )u? ? i ( B2 ? B1 )u ? ? 2Cu ? 2 F ] A12

数理方程
3、举例 例1、 讨论方程 x 2 u xx ? 2xyu xy ? y 2 u yy ? 0 的类型,并化成标准型、求其通解。

例2、 将 u xx ? u xy ? u yy ? u x ? 0 化为标准型。

例3 、将

y 2u xx ? x 2u yy ? 0 化为标准型。

? 2u ? 2u ? 2u 例4、设有二阶方程,x 2 2 ? 2 xy ? ( p ? y) 2 ? 0 其中 p 为一数值参 ?x?y ?x ?y 数,求此方程的双曲型,椭圆型和抛物线型区域,并说明 p 对这些区域的影响。

数理方程
4、三类方程从数学角度的分类:

utt ? a2uxx ? f ( x, y, z; t )
ut ? a 2uxx ? f ( x, y, z; t )

? ? a 2 ? 0 ? 双曲型方程
? ? 0 ? 抛物型方程 ? ? ?1 ? 0 ? 椭圆型方程

uxx ? u yy ? f ( x, y, z; t )

数理方程

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