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(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布第六节 几何概型_图文

第六节 几何概型 基础盘查 几何概型 (一)循纲忆知 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型). (二)小题查验 1.判断正误 (1)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内 随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等 (√ ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 ( × ) 2.(人教 B 版教材例题改编)平面上画了一些彼此相距 2a 的平 行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这平面上,则硬币 a-r a . 不与任一条平行线相碰的概率是_____ 3.(2015· 陕西质检)在区间[20,80]内任取一个实数 m,则实数 m 5 12 . 落在区间[50,75]内的概率为____ 75-50 5 解析:选择区间长度度量,则所求概率为 = . 80-20 12 4.(2015· 广州调研)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M, π 8 . 则满足∠AMB>90° 的概率为____ 解析:如图,如果点 M 位于以 AB 为直径的 半圆内部,则∠AMB>90° ,否则,M 点位于 半圆上及空白部分,则∠AMB≤90° ,所以 1 2 × π × 1 2 π ∠AMB>90° 的概率 P= =8. 22 考点一 与长度?角度?有关的几何概型 (基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 构成事件A的区域长度?角度? P(A)= 试验全部结果所构成的区域长度?角度? [题组练透] 1.(2015· 韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数 x,则 x 满足 2x -1≥0 的概率为 3 A. 4 1 C. 4 1 B. 2 1 D. 3 ( ) 解析:区间[0,2]看作总长度为2,区间[0,2]中满足2x-1≥0的只 3 ?1 ? 2 3 3 有?2,2?,长度为2,P=2=4. ? ? 2.已知一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬行, 则其恰在离三个顶点的距离都大于 1 的地方的概率为 4 A. 5 π C.60 3 B. 5 π D. 3 ( ) 解析:由题意可知,三角形的三条边长的和为5+12+13= 30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则 它爬行的区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率 24 4 计算公式可得所求概率为30=5. 3. 如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30° 角的终边上,任作一条射线 OA,则射线 1 OA 落在∠yOT 内的概率为____ 6 . 解析:如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的, 60 1 所以 OA 落在∠yOT 内的概率为360=6. [类题通法] 求与长度 (角度)有关的几何概型的概率的方法是把题 中所表示的几何模型转化为长度 (角度).然后求解,要特 别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构 建事件的区域(长度、角度). 考点二 与体积有关的几何概型 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 构成事件A的区域体积 P(A)= . 试验全部结果所构成的区域体积 [典题例析] (2015· 济南一模)如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,有一动点 在此长方体内随机运动, 则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率 为________. 解析:设事件M=“动点在三棱锥AA1BD内”, P(M)=V V 三棱锥A- A1BD =V V 三棱锥A1 - ABD 长方体 ABCD- A1B1C1 D1 长方体 ABCD- A1B1C1 D1 1 1 3AA1· 2S矩形ABCD 1 =V = =6. AA · S 矩形 1 ABCD 长方体 ABCD- A1B1C1 D1 1 S△ABD 3AA1· 1 答案:6 [类题通法] 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的 总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复 杂的也可利用其对立事件去求. [演练冲关] 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 π A.12 π C. 6 π B.1-12 π D. 1 - 6 ( ) 解析:正方体的体积为:2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径 1 4 3 1 4 2 3 且在正方体内部的半球的体积为: × πr = × π×1 = π, 2 3 2 3 3 2 π 3 π 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为:1- =1- . 8 12 答案:B 考点三 与面积有关的几何概型 (常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.归 纳起来常见的命题角度有: (1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题; (2)与线性规划交汇命题的问题. (3)与定积分交汇命题的问题. 角度一:与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题 1. (2015· 广东七校联考)如图, 已知圆的半径为 10,其内接三角形 ABC 的内角 A,B 分别 为 60° 和 45° ,现向圆内随机撒一粒豆子, 则豆子落在三角形 ABC 内的概率为 ( 3+ 3 A. 16π 4π C. 3+ 3 3+ 3 B. 4π 16π D. 3+ 3 ) BC AC 解析:由正弦定理 = = 2R(R 为 圆 的 半 径 ) ? sin A sin B ? ?BC=20sin ? ? ?AC=20sin ? 60° , ?BC=10 3, ?? ? 45° ?AC=10 2. 1 1 那 么 S △ ABC =

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