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福建省八县(市)一中2012-2013学年高二上学期期中联考数学文试题


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2012---2013 学年度第一学期八县(市)一中期中联考 高中 二
命题学校: 连江一中 考试日期:11 月 13 日
合题意要求的. 1、若数列的前 4 项分别是



数学(文) 科试卷
满 分: 150 分

完卷时间: 120 分钟

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

1 1 1 1 , ? , , ? ,则此数列的一个通项公式为( 2 3 4 5



A.

(?1)n?1 n ?1

B.

(?1)n n ?1

C.

(?1) n n

D.

( ?1) n ?1 n
) D. 30? 或 150?

2、在 ?ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30? 或 60? B. 45? 或 60? ) B.若 a ? b , c ? d ,则 C. 60? 或 120? 3、下列选项中正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

a b ? c d

C.若 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 ? a b

D.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d

4、已知等差数列 {an } 中, a2 ? ?a9 , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 A. S10 ? 0 B. S5 ? S6 C. S5 ? S6 D. S5 ? S6

?x ? y ? 5 ? 0 ? 5、不等式组 ? y ? a ,表示的平面区域是一个三角形,则 a 的范围是( ?0 ? x ? 3 ?
A. a ? 5 B. a ? 8 C. 5 ? a ? 8 D. a ? 5 或 a ? 8 )

)

6、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 A. 2 B.

S8 S ? 3 ,则 12 等于 ( S4 S8
C.

7 3

8 3

D. 3 )

7、设 m, m ? 1, m ? 2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( A. 0 ? m ? 3 B. 1 ? m ? 3 C. 3 ? m ? 4 )

D. 4 ? m ? 6

8、下列函数中, y 的最小值为 2 的是(

1 x 4 C. y ? x ? ( x ? 0) x
A. y ? x ?

B. y ? x ? D. y ?

1 ( x ? 0) x

x2 ? 2 ?

1 x ?2
2

9、若三角形的三个内角成等差数列,对应三边成等比数列,则三角形的形状是(



?

??
D.等腰直角三角形

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

10、如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C ,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点

A 的仰角为 60? ,再由点 C 沿北偏东 15? 方向走 10 米到位置 D ,测得 ?BDC ? 45? ,则
塔高 AB 的高度为( A. 10 B. 10 2 ) C. 10 3 D. 10 6

11、 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, S 表示 ?ABC 的面积,若

a cos B ? b cos A ? c sin C , S ?ABC ?
A. 30? B. 45?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) ,则角 B 等于( 4 C. 60? D. 90?
an?1



12、定义:在数列 {an } 中, an ? 0 且 an ? 1 ,若 an

为定值,则称数列 {an } 为“等幂数列”.已知 )

数列 {an } 为“等幂数列” ,且 a1 ? 2 , a2 ? 4 , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则 S2011 等于( A. 6032 B. 6030 C. 2 D. 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置.

13、数列 {an } 的首项为 3 , {bn } 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N * ) .若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则

a8 ?



1 2 ? 的最小值为___________. a b 15、若二次函数 f ( x) ? 0 的解的区间是 [?1,5] ,则不等式 (1 ? x) ? f ( x) ? 0 的解为
14、设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,则

.

16、等差数列 {an } 中, Sn 是它的前 n 项之和,且 S6 ? S7 , S7 ? S8 ,则:①数列的公差 d ? 0 ;②

S9 一定小于 S6 ;③ a7 是各项中最大的一项;④ S7 一定是 Sn 中的最大值.
其中正确的是 (填入你认为正确的所有序号) .

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 (本题满分 12 分)、在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且角 B, A, C 成等差数列. (1)若 a ? c ? b ? mbc ,求实数 m 的值;
2 2 2

(2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

? ? 18(本题满分 12 分) 、已知函数 f ( x) ? ax ? a x ? 2b ? a ,当 x ? (??, 2) ? (6, ?) 时,
2 2 3

f ( x) ? 0 ;当 x ? (?2, 时, f ( x) ? 0 .①求 a , b 的值;②设 F ( x) ? ? 6)
当 k 取何值时, 函数 F ( x) 的值恒为负数?

k f ( x) ? 2kx ? 13k ? 2 ,则 4

19(本题满分 12 分) 、如图,港口 B 在港口 O 正东方 120 海里处,小岛 C 在港口 O 北偏东 60? 方向、

?

??

