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集合与简易逻辑知识点总结及基础训练题


第一讲集合、简易逻辑、不等式 知识梳理: 1、 集合:某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系: a ? A 或 a ? A 集合的常用表示法: 列举法 性 。 、 描述法 。集合元素的特征: 确定性 、 互异性 、 无序

常用一些数集及其代号:非负整数集或自然数集 N;正整数集 N * ,整数集 Z;有理数集 Q;实数 集R 2、子集:如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 称为集合 B 的子集,记为 A?B 3、真子集:如果 A ? B ,并且 A ? B ,那么集合 A 成为集合 B 的真子集,记为 A ? B ,读作“ A 真 包含于 B 或 B 真包含 A ” ,如: ?a? ? ?a, b? 。 注:空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论:设集合 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 2 n 个,真子集个数为 2 n ? 1 个 4、补集:设 A ? S ,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记为 Cs A , 读作“ A 在 S 中的补集” ,即 Cs A = ?x | x ? S , 且x ? A? 。 5、全集:如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合,这时 S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A ? B 即: A ? B = ?x | x ? A, 且x ? B?。 7、并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并集,记作 A ? B 即: A ? B = ?x | x ? A, 或x ? B?。 记住两个常见的结论: A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? B ? A ; 9、命题:可以判断真假的语句叫做命题。 (全称命题
⑴全称量词——“所有的”“任意一个”等,用“ ? ”表示; 、 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个”“至少有一个”等,用“ ? ”表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

特称命题)

10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题 和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式:p 或 q;p 且 q;非 p(记作┑q) 。 11、“或”、“且”、“非”的真值判断:
1

非 p 与 p 真假相反;“p 且 q”:同真才真, 一假即假;“p 或 q”:同假才假,一真即真 12、命题的四种形式与相互关系: ? ? ? ? ? ? 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q; 逆否命题:若┑q 则┑p 原命题与逆否命题互为逆否命题,同真假; 逆命题与否命题互为逆否命题,同真假;
原命题 若p, 则q
互 为 否 命 题

互为逆命题

逆命题 若q, 则p
互 为 否 命 题

互为逆否命题

13、从逻辑推理关系上看:

否命题 若非p, 则非q

互为逆命题

逆否命题 若非q, 则非p

若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即“前者为后者的充分,后者为前者的必 要”。 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分必要条件,简称 p 是 q 的充要条件。 若 p ? q ,且 q 若p 若p
p ,那么称 p 是 q 的充分不必要条件。

q, 且 q ? p,那么称 p 是 q 的必要不充分条件。 q, 且q p,那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件。

从集合与集合之间的关系上看: 条件 p、q 对应集合分别为 A、B,则 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件,若 A? B ,则 p 是 q 的充分非必要条件 若 A ? B ,则 p 是 q 的必要条件,若 A? B ,则 p 是 q 的必要非充分条件 若 A=B,则 p 是 q 的充要条件 若 A ? B且B ? A ,则 p 是 q 的非充分必要条件 14、绝对值不等式的解法(穿针引线) (1) .含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a (a ? 0) 的解集 |x|<a ? {x ? a ? x ? a}; |x|>a ? {x x ? a或x ? ?a}

(2) .|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0)的解法 (1)|ax+b|>c? ax ? b ? c或ax ? b ? ?c (Ⅱ)|ax+b|<c? ? c ? ax ? b ? c (3) .含有多个绝对值的不等式的解法:平方法,零点分段讨论法 15、一元二次不等式的解法
??0 ??0 ??0
2

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
x1 ? x2 ? ? b 2a

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

训练题 1、集合 {?x, y ? xy ? 0, x, y ? R} 是指( A、第一象限内的点集 C、A、第一、三象限内的点集 ) B、第二象限内的点集 D、不是第二、四象限内的点集 ).

2、已知集合 A ? ? x a ? 1 ? x ? 2a ? 1? , B ? ? x ? 2 ? x ? 5? , 且 A ? B , 则 a 的取值范围是( A. a ? 2
? 1 ? x ? ?

B. a ? 3

C. 2 ? a ? 3 ) D、 ?x x ? 0?

D. a ? 3

3、设 A ? ? x ? 0?, S ? R ,则 C s A 等于(
? 1 ? ? 0? ? x ?

A、 ? x

B、 ?x x ? 0?

C、 ?x x ? 0?

