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2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末数学试题(解析版)


2015-2016 学年福建师大附中高一下学期期末数学试题
一、选择题 1.角 ? 的终边过点 P(?4k ,3k ),(k ? 0) ,则 cos ? 的值是( A. )

3 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.-

4 5

【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 : r?

?? 4k ?2 ? ?3k ?2

? 5 k ? ?5k ?k ? 0? , 而

cos ? ?

x ? 4k 4 ? ? ,故选 B. r ? 5k 5
)

【考点】三角函数的定义 2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(

?
A.

3 2
析 】

B.

3 2
试 题 分

?
C.

1 2
: 原

1 D. 2
式 等 于

【答案】D 【 解



sin 20 0 cos 10 0 ? cos 20 0 sin 10 0 ? sin 20 0 ? 10 0 ? sin 30 0 ?
【考点】两角和与差的三角函数

?

?

1 ,故选 D. 2
) D. 2

3.设向量 a =(m,1), b =(1,2),且| a + b | =| a | +| b | ,则 m=(
2 2 2

A. ?1 【答案】C

B.1

C. ?2

【解析】试题分析:根据公式 a ?b

?

?2

? ? ?? ? 2 ? 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? a ? b , 根 据 公 式

?2 ? ?2 ? ? ? a 2 ? a , b 2 ? b ,可得, a ? b ? 0 ,即 m ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?2 ,故选 C.
【考点】向量数量积 4.下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( )

? ? A.y=sin(2x+ 2 ) B.y=cos(2x+ 2 ) C.y=sin2x+cos2x
【答案】B 【解析】试题分析: y ? sin? 2 x ?

D.y=sinx+cosx

? ?

??

? ? cos2 x ,是周期为 ? 的偶函数,故不正确, 2?

?? ? y ? cos? 2 x ? ? ? ? sin 2 x , 为 周 期 为 ? 的 奇 函 数 , 故 正 确 , 2? ?
?? ? y ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 是周期为 ? 的函数,但既不是奇函数也不是偶 4? ?

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函数,故不正确, y ? sin x ? cos x ? 函数也不是偶函数,故不正确,故选 B. 【考点】三角函数的性质

?? ? 2 sin? x ? ? 是周期为 2? 的函数,既不是奇 4? ?

5.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,

=x

+y

,且

=3

,则(

)

A.x= ,y= C.x= ,y= 【答案】 D

B.x= ,y= D.x= ,y=

【 解 析 】 试 题 分 析 : BP ? 3PA ? OP ? OB ? 3 OA ? OP , 整 理 为

?

?

4OP ? 3OA ? OB ? OP ?
【考点】平面向量基本定理

3 1 3 1 OA ? OB ,所以 x ? , y ? ,故选 D. 4 4 4 4
) C. ?

3 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? ( 4 5 7 7 A. B. ? 25 25 【答案】 B
6.若 cos( 【 解 析 】 试 题 分 析 : cos? 得: ?cos ? ? sin ? ? ?
2

?

1 5

D.

1 5

2 ?? ? ?cos? ? sin ? ? ? 3 , 两 边 平 方 后 ?? ? ? 2 5 ?4 ?

18 18 7 ? 1 ? sin 2? ? ,解得 sin 2? ? ? ,故选 B. 25 25 25

【考点】三角函数恒等变形 7.将函数 y=2sin (2x+

? ) 4 ? C.y=2sin(2x– ) 4
A.y=2sin(2x+ 【答案】 D

? ? )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为( 6 4 ? B.y=2sin(2x+ ) 3 ? D.y=2sin(2x– ) 3

)

【解析】试题分析:根据平移规律, “左+右-”的原则,向右平移

? 个周期后,变为 4

? ? ?? ?? ?? ? y ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,故选 D. 4 ? 6? 3? ? ? ?
【考点】三角函数的变换 【易错点睛】本题考查了三角函数的变换,属于基础题型,在三角函数的变换中,容易

第 2 页 共 14 页

出错在两个地方,举例,①函数 y ? sin 2 x 向左平移 会 写 成 y ? sin? 2 x ?

? 个单位得到哪个函数,很多同学 6

? ?

