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wwwyh8891net:2018年秋高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例学案新人教A版必修5

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第 1 课时 解三角形的实际应用举例 学习目标:1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点).2.能够用正、余弦定理求解与 距离、高度有关的实际应用问题.(重点). [自 主 预 习·探 新 知] 1.基线的概念与选择原则 (1)定义 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线. (2)性质 在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来 说,基线越长,测量的精确度越高. 思考:在本章“解三角形”引言中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离地球究 竟有多远呢?”在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离, 是什么神奇的 方法探索到这个奥秘的呢? 提示:利用正弦定理和余弦定理. 2.测量中的有关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方时 叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 1?2?1 所示). 图 1?2?1 (2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西 60°,即以正南方向为始边,顺时 针方向向西旋转 60°. (如图 1?2?2 所示) 图 1?2?2 思考:李尧出校向南前进了 200 米,再向东走了 200 米,回到自己家中,你认为李尧的家 在学校的哪个方向? 提示:东南方向. [基础自测] -1- 1.思考辨析 (1)已知三角形的三个角,能够求其三条边.( (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得.( (3)东偏北 45°的方向就是东北方向.( (4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面.( [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 提示:已知三角形中至少知道一条边才能解三角形,故(1)错.两个不可到达的点之间的 距离可以用解三角形的方法求出,故(2)错. 2. 如图 1?2?3, 为了测量隧道口 AB 的长度, 给定下列四组数据, 测量时应选用数据( ) ) ) ) ) 【导学号:91432044】 图 1?2?3 A.α ,a,b C.a,b,γ C B.α ,β ,a D.α ,β ,b 2 2 [选择 a,b,γ 可直接利用余弦定理 AB= a +b -2abcos γ 求解.] 3.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为 α ,同时测得观察该建 筑物顶部的仰角为 β ,则小强观测山顶的仰角为( A.α +β C.β -α C 项.] 4.某人先向正东方向走了 x km,然后他向右转 150°,向新的方向走了 3 km,结果他离 出发点恰好为 3 km,那么 x 的值为( ) 【导学号:91432045】 A. 3 C.2 3或 3 C B.2 3 D.3 2 ) B.α -β D.α [如图所示,设小强观测山顶的仰角为 γ ,则 β -γ =α ,因此 γ =β -α ,故选 C [如图,在△ABC 中由余弦定理得 3=9+x -6xcos 30°, 2 即 x -3 3x+6=0,解之得 x=2 3或 3.] [合 作 探 究·攻 重 难] 测量距离问题 海上 A,B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛 -2- 望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B,C 间的距离是( ) 【导学号:91432046】 A.10 3 海里 C.5 2海里 D B. 10 6 海里 3 D.5 6海里 [根据题意,可得右图.在△ABC 中,A=60°,B=75°,AB=10,∴C=45°.由正 AB BC 10 BC 弦定理可得 = ,即 = ,∴BC=5 6(海里).] sin C sin A 2 3 2 2 [规律方法] 三角形中与距离有关的问题的求解策略: (1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理 求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定 理求解. (2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪 些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决. [跟踪训练] 1.如图 1?2?4 所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸标记物 C,测 得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为________ m. 图 1?2?4 60 [由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,∴△ABC 为等腰三角形.河宽即 AB 边上的高, 这与 AC 边上的高相等, 过 B 作 BD⊥AC 于 D, ∴河宽=BD=120·sin 30°=60(m). ] 测量高度问题 (1)如图 1?2?5, 从山顶望地面上 C, D 两点, 测得它们的俯角分别为 45°和 30°, 已知 CD=100 米,点 C 位于 BD 上,则山高 AB 等于( ) 图 1?2?5 A.100 米 C.50 2米 B.50 3米 D.50( 3+1)米 (2)在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°,那么这 座塔吊的高是( ) -3- 【导学号:91432047】 A.20?1+ ? ? 3? ? m 3? B.20(1+ 3)m D.20( 6+ 2)m C.10( 6+ 2)m 思路探究:(1)解决本题关键是求 AB 时确定在哪一个三角形中求解, 该三角形是否可解. (2)解决本题关键是画出示意图. (1)D +1). (2)如图,由条件知四边形 ABCD 为正方形,∴AB=CD=20 m,BC=AD=20 m. 在△DCE 中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20 m,∴EC=CD·tan 60°=20 3 m,∴BE =BC+CE=(20+20 3)m.选 B.] [规律方法] 解决测量高度问题的一般步骤: (1)画图:根据已知条件画出示意图

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