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高三数学压轴小题训练(十)

高三数学小题冲刺训练(十)
姓名:_______________班级:_______________考号:_______________ 一、填空题(共 16 小题,每小题 5 分,共计 80 分) 1 1.集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 . 2 x _ 2.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1· z2 的实部为零,z1 的辐 π 角主值为 ,则 z2=_______. 6 3.曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______. 4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面 体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________. 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每 面恰染一种 颜色,每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种.(注:如 果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、 右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同.) 6.在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点) 的个数为________.
2 2 7.. 若 tan ? ? 2 ,则 4sin ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos ? =

. .

8. 在复数集 C 内,方程 2 x ? (5 ? i) x ? 6 ? 0 的解为
2

9. 设 x ? (15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ,求数 x 的个位数字. 10. 设 A ? {n |100 ? n ? 600, n ? N} , 则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数 为______________. 11. 设 P 是抛物线 y ? 4 y ? 4 x ? 0 上的动点,点 A 的坐标为 (0, ?1) ,点 M 在直线 PA 上,
2

且分 PA 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是

??? ?

.

12. AB 为 y ? 1 ? x2 上在 y 轴两侧的点,过 AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值为________ 13. AB 为边长为 1 的正五边形边上的点.则 AB 最长为___________ 14.正四棱锥 S-ABCD 中,侧棱与底面所成的角为α ,侧面与底面所成的角为β ,侧面等腰 三角形的底角为γ , 相邻两侧面所成的二面角为θ , 则α 、 β 、 γ 、 θ 的大小关系是_________

15.在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的 乘积记为 An,令 an=log2An,n∈N. (1)数列{An}的前 n 项和 Sn 为_________________ (2)Tn=tana2?tana4+tana4?tana6+…+tana2n?tana2n+2=_____________________ 16.已知数列 A:a1,a2,…,an(n≥3),令 TA={x|x=ai+aj.1≤i<j≤n},car(TA)表示 集合 TA 中元索的个数. ①若 A:2,4,8,16,则 card(TA)=______; ②若 ai+1-ai=c(c 为非零常数.1≤i≤n-1),则 card(TA)=______. 参考答案 1 1. 解 由已知,得 <logx10≤1?1≤lgx<2?10≤x<100.故该集合有 90 个元素.其真子集有 2 290-1 个. π 3 1 _ π π 2. 解:z1 满足|z-i|=1;argz1= ,得 z1= + i,z1=cos(- )+isin(- ). 6 2 2 6 6 _ π π 设 z2 的辐角为 θ(0<θ<π),则 z2=2sinθ(cosθ+isinθ).z1· z2=2sinθ[cos(θ- )+isin(θ- )],若其实 6 6 π π 2π 3 3 部为 0,则 θ- = ,于是 θ= .z2=- + i. 6 2 3 2 2 3. 解:只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可. 设 P(1+cosθ,θ), 则|AP|2=22+(1+cosθ)2-2· 2(1+cosθ)cosθ=-3cos2θ-2cosθ+5 1 16 16 16 16 =-3(cosθ+ )2+ ≤ .且显然|AP|2 能取遍[0, ]内的一切值,故所求面积= π. 3 3 3 3 3 4. 解:该六面体的棱只有两种,设原正三棱锥的底面边长为 2a,侧棱为 b. 取 CD 中点 G,则 AG⊥CD,EG⊥CD,故∠AGE 是二面角 A—CD—E 的 平面角.由 BD⊥AC,作平面 BDF⊥棱 AC 交 AC 于 F,则∠BFD 为二面 角 B—AC—D 的平面角. 2a b2-a2 AG=EG= b2-a2,BF=DF= ,AE=2 b =2 4 b2- a2. 3 2AG2-AE2 2BF2-BD2 = . 2AG2 2BF2 2 b2-( 3a)2 3
B
b b
P
?