??

? ,谨记“左+右-”指的是 x ,所以应是 6?

?? ?? ?? ? ? ? y ? sin 2? x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ,② y ? sin ? 2 x ? ? 上所有点的横坐标伸长到原来 6? 3? 6? ? ? ?
的 2 倍,很多同学会写成 y ? sin

1? ?? ? ? ? ? 2 x ? ? ? sin? x ? ? ,谨记,横坐标伸长或缩 2? 6? 12 ? ? ? ?

短到原来的

1

?

倍,仅仅是 x 前面的系数变了,与 ? 无关,所以应是 y ? sin ? x ?

??

?. 6?

8.函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则( )

? A. y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? C. y ? 2sin(2 x+ ) 6 【答案】 A

? B. y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? D. y ? 2sin(2 x+ ) 3

【解析】试题分析:根据图像的最值可得 A ? 2 ,半周期

2?

?

?

1 ? ? 2 3

? ?? ? - ? - ? ? ,解 ? 6? 2 ? ?

得? ? 2 , 当x ? 故选 A.

?
3

2? 时,

?
3

?? ?

?
2

, 解得 ? ? -

?
6

, 所以函数为 y ? 2 sin? 2 x ?

??

?, 6?

【考点】 y ? A sin ??x ? ? ? 的图像
0 9. 1 ? tan18

?

??1 ? tan 27 ? 的值是(
0

)

A. 3 C.2 【答案】 C

B. 1 ? 2
0 0 D. 2 tan18 ? tan 27

?

?
0 0

【 解 析 】 试 题 分 析 : 根 据 公 式 tan 18 ? 27

?

??

tan180 ? tan 270 ?1 , 所 以 1 ? tan180 tan 270

第 3 页 共 14 页

tan180 ? tan270 ? 1 ? tan180 tan270











1 ? tan180 ? tan270 ? tan180 tan270 ? 2 ,故选 C.
【考点】两角和的正切函数 10.在 ?ABC 中,若

BA ? BC ? AC

,则 ?ABC 一定是( ) D.不能确定

A.钝角三角形 B.锐角三角形 【答案】 C

C.直角三角形

【 解 析 】 试 题 分 析 : 原 式 变 形 为 BA ? BC ? BC ? BA , 两 边 平 方 后 得

BA

2

? BC ? 2 BA ? BC ? BA

2

2

? BC ? 2 BA ? BC , 化 简 为 BA ? BC ? 0 , 即

2

BA ? BC ,角 B 为直角,所以是直角三角形,故选 C.
【考点】向量数量积

? x ? ? ) ? cos( ? x ? ? )( ? ? 0,? ? 11 .设函数 f ( x) ? sin(
f (? x) ? f ( x) ,则(
A. f ( x ) 在 ? 0, )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

? ? ? ?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4 ? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

C. f ( x ) 在 ? 0, 【答案】 A

D. f ( x ) 在 ?

【解析】试题分析: f ?x ? ?

2? ?? ? ? ? , ? ? 2 ,根据条件 2 sin? ?x ? ? ? ? , T ? ? 4? ?

f ?? x ? ? f ?x ? , 说 明 函 数 是 偶 函 数 , 关 于 y 轴 对 称 , 当 x ? 0 时 ,

??

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z ,解得: ? ?

?
4

? k? , k ? Z ,当 k ? 0 时, ? ?

?
4

,所以函数

?? ? ? ?? f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 cos 2 x ,当 x ? ? 0, ? 时, 2 x ? ?0, ? ? 是函数的单调递 2? ? ? 2?
减区间,故 A 正确,C 不正确,当 x ? ?

?? 3 ? ?? 3 ? , ? ? 时, 2 x ? ? , ? ? ,在此区间函数我 ?2 2 ? ?4 4 ?

先减后增,即 x ? ?

?? ? ? ?? 3 ? , ? 时函数单调递减, x ? ? , ? ? 时,函数单调递增,故 B,D ?4 2? ?2 4 ?

不正确,故选 A. 【考点】三角函数的图像和性质 【方法点睛】本题考查了 y ? A sin ??x ? ? ? ? A ? 0,? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的性质,本题考 2?

