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[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第四讲:2数学归纳法及其应用举例 复习


虎林高级中学

栾红民

知 识 点 复 习

? 区别归纳法和数学归纳法 ? 数学归纳法原理是什么? 如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立; (2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立; 根据(1)(2)知p(n)成立 ? 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤 是怎样的?

? 4.对数学归纳法实质的理解 例.下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么 (1).当n=1时,左边= , 右边=

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(2).假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时,左边
1 1 1 ? ??? 1? 2 2?3 ( k ? 1)( k ? 2) 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 k ?1 k ?2 1 ? 1? k ?2 k ? ( k ? 1) ? 1 ?

=右边,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

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? 对数学归纳法实质的理解

数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是 命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根 据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的 核心,在从n =k到n =k+1的递推过程中,必须要 运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特 征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论 形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学 归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结 论,故最后应完整地写出结论.

数 学 小 常 识

? 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象: 任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想 这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6 日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧 拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的 偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数 逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30 日,他复信哥德巴赫,信中指出:“任何大于2的偶数 都是两个质数的和,虽然我还不能证明它,但我确信 无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫 猜想.

专 项 训 练 归 纳 猜 测

一.归纳、猜测: 1. 如图,把边长为1的正方形看作第一层壳, 其面积为s1,在它外面再镶上面积为s2 的第 二层外壳,使之构成边长为1+2的正方形, 再镶上为 s3的第三层外壳,使之构成边长为 1+2+3的正方形,依次下去,试猜测第n层 外壳的面积s 解:s1=1 s2=(1+2)2-1=8 s3=(1+2+3)2-9=27 s4=(1+2+3+4)2-36=64 …

( )

sn=(1+2+…+n)2-(n-1)2=n3

专 项 训 练 归 纳 猜 测

? ? ? ? ? ? ?

13=1 =12 13+23=9 =(1+2)2 13+23+33=36 =(1+2+3)2 13+23+33+43=100 =(1+2+3+4)2 … 试猜测: 13+23+33+43+ … +n3= (1+2+3+…+n)2

( )

专 项 训 练 归 纳 猜 测

? 古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形: 每一堆球数依次为1,3,6…,这种数叫做“三角形数” 或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三 角数作过专门的研究,并获得丰硕的成果,如果用tn表示 第n个三角数,则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6, … ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ … (1)求t2 -t1,t3-t2,t4-t3的值,并猜测tn-tn-1值。 (2)求t1 +t2,t2+t3,t3+t4的值,并猜测tn-1+tn值。 解: (1)t2-t1=2; t3-t2=3; t4-t3=4; … tn-tn-1=n (2) t1+t2=4; t2+t3=9; t3+t4=16; … tn-1+tn=n2

( )

?用数学归纳法证明(n+1) +(n+2) +…+(n+n)=

专 的第二步中,n=k+1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于 项 解 析:令f(n)=(n+1) +(n+2) +…+(n+n) f(k)= (k+1) +(k+2) +…+(k+k) 训 f(k+1)=[(k+1) +1] +[(k+1) +2] +…+[(k+1) +(k+1)] 练 =(k+2) +(k+3) +…+(k+k) +(2k+1) +(2k+2) f(k+1) -f(k)=(2k+1) +(2k+2) -(k+1) 对 =3k+2 命 用数学归纳法证明命题: (n+1)(n+2) …(n+n)=2 ×1×3×…(2n-1)的第二步中, 题 n=k+1时需证: : 的 解析 [(k+1) +1] [(k+1) +2] …[(k+1) +(k+1)]=2 ×1×3×…×[2(k+1) -1] 理 即: (k+2) (k+3) …(k+k) (2k+1) (2k+2)= 2 ×1×3×…×[ 2k+1] 解
n k+1 k+1

(

)

专 项 训 练 k

? P(k)与p(k+1)的进和退 在数学归纳法的第二步归纳推理中, 由p(k) p(k+1)的过渡,有两种基 本途径可寻:
一、由p(k)向p(k+1)推证 二、由p(k+1)倒退

k+1

专 项 训 练
k

例.用数学归纳法证明命题: (n+1) (n+2) …(n+n)=2n×1×3×…(2n-1) 证明: (1)当n=1时,命题显然成立。 (2)假设当n=k 时,命题成立,即 (k+1) (k+2) …(k+k)=2k×1×3×…(2k-1) 当n=k+1时,待证: (k+2)(k+3) …2k(2k+1)(2k+2) =2(k+1)×1×3×…(2k-1)(2k+1) 据途径一:由p(k)出发,直接构造p(k+1)形式。 (k+1)(k+2)…(k+k)

k+1

=2k×1×3×…×(2k-1)
整理得: (k+2) (k+3) …2k (2k+1)(2k+2) =2× 2k×1×3×…(2k-1)(2k+1) = 2(k+1)×1×3×…(2k-1)(2k+1) 即:n=k+1时,命题成立。 由(1)(2)知,命题成立

专 项 训 练 k k+1

?例.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除” 的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设, 应将5k+1-2k+1变形为 5(5 k-2k) +3×2k

? 解析: (2)假设n=k时命题成立.即:5 k-2k 被3整除. 当n=k+1时 5k+1-2k+1 =5×5k-2×2k =5(5 k-2k) +5×2k-2×2k =5(5 k-2k) +3×2k

? 什么叫数学归纳法 ? 归纳、猜测、证明是发现和研究数学 问题的重要思想方法。 ? 掌握用数学归纳法证明命题的关键。

小 结


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