4、设 U= ?0,1,2,3? ,A= x ?U x 2 ? mx ? 0 ,若 ?U A ? ?1, 2? ,则实数 m=_________. 5、已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A ? B ? {1,2,3,4} 则 m ? 6、设 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ?x | x ? 0? ,则 A ? B . 7、已知集合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | x ? a? ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是_________ 8、若 A ? ? x ? R x ? 3? , B ? ? x ? R 2 x ? 1? ,则 A ? B ? .
3

?

?



9、设集合 A={x∣log2x<1},

B={ x ∣

x ?1 ? 1 }, 则 A ? B =. x?2

10、已知 A ? y y ? x 2 ? 1, x ? R , B ? ?y y ? x ? 1, x ? R?,则 A ? B=__ ?x x ? 1? _________。 11、若集合 M={y| y= 3 ? x } ,P={y| y= 3x ? 3 } ,则 M∩P= A{y| y>1} B{y| y≥1} C{y| y>0} ( )

?

?

D{y| y≥0} )

12、已知集合 A ? ?x ? 2 ? x ? 7?, B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1?且 B ? ? ,若 A ? B ? A ,则( A. ?3 ? m ? 4 B. ?3 ? m ? 4 C. 2 ? m ? 4 D. 2 ? m ? 4

13、集合 A ? ?x a ? x ? a ? 3? , B ? ?x x ? ?1, 或x ? 5?,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 14、集合 A ? ?x ? 1 ? x ? 2?, B ? ?x ? a? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围( A、 ?a a ? 2? 15、 x ?? “ ? B、 ?a a ? ?1? C、 ?a a ? ?1? D、 ?a ? 1 ? a ? 2? ) ;



? ”是“ x ?? ? ? ”的___________条件。

2 2 16、设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的__________条件。

17、 (1) a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的 “ (2) m ? ?2 ”是方程“ x 2 ? x ? m ? 0 无实根”的 “ (3) a ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的 “ 条件

条件 条件

18、命题甲:实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 ;命题乙:实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2x ,则命题甲是命题乙 的( ) B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件

19、一元二次方程 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( A、 a ? 0 B、 a ? 0 C、 a ? ?1 D、 a ? 1

二、解不等式 1、解下列不等式: (1) 3x ? 5 ? 10 2、使式子
3? x 2x ? 1 ? 4

(2) 3 ? 7 ? 2x 有意义的 x 的取值范围是(

(3) 1 ? 2 x ? 1 ? 3 )

(4) 3x ? 8 ? 0

4

A、 {x ?

5 ? x ? 3} 2

B、 {x ?

5 ? x ? 3} 2

C、 {x ? 3 ? x ? ? , 或 ? x ? 3} ) C、 {x ? ? x ? 0}
a 4

5 2

3 2

D、 {x ? 3 ? x ? 3}

3、不等式 ax ? 2 ? 2(a ? 0) 的解集为( A、 {x ? ? x ? 0}
4 a

B、 {x 0 ? x ? ? }

4 a

D、 {x 0 ? x ? ? } )

a 4

4、设集合 A ? {x x ? 1 ? x ? 1} , B ? {x x 2 ? x ? 0} ,则 A ? B ? ( A、 (-1,0) B、 [?1,0) C、 (?1,0] D、 [?1,0]

5、解下列不等式: (1) x ? 1 ? x ? 1 6、解下列不等式 (1) x 2 ? x ? 6 (2) 9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ) (2)
x ?1 ?1 x ?1

(3) 2x ? 1 ? x ? 2 ? 4

7、抛物线 y ? ? x 2 ? 5x ? 5 在直线 y ? 1 上方部分的 x 值的取值范围是( A、 2 ? x ? 3 B、 x ? 3, 或x ? 2 C、 ? 3 ? x ? ?2 D、不存在

8、对于任意实数 x ,函数 y ? x 2 ? kx ? 4 的函数值总是负数,则 k 的取值范围是 9、解下列不等式 (1)
x?2 ?1 1 ? 2x

(2) x( x ? 3)( x ? 1) ? 0

1 1 10、若不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 (? , ) ,求 a ? b 的值 2 3

11、若 0 ? a ? 1 ,则不等式 x 2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0 的解集为 12、不等式 2x 2 ? 3 x ? 35 ? 0 的解集为 13、 ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是___ 14、 kx 2 ? kx ? 1 ? 0 对任意实数 x 恒成立,则 k 的取值范围是

1 a

5


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