查了两个问题,一是如何求函数解析式,二是如何判断三角函数的性质, A 是振幅,一 第 4 页 共 14 页

般根据函数的最值求解,T ?

2?

?

, ? 一般根据周期求解,? 一般根据“五点法”求解,

而象本题给出三角函数后,如何判断所给区间是否具有单调性,首先由 x 的区间,代入 求 u ? ?x ? ? 的区间,然后判断 u ? ?x ? ? 是否落在 y ? sin u 的单调区间内. 12. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且在[-3, -2]上是减函数, 若? , ? 是锐角三角形的两个内角,则( A. f ? sin ? ? ? f ?sin ? ? C. f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? 【答案】 C 【解析】试题分析:根据条件函数的周期 T ? 2 ,并且满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? ? f ?? x ? , ) B. f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? D. f ? cos ? ? ? f ? cos ? ?

- 2? 为减函数,根据周期, ?1,2? 也是减函数,根据 函数关于 x ? 1 对称,当函数在 ?- 3,
对称性, ?0,1? 上是增函数, ? , ? 是锐角三角形的两个内角,那么 ? ? ? ?

?
2

,即

??

?

?? ? ? ? ,即 0 ? sin ? ? sin? ? ? ? ? cos ? ? 1 ,根据在区间 ?0,1? 上是增函数, 2 ?2 ?

所以 f ?sin ? ? ? f ?cos ? ?,故选 C. 【考点】函数的性质 【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察,属于中档题型,本题的难点

? ? ?0 ? ? ? 2 ? ? ? 是如何转化锐角三角形这个条件,即若是锐角三角形,需满足 ?0 ? ? ? ,这样 2 ? ? ? ?? ? ? ? 2 ?
?? ?
?? ? ??, 这样根据函数的单调性, 两边取三角函数,sin ? ? sin? ? ? ? ? cos ? , 2 ?2 ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ,这个难点克服后,就容易想到根据函数的性质,转 ?2 ?

或是 cos? ? cos?

化为求函数 f ?x ? 在区间 ?0,1? 的单调性. 13.已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? 数根,则实数 m 的取值范围是 【答案】 (? 3, ?

5? ? ), 方程 f ( x) ? m 在区间 [0, ] 上有两个不同的实 6 2
.

3 ] 2
第 5 页 共 14 页

【 解 析 】 试 题 分 析 : 如 图 , 画 出 函 数 y ? 3 si nu 的 图 像 , 当 x ? ?0,

? ?? ? 时, ? 2?

? ? 3? 3 5 ?? ? 5? 11 ,此时 f ? x ? ? ?? 3 , 根据 u ? 2x ? ? ? ? , ? ,当 x ? 时, y ? ? ? 2 2 ? 2 6 ?6 6 ? ?
图像可得若有两个不同的实根,那么 m ? ? ? 3 ,

? ? ?

? 3? 3? 3 , ? ,故填: ? ?. ? 2 ? 2 ? ?

【考点】三角函数图像的应用 【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用,属于基础题型,以复合函数的观点解决 函 数 零 点 问 题 , 首 先 设 u ? 2x ?

5 ? ,并且求出 u 的取值范围,然后画出函数 6

y ? 3 sin u 的图像,这问题转化为 y ? m 与三角函数图像交点的问题,通过图像很容
易求出没有交点,一个交点,以及两个交点的 m 的取值范围问题,切记,最好不要画

5 ? ? y ? 3 sin? 2 x ? ? ? 的图像,因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿 6 ? ?
失,一定画换元后的图像.

二、填空题 14.设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a ? b,则 x= 【答案】 ?

.

2 3
2 ,故填: 3

【解析】试题分析:根据两向量垂直,可得 x ?1 ? ?x ? 1? ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?

-

2 . 3

【考点】向量数量积 15 . 已 知 向 量 OA ? ? k ,12 ? , OB ? ? 4,5? , OC ? ? ?k ,10 ? , 且 A, B, C 三 点 共 线 , 则

??? ?

??? ?

??? ?

k?

.

【答案】 ?