港口 B 北偏西 30? 方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30? 的 OA 方向以 20 海里/时 的速度驶离港口 O .一艘快船从港口 B 出发,以 60 海里/时的速度驶向小岛 C ,在 C 岛装运补给物 资后给考察船送去,现两船同时出发,补给物资的装船时间要 1 小时,问快艇驶离港口 B 后最少要 经过多少时间才能和考察船相遇? m]

20、 (本题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S 3 ? (1)求等比数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? 6n ? 61? log2 an ,证明数列 {bn } 为等差数列;

7 63 , S6 ? . 2 2

(3)对(2)中的数列 {bn } ,前 n 项和为 Tn ,求使 Tn 最小时的 n 的值.

21(本题满分 12 分) 、国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,环保节能的产品供不应求.为适应 市场需求, 某企业投入 98 万元引进环保节能生产设备, 并马上投入生产.第一年需各种费用 12 万元, 从第二年开始,每年所需费用会比上一年增加 4 万元.而每年因引入该设备可获得年利润为 50 万 元.请你根据以上数据,解决以下问题: (1)引进该设备多少年后,该厂开始盈利? (2)若干年后,因该设备老化,需处理老设备,引进新设备.该厂提出两种处理方案: 第一种:年平均利润达到最大值时,以 26 万元的价格卖出. 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出.问哪种方案较为合算?

22(本题满分 14 分) 、设正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? n2 . (1)求 {an } 的通项公式;

?

??

(2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前项的和 Tn .(3)是否存在自然数 m ,使得 (an ? 1)( an ?1 ?1)

m?2 m ? Tn ? 对一切 n ? N * 恒成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 4 5

2012---2013 学年度第一学期八县(市)一中期中联考

?

??

高中





数学(文) 科参考答案

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)

题号
答案

1
A

2
D

3
C

4
D

5
C

6
B

7
B

8
B

9
C

10
D

11
B

12
A

K]

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13、 3 ; 14、 3 ? 2 2 ;15、 [?1,1] ? [5, ? ?) ; 16、①②④.

三、解答题: 17.解: (1)由角 B, A, C 成等差数列知 A ? 60? . 又由 a ? c ? b ? mbc 可以变形得
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 m ? . 2bc 2

即 cos A ?

m 1 ? ,∴ m ? 1 .??5 分 2 2
2 2

(2)由(1)知 A ? 60? ,又已知 a ? 3 ,故由余弦定理得 b ? c ? 2bc ? 1 ? 3 ,

2

∴ (b ? c) ? 3bc ? 3 .∵ b ? c ? 3 ,∴ 9 ? 3bc ? 3 , bc ? 2 .
2

3? 1 1 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? 2 2
2

2

3 . ?? 12 分 2
2 2 3

? ? 6) 18.解: 1) f ( x) ? ax ? a x ? 2b ? a 3 , ∵ x ? (??, 2) ? (6, ?) 时,f ( x) ? 0 ; x ? (?2, ( ∵
2

时, f ( x) ? 0 .∴ ?2 和 6 是方程 ax ? a x ? 2b ? a ? 0 的两根.

?? 2 ? 6 ? ?a ?a ? ?4 ? 故? ,∴ f ( x) ? ?4x 2 ? 16x ? 48 . 2b ? a 3 ,解得 ? ?b ? ?8 ?? 2 ? 6 ? a ? k 2 2 (2)∵ F ( x) ? ? (?4 x ? 16 x ? 48) ? 2kx ? 13k ? 2 ? kx ? 2kx ? (k ? 2) 4
∴欲使 f ( x) ? 0 恒成立,只要使 kx2 ? 2kx ? (k ? 2) ? 恒成立,则须要满足: ①当 k ? 0 时,原不等式化为 ?2 ? 0 ,显然符合题意,∴ k ? 0 . ②当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为 x ? R ,则必须满足:

?k ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 0 . ? 2 ?? ? (?2k ) ? 4k ? [?(k ? 2)] ? 0
综合①②得 k 的取值范围为 (?1, 0] . 19. 解:设快艇驶离港口 B 后,最少要经过 x 小时,在 OA 上点 D 处与考察船 相遇,连结 CD ,则快艇沿线段 BC 、 CD 航行. 在 ?OBC 中, ?BOC ? 30? , ?CBO ? 60? , ∴ ?BCO ? 90? .又 BO ? 120 ,

?

??

∴ BC ? 60 , OC ? 60 3 . ∴快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1 小时.??5 分 在 ?OCD 中, ?COD ? 30? , OD ? 20 x , CD ? 60( x ? 2) . 由余弦定理,得 CD ? OD ? OC ? 2OD ? OC ? cos ?COD .
2 2 2

∴ 602 ( x ? 2)2 ? (20x)2 ? (60 3)2 ? 2 ? 20 x ? 60 3 ? cos30? .

