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高一数学-【数学】3.5.1《等比数列的前n项和》(人教大纲版第一册) 精品


教材:等比数列的前 n 项和 目的:要求学生掌握求等比数列前 n 项的和的(公式) ,并了解推导公式所用的 方法。 过程: 一、复习等比数列的通项公式,有关性质,及等比中项等概念。 二、引进课题,采用印度国际象棋发明者的故事, 即求 s64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8?? ? 262 ? 263 用错项相消法推导结果,两边同乘以公比: ① 2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16?? ? 263 ? 264 ② ②-①: S64 ? ?1 ? 264 ? 264 ? 1 这是一个庞大的数字>1.84× 1019 , 以小麦千粒重为 40 g 计算,则麦粒总质量达 7000 亿吨——国王是拿不出来 的。 三、一般公式推导:设 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an 乘以公比 q , qSn ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an ? qan ①?②: ?1 ? q ?S n ? a1 ? qan , q ? 1 时: S n ? ① ② a1 ? qan a1 ? aqn a1 1 ? q n ? ? 1? q 1? q 1? q ? ? q ? 1 时: S n ? na1 注意: (1) a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个, (2)注意求和公式中是 q n ,通项公式中是 q n?1 不要混淆, (3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。 四、例 1、 (P131,例一略)——直接应用公式。 例 2、 (P131,例二略)——应用题,且是公式逆用(求 n ) ,要用对数算。 例 3、 (P131-132,例三略)——简单的“分项法” 。 例 4、设数列 ?an ? 为 1,2x,3x 2 ,4x 3 ??nxn?1 ? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。 解: (用错项相消法) S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nxn?1 ① xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? ?n ?1?xn?1 ? nxn ② ①?② ?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n?1 ? nxn , 当 x ? 1 时, ?1 ? x ?S n ? 1? xn 1 ? x n ? nxn ? nxn?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nxn?1 ? nxn ? ? 1? x 1? x 1? x Sn ? 1 ? ?1 ? n?x n ? nxn?1 ?1 ? x?2 n?1 ? n ? 2 五、小结: (1)等比数列前 n 项和的公式,及其注意点, (2)错项相消法。 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法, (作机动) 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ? 法 1:设 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an ∵ ?an ? 成 GP,∴ a a 2 a3 a 4 ? ? ? ?? ? n ? q a1 a2 a3 an?1 由等比定理: a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n S ? a1 ? q, 即: n ?q a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? an?1 S n ? an a1 ? a n q a1 1 ? q n ? 1? q 1? q 当 q ? 1 时, S n ? ? ? 当 q ? 1 时, S n ? na

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