2 3

【解析】试题分析: AB ? ?4 ? k ,?7? , AC ? ?? 2k ,?2? ,因为 A, B, C 三点共线,所

第 6 页 共 14 页

以 AB 与 AC 共线,所以 ?4 - k ? ? ?? 2? ? ?7 ? ?? 2k ? ,解得: k ? ? 【考点】向量共线的充要条件 16 . 已 知 为 .

2 2 ,故填: - . 3 3

?
2

? ? ? ?,0 ? ? ?

?
2

, tan ? ? ?

3 5 , cos ? ? ? ? ? ? , 则 sin ? 的 值 4 13

【答案】

63 65

【 解 析 】 试 题 分 析 : ? ? ? ? - ? ? 0 , 又 因 为 cos ?? ? ? ? ?

?


?
2

5 ?0 ,所以 13

? ? ? ? ? 0 , sin ?? ? ? ? ? ?


12 , 13


t

? a ?n ?

3 4





3 s ? i ?n 5



cos ? ? ?

4 5





3 5 ? 4 ? ? 12 ? 63 sin ? ? sin?? ? ?? ? ? ?? ? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 13 ? 5 ? ? 13 ? 65
,故填:

63 . 65
? ?
.

【考点】三角函数恒等变形 17.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin( x ? ) ( x ? R) 的值域为 6 6 9 ? ? 【答案】 ? ?2, ? 8? ? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设

x?

?
6

?t




2



?? ? f ?t ? ? s ? 2 i t ? n ? ? s t i? c n 2o t ? s s t i? 1 ? n2s 2? ?
因为 sin t ? ?? 1,1? ,所以当 sin t ?

2

1? 9 ? i t ? sn t i? ?2 n? s t i? ? n ? , 4? 8 ?

1 9 时,函数取得最大值 ,当 sin t ? ?1 时,函数取 4 8

得最小值-2,所以函数的值域为 ?? 2, ? ,故填: ?? 2, ? . 8 8

? ?

9? ?

? ?

9? ?

【考点】三角函数的性质 18.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为 【答案】 .

1 8 1 3 AB ? AC , BC ? AC ? AB , 所 以 2 4

【 解 析 】 试 题 分 析 : AF ? AD ? DF ?

2 2 3 1 3 1 1 3 1 1 1 ?1 ? AF ? BC ? ? AB ? AC ? AC ? AB ? ? AB ? AC ? AB ? AC ? ? ? ? ? 1? 1? ? 4 2 4 4 2 4 4 2 8 ?2 ?

?

?

,故填:

1 . 8
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【考点】向量数量积

? ? 19 .已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 (
【答案】9 【解析】试题分析:由题可知,

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点, x ? 为 2 4 4
.

π 5π , ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36

? ? ??

? 2k ? 1 2k ? 1 2? T kT T? ? ,即 ? , - ?- ? ? ? 2 4 4 ? 4 ? 4? 4 2
? ? 5? ? , ? 单 调 , 所 以 ? 18 36 ?

解 得

? ? 2k ? 1?k ? N * ? , 又 因 为 f ?x ? 在 区 间 ?

5? ? ? T 1 2? ? ? ? ? ? ,即 ? ? 12 , 接下来, 采用排除法, 若 ? ? 11 , 此时 ? ? - , 36 18 12 2 2 ? 4
此时 f ?x ? ? sin ?11x ?

? ?

??

? ? 3? ? ? 3? 5? ? ?, f ?x ? 在区间 ? , ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递 4? ? 44 36 ? ? 18 44 ?

减,不满足在区间 ?

? ?? ? ? 5? ? ? , ? 单调,若 ? ? 9,? ? ,此时 f ?x ? ? sin ? 9 x ? ? ,满 4 4? ? 18 36 ? ?

足 f ?x ? 在区间 ?

? ? 5? ? , ? 单调递减,所以 ? 的最大值为 9. ? 18 36 ?

【考点】三角函数的性质 【思路点睛】本题考查了三角函数的性质,属于中档题型,本题的难点是如何将这两个 条件结合在一起,? 是与周期有关的量,对称轴与零点间的距离也与周期有关,这样根 据图像得到

? ? ??