3 .∵ x ? 1 ,∴ x ? 3 .??11 分 8 答:快艇驶离港口 B 后最少要经过 3 小时才能和考察船相遇.??12 分
解得 x ? 3 或 x ?

? a1 (1 ? q 3 ) 7 ? 1? q ? 2 ? 20.解: (1)∵ S6 ? 2S3 ,∴ q ? 1 .??1 分∴ ? ,??2 分 a1 (1 ? q 6 ) 63 ? ? ? 1? q 2 ?
两式子相除得 1 ? q 3 ? 9 ,∵ q ? 2 .??3 分 ∴ an ? a1 ? qn?1 ? 2n?2 . ??5 分 (2) bn ? 6n ? 61? log2 an ? 6n ? 61? log2 2 n?2 ? 7n ? 63,??6 分 代入解得 a1 ?

1 ,??4 分 2

bn?1 ? bn ? 7(n ? 1) ? 63 ? 7n ? 63 ? 7 ,∴ {bn } 为等差数列.??8 分
(3)法一、令 ?

?bn ? 0 ?7n ? 63 ? 0 ,得 ? , ??10 分 ?bn ?1 ? 0 ?7n ? 56 ? 0

解得 8 ? n ? 9 ,??11 分 ? 当 n ? 8 或 n ? 9 时,前 n 项和为 Tn 最小. ??12 分 法二、 b1 ? ?56 , Tn ? 对称轴方程为 n ?

n(b1 ? bn ) n(7n ? 119) 7 2 119 ? ? n ? n 2 2 2 2

??10 分

17 ? 8.5 ,??11 分 2

∴当 n ? 8 或 n ? 9 时,前 n 项和为 Tn 最小. ??12 分 21.解:开始盈利就是指所获利润大于投资总数,据此建立不等式求解;所谓方案最合理,就是指卖 出设备时的年平均利润较大,因此只需将两种方案的年平均利润分别求出,进行比较即可. (1)设引进该设备 x 年后开始盈利.盈利额为 y 万元.则

y ? 50 x ? 98 ? [12 x ?

x( x ? 1) ? 4] ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98 ,令 y ? 0 ,得 10 ? 51 ? x ? 10 ? 51 , 2 y y 98 98 98 ? 40 ? ?2 2 x ? ? 40 ? 12 ,当且仅当 2x ? , ? ?2 x ? , x x x x x
2

* ∵ x ? N ,∴ 3 ? x ? 17 .即引进该设备三年后开始盈利--- 6 分

(2)第一种:年平均盈利为

即 x ? 7 时,年平均利润最大,共盈利 12 ? 7 ? 26 ? 110 万元.??9 分 第二种:盈利总额 y ? ?2( x ? 10) ? 102 ,当 x ? 10 时,取得最大值 102 ,即经过 10 年盈利总额最 大, 共计盈利 102 ? 8 ? 110 万元两种方案获利相等, 但由于方案二时间长, 采用第一种方案 ---12

?

??

分 22.解、 (1)∵ Sn ? n2 ,∴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,??1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1,??3 分 ∵ a1 ? 1 满足 an ? 2n ? 1,∴ an ? 2n ?1(n ? N * ) .??4 分 (2)由 bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ), (bn ? 1)(bn?1 ? 1) (2n ? 1 ? 1)(2(n ? 1) ? 1 ? 1) 4 n(n ? 1) 4 n n ? 1

∴ Tn ? C1 ? C2 ??Cn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ?? ? ? ), 4 2 2 3 n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? (1 ? )? .??9 分 4 2 4 2 3 4 n n ?1 4 n ? 1 4(n ? 1)

n ?1 n (n ? 1)2 ? n(n ? 2) 1 (3) Tn ?1 ? Tn ? ? ? ? ? 0, 4(n ? 2) 4(n ? 1) 4(n ? 1)(n ? 2) 4(n ? 1)(n ? 2)
故 {Tn } 单调递增,∴ Tn ? T1 ?

1 n 1 1 1 ? (1 ? )? , ,∵ Tn ? 8 4(n ? 1) 4 n ?1 4



1 1 ? Tn ? 8 4

??11 分

?1 m ?4 ? 5 m?2 m ? ? Tn ? 恒成立,则 ? 要 ,??12 分, 4 5 ?m ? 2 ? 1 ? 4 8 ?

解得

5 5 ? m ? ,??13 分,∵ m ? N * ,故 m ? 2 .??14 分 4 2


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