O

1

x

A
b

F
2a

D
a

C E

G

由 cos∠AGE=cos∠BFD,得

4 4(b2- 2a2) 3 4a2b2 4 ∴ = ?9b2=16a2,?b= a,从而 b=2,2a=3. 3 b2-a2 4a2(b2-a2) AE=2.即最远的两个顶点距离为 3. 5. 解:至少 3 种颜色: 6 种颜色全用:上面固定用某色,下面可有 5 种选择,其余 4 面有(4-1)!=6 种方法,共计 30 种方法;

用 5 种颜色:上下用同色:6 种方法,选 4 色:C5(4-1)! =30;6×30÷2=90 种方法;. 用 4 种颜色:C6C4=90 种方法. 用 3 种颜色:C6=20 种方法. ∴共有 230 种方法. 6. 解:把圆心平移至原点,不影响问题的结果.故问题即求 x2+y2=1992 的整数解数. 显然 x、y 一奇一偶,设 x=2m,y=2n-1.且 1≤m,n≤99. 则得 4m2=1992-(2n-1)2=(198+2n)(200-2n).m2=(99+n)(100-n)≡(n-1)(-n) (mod 4)
?0,(当n?0,1(mod 4)时) 由于 m 为正整数,m2≡0,1 (mod 4);(n-1)(-n)≡? ?2,(当n?2,3(mod 4)时)
3 2 2

4

二者矛盾,故只有(0,±199),(±199,0)这 4 解. ∴ 共有 4 个.(199,±199),(0,0),(398,0).
2 2 2 2 7. 由 tan ? ? 2 ,得 sin ? ? 2 cos ? ,有 sin ? ? 4cos ? ,即 1 ? cos ? ? 4cos ? .

则 cos ? ?
2

1 2 2 2 2 ,原式= 16cos ? ? 6cos ? ? 5cos ? ? 5cos ? ? 1 . 5

8. 设 x ? a ? bi , a, b ? R ,代入原方程整理得 (2a2 ? 2b2 ? 5a ? 6 ? b) ? (4ab ? a ? 5b)i ? 0

3 ? a? ? ?2a ? 2b ? 5a ? 6 ? b ? 0 ?a ? 1 ? 3 3 2 有? ,解得 ? 或? ,所以 x ? 1 ? i 或 x ? ? i . 2 2 ?b ? 1 ?b ? ? 3 ?4ab ? a ? 5b ? 0 ? ? 2
2 2

9. 直接求 x 的个位数字很困难,需将与 x 相关数联系,转化成研究其相关数. 【解】令 y ? (15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 , 则x ? y ? [(15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ]

? [(15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ] ,由二项式定理知,对任意正整数 n.
2 (15 ? 220) n ? (15 ? 220) n ? 2(15n ? Cn ?15n?2 ? 220? ?)

为整数,且个

位数字为零. 因此, x ? y 是个位数字为零的整数.再对 y 估值, 因为 0 ? 15 ? 220 ?

5 15 ? 220

?

5 88 19 ? 0.2 , 且 (15 ? 220) ? (15 ? 220) , 25
故 x 的个位数字为 9.

所以 0 ? y ? 2(15 ? 220)19 ? 2 ? 0.219 ? 0.4.

【评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题. 10. 解:被 7 除余 2 的数可写为 7 k ? 2 . 由 100 ≤ 7 k ? 2 ≤ 600 .知 14 ≤ k ≤ 85 .

57n ? 2 n?2 ? 8n ? . 7 7 即 n ? 2 应为 7 的倍数. 设 n ? 7 m ? 2 代入,得 k ? 57m ? 16 . ∴ 14 ? 57m ? 16 ? 85 . ∴ m=0,1.于是所求的个数为 70 .
又若某个 k 使 7 k ? 2 能被 57 整除,则可设 7 k ? 2 =57n. 即 k ?