? 2k ? 1 2k ? 1 2? T kT ? T? ? ,即 ,第二个条件 - ?- ? ? ? 2 4 4 ? 4 ? 4? 4 2

? ? 5? ? ? , ? 是单调区间的子集,所以其长度小于等于半个周期,这样就得到了 ? 的一个 ? 18 36 ?
范围与形式,最后求最大值,只能通过从最大的逐个代起,找到 ? 的最大值. 三、解答题 20.已知| |=2,| |=3, (2 ﹣3 )?(2 + )=3. (1)求 与 的夹角的余弦值; (2)求| + |; (3)求 在 + 方向上的投影.

【答案】 (1) -

7 6 ; (2) 6 ; (3) . 12 12

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【解析】试题分析: (1)将条件 2a ? 3b ? 2a ? b ? 3 按照分配率展开,根据向量数 量积的公式,得到两向量的夹角; (2) a ? b ?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

? ?a ? b? ?

2

? ? ? ? ? a 2 ? b 2 ? 2a ? b ,根据
?

2 公式 a ? a 代入数值; (3)根据向量数量积的几何意义可知 a 在 a ? b 方向上的投影

?

?2

?

?

? ? ? a a ?b 为 ? ? ,代入数量积和上一问模的结果,即可. a?b
试题解析: (1)∵| |=2,| |=3, (2 ﹣3 )?(2 + )=3, ∴4| | ﹣3| | ﹣4 ? =3, ∴ ? =﹣ ,
2 2

?

?

∴cos< ? >= (2)| + |=

=

=﹣ =

; = ;

(3) 在 + 方向上的投影为

=

=

=



【考点】向量数量积 【方法点睛】本题考查了向量数量积,属于基础题型,所涉及的公式包括( 1 )

? ? a ?b ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? a ? b ? a b cos ? , (2) cos? ? ? ? , (3) a ? a ,以及 a ? b ? ab

? ?a ? b? ?

2

, (4)

? ? a ?b ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 , (5)投影公式:向量 a 在 b 方向上的投影为 a cos? 或是 ? , b
对于这类型的向量问题,要谨记公式,并且熟练运用公式避免计算错误. 21. (1)已知 ,求 的值.

(2) 已知 cos(

?

3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ? x) ? , ?x? ,求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x

【答案】 (1)

1 28 ; (2) . 4 75

x 【解析】试题分析: (1)由条件可直接求得 tan ? 2 ,再利用公式 tan x ? 2

x 2 , x 1 ? tan2 2 2 tan

2 2 求 tan x , 然后将所求原式的分子 cos2 x ? cos x ? sin x , 分母 cos?

?? ? ? x ? 展开化简, ?4 ?

并上下同时除以 cos x ,将分式转化为关于 tan x 的式子,代入求解; (2)首先根据公式 第 9 页 共 14 页

sin 2 x ? 2 sin x cos x , tan x ?

sin x ,进行初步的化简,得到原式等于 cos x

sin 2 x ?

1 ? tan x ?? ? ? sin 2 x ? tan? ? x ? ,根据条件再依次求解各项. 1 ? tan x ?4 ?
, ,

试题解析: (1)由





原式=

=



由以上知 cosx﹣sinx≠0, 所 = 以 上 式 = = =

1 ? tan x tan x


sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x cos x ? 2sin 2 x 2sin x cos x(sin x ? cos x) ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 1 ? tan x ? 17? 7? 5? ? ? 3 ? sin 2 x ? sin 2 x ? tan( ? x),由 ?x? ,? ? x ? ? 2? , 又 cos( ? x) ? 1 ? tan x 4 12 4 3 4 4 5 ? 4 ? 4 ? sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 3 (2)

? ? 2 7 2 7 28 cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? ,sin x ? ? ,sin 2 x ? , 原式=4 4 10 10 25 75
【考点】三角函数的恒等变形求值 22.如图所示,某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设,现拟在边长为 1 千米的正方 形地块 ABCD 上划出一片三角形地块 CMN 建设美丽乡村生态公园,给村民休闲健身提供 去处.点 M,N 分别在边 AB,AD 上.由于村建规划及保护生态环境的需要,要求△AMN 的周长为 2 千米,请探究∠MCN 是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.

? 【答案】∠MCN 是定值,且∠MCN= 4 .
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C N 【解析】 试题分析: 设∠BCM=α , ∠DCN=β , AM=x, AN=y, 则 BM=1﹣x, DN=1﹣y, 若 ?M
为 定 值 , 那 么 ? ? ? 为 定 值 , 即 tan?? ? ? ? 为 定 值 , 根 据 所 设 条 件 , 得 到

?? ? ? ? ? t an

2 ? ?x ? y ? 2 2 ,因为 ?AMN 的周长等于 x ? y ? x ? y ? 2 ,将此式进 x ? y ? xy

2 2 行化简为 x ? y ? 2 ? ? x ? y ? ,两边平方得到 xy ? 2?x ? y ? ? 2 ,代入正切公式得

到定值. 试题解析:设∠BCM=α ,∠DCN=β ,AM=x,AN=y,则 BM=1﹣x,DN=1﹣y, 在△CBM 中,tanα =1﹣x,在△CDN 中,tanβ =1﹣y,

tan? ? tan ? 1? x ?1? y 2 ? ?x ? y ? ? ? 所以:tan(α +β )= 1 ? tan? tan ? 1 ? ?1 ? x ??1 ? y ? x ? y ? xy ,
△AMN 的周长为 2 千米,所以

x ? y ? x2 ? y2 ? 2

,化简得 xy ? 2?x ? y ? ? 2 ,

2 ? ?x ? y ? 2 ? ?x ? y ? 2 ? ?x ? y ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? x ? y ? xy x ? y ? 2 x ? y ? 2 2 ? x ? y 代入 ()式, 可得 tan (α +β ) = ,
? (0, ) 2 ,所以 α +β = 4 ,所以∠MCN 是定值,且∠MCN= 4 . 由于 α +β
【考点】三角函数的实际应用
2 23.已知函数 f(x)=2sinω xcosω x+2 3 sin ω x﹣ 3 (ω >0)的最小正周期为 π .

?

?

?

(1)求函数 f(x)的单调增区间;

? (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)
的图象,若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

? 5? ? ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ?, k ? Z 59? ? 【答案】 (1) ? ; (2) . 12
【 解 析 】 试 题 分 析 : (1) 第 一 步 根 据 降 幂 公 式 sin ?x cos ?x ?

sin 2 ?x ?

1 ? cos 2?x 化简,第二步,对降幂后的式子,再根据辅助角公式化简,得到 2

1 sin 2?x , 2

?? ? ? ? ?? ? f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,令 2 x ? ? ?2k? ? ,2k? ? ? , k ? Z 得到函数的单调递 3? 3 ? 2 2? ?
增区间 ; ( 2 )根据三角函数的图像变换规律, “左+右-,上+下-” ,得到函数

g ?x ? ? 2 sin 2 x ? 1, 令 g ?x ? ? 0 , 得到 x 的值, 根据 x 的取值集合,b 只需大于等于 10
个点的横坐标即可. 试题解析: ( 1 ) 由 题 意 得 f ( x ) =2sinω xcosω x+2

3 sin2ω x ﹣ 3 =sin2ω x ﹣

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? 3 cos2ω x=2sin(2ω x﹣ 3 ) ,由最小正周期为 π ,得 ω =1,

?? ? f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 3 ?, ? 所以
2k? ?


?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,k ? Z
,整理得

k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ,k 12 ? Z ,

? 5? ? ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ?, k ? Z ? 所以函数 f(x)的单调增区间是 ? .
? (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=2sin2x+1
的图象,所以 g(x)=2sin2x+1,

x ? k? ?
令 g(x)=0,得

7? 11? x ? k? ? ,k ? Z 12 或 12 , 11? 59? ? 12 12 .

所以在[0,π ]上恰好有两个零点,若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点,

4? ?
则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为

【考点】1.三角恒等变换;2.单价函数的性质;3.三角函数的图像变换. 【方法点睛】 本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题, 属于基础题型, 重点说说对于(1 )所考查到的三角恒等变换的问题,比较常见,所使用的公式包括

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? , sin 2 ? ? , cos ? ? ,降幂后采用辅 2 2 2 b 助角公式化简, a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ?,其中 tan ? ? ,这样函数就 a sin ? cos ? ?
可以化简为 y ? A sin ??x ? ? ? .