11. 设点 P ( x0 , y0 ) ,M ( x, y ) ,有 x ?

x0 ? 2 ? 0 y ? 2 ? (?1) ,y? 0 ,得 x0 ? 3x , y0 ? 3 y ? 2 3 3

而 y02 ? 4 y0 ? 4x0 ? 0 ,于是得点 M 的轨迹方程是 9 y 2 ?12 x ? 4 ? 0 . 【解析】 12.不妨设过 A 点的切线交 x 轴于点 C ,过 B 点的切线交 x 轴于点 D ,直线 AC 与 直线 BD 相交于点 E .如图.设 B( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) , 且有 y2 ? 1 ? x22 , y1 ? 1 ? x12 , x1 ? 0 ? x2 . 由于 y? ? ?2 x , 于是 AC 的方程为 2 x2 x ? 2 ? y2 ? y ;① ② y ? y2 , 1 ? x 1 x2 ) . 联立 AC , BD 的方程,解得 E ( 1 2( x2 ? x1 ) 2 ? y2 , 0) ; 对于①,令 y ? 0 ,得 C ( 2 x2 对于②,令 y ? 0 ,得 D ( 于是 CD ?
2 ? y1 , 0) . 2 x1
y

BD 的方程为 2 x1 x ? 2 ? y1 ? y .

E A C O B D x

2 ? y1 2 ? y2 1 ? x12 1 ? x2 2 ? ? ? . 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2

1 CD (1 ? x1 x2 ) .不妨设 x1 ? a ? 0 , ? x2 ? b ? 0 ,则 2 1 1 ? a 2 1 ? b2 1 1 1 S?ECD ? ( ? )(1 ? ab) ? (2a ? 2b ? ? ? a2b ? ab2 ) 4 a b 4 a b 1 1 1 1 ? (a ? b)(2 ? ab ? ) ≥ ? 2 ab ? (2 ? ab ? ) ③ 4 ab 4 ab 不妨设 ab ? s ? 0 ,则有 1 1 1 1 1 1 1 S?ECD ? ( s 3 ? 2s ? ) ? ( s 3 ? s ? .. ? s ? ? ... ? ) 2 s 2 3 ?? 3 9s 9s ?? ? ????? S?ECD ?
6个 9个

1 1 1 1 1 24 1 3 8 ≥ ? 16 ?? s 3 ? ? s )6 ? ? ?9 ]16 ? 8 ? ( ) 16 ? 8 ? ? ) 2 ? 3. ④ 2 3 9s 3 3 9 3 3 3 , x2 ? ?b ? ? , s? 又由当 x1 ? a ? 时,③,④处的等号均可取到. 3 3 3 8 ∴ (S?ECD )min ? 3. 9 1 1 注记:不妨设 g (s) ? (s3 ? 2s ? ) ,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解. 2 s 1 2 1 1 1 由 g ?(s) ? (3s ? 2 ? 2 ) 知当 0 ? s 2 ? 时 g ?( s) ? 0 ;当 ? s 2 时 g ?( s) ? 0 . 2 s 3 3 3 3 3 ) 上单调减,在 ( , ? ?) 上单调增.于是当 s ? 则 g (s) 在 (0 , 时 g (s) 取得最小值. 3 3 3 13.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为 x 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系. ⑴当 A , B 中有一点位于 P 点时,知另一点位于 R1 或者 R2 时有最 P

大值为 PR1 ;当有一点位于 O 点时, AB max ? OP ? PR1 ;
Q

R2

O

R1

⑵当 A , B 均不在 y 轴上时,知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取 A 点关于 y 轴的对称点 A? ,有 AB ? A?B ).
P

不妨设 A 位于线段 OR2 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是 合理的),则使 AB 最大的 B 点必位于线段 PQ 上. 且当 B 从 P 向 Q 移动时, AB 先减小后增大, 于是 AB max ? AP 或 AQ ; 对 于 线 段 PQ 上 任 意 一 点 B , 都 有 BR2 ≥ BA . 于 是
R2 O

B Q

A

R1

AB max ? R2 P ? R2Q
由⑴,⑵知 AB max ? R2 P .不妨设为 x . 下面研究正五边形对角线的长.
x-1 H 1 x 1 1 I E 1 F

如右图.做 ?EFG 的角平分线 FH 交 EG 于 H .

? 易知 ?EFH ? ?HFG ? ?GFI ? ?IGF ? ?FGH ? . 5
于是四边形 HGIF 为平行四边形.∴ HG ? 1 .
EF FG ? EH 1? 5 x 1 ? ? .解得 x ? . 2 1 x ? 1 HG

G

由角平分线定理知

14.α <β <γ <θ . 15. 16. 6;2n-3


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