? 24.已知函数 f ( x) ? a ? b cos x ? c sin x 的图像经过点 A(0,1) 及 B( ,1) 2
? (1)已知 x ? (0, ) 时, | f ( x) |? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(2)当 a 取上述范围内的最大整数 值时, 若有实数 m, n, ? , 使得 mf ( x) ? nf ( x ? ? ) ? 1 对 .... 于 x ? R 恒成立,求 m, n, ? 的值.

1 1 ,n ? , ? ? 2k? ? ? , k ? Z . 16 16 【解析】试题分析: ( 1 ) 首 先 根 据 条 件 可 得 b ? c ? 1? a , 将 函 数 转 化 为
【答案】 (1) - 2,4 ? 3 2 ; (2) m ?

?

?

?? ?? ? ? 根据条件可得 sin? x ? ? 的范围, 最终讨论 1 ? a 的 f ?x ? ? 2 ?1 ? a ?sin? x ? ? ? a , 4? 4? ? ?
取值范围后,得到函数的值域,根据条件 f ?x? ? 2 得到 a 的取值范围; (2)由(1)的 第 12 页 共 14 页

结论可得 a ? 8 ,代入 mf ?x ? ? nf ?x ? ? ? ? 1 ,要使上式对 ?x ? R 恒成立,则需满足

?8?m ? n ? ? 1 ? ?m ? n cos? ? 0 ,得到参数的取值范围. ?n sin ? ? 0 ?
试题解析:由 f (0) ? 1, f ? 所以 b ? c ? 1 ? a , 所以 f ?x ? ? (1 ? a)(sin x ? cos x) ? a ?

?? ? ? ? 1 ,可得, a ? b ? 1, a ? c ? 1 , ?2?

?? ? 2 ?1 ? a ?sin? x ? ? ? a , 4? ?

(1)设 sin ? x ?

? ?

??

? ? t , y ? 2 ?1 ? a?t ? a , 4?

因为 x ? ? 0,

? 2 ? ? ?? 3 ? ? ?? ? ,所以 x ? ? ? , ? ? ,即 t ? ? ? 2 ,1? , 4 ?4 4 ? ? 2? ? ?

① 当 1 ? a ? 0 时, f ?x? ? 1, 2 ?1 ? a? ? a , 此时 f ?x? ? 2 恒成立,只需 2 ?1 ? a? ? a ? 2 ,可得 a ? ? 2 ,1 , ②当 1 - a ? 0 时, f ?x ? ? 1 ,此时满足条件, ③当 1 - a ? 0 时, f ?x? ?

?

?

?

?

? 2?1 ? a? ? a,1?,

此时 f ?x? ? 2 恒成立,只需 2 ?1 ? a? ? a ? ?2 , 可得 a ? 1,4 ? 3 2

?

?

综上, a 的取值范围是 - 2,4 ? 3 2 . (2)可得 a ? 8 ,则 f ?x ? ? 8 ? 7 2 sin ? x ? 由 mf ?x ? ? nf ?x ? ? ? ? 1 ,可得

?

?

? ?

??
? 4?

?? ? ? ? ? 8?m ? n? ? 7 2m sin? x ? ? ? 7 2 sin? x ? ? ? ? ? 1 , 4? 4 ? ? ?
令x?

?
4

? X 得,

8?m ? n? ? 7 2 ?m ? n cos? ?sin X ? 7 2n sin ? cos X ? 1
要使上式对任意 X 恒成立,则有

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? ?sin ? ? 0 ?8?m ? n ? ? 1 ? ? ?m ? n cos? ? 0 ,解得 ?cos? ? ?1 ?n sin ? ? 0 ? 1 ? ?m ? n ? 16 ?
所以 m ?

1 1 ,n ? , ? ? 2k? ? ? , k ? Z . 16 16

【考点】1.三角函数的性质;2.恒成立问题.

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