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山东省德州市2019年中考数学同步复习 重点题型训练 要题加练3 反比例函数的综合题

爱爱爱大 大的
要题加练 3 反比例函数的综合题
姓名:________ 班级:________ 用时:______分钟 1.(2018·成都中考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=x+b 的图象经过点 A(-2,0),与反 比例函数 y=kx(x>0)的图象交于 B(a,4). (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
k (2)设 M 是直线 AB 上一点,过 M 作 MN∥x 轴,交反比例函数 y=x(x>0)的图象于点 N,若以 A,O,M,N 为顶点的四边形为平行四边形,求点 M 的坐标.
m 2.(2018·宜宾中考)如图,已知反比例函数 y=x(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数 y=-x+b 的图 象经过反比例函数图象上的点 Q(-4,n). (1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,与反比例函数图象的另一个交点为 P,连接 OP,OQ, 求△OPQ 的面积.
3.(2018·湖州中考)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点 A 在第一象限,
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B,C 在 x 轴的正半轴上(C 在 B 的右侧),BC=2,AB=2 3,△ADC 与△ABC 关于 AC 所在的直线对称. (1)当 OB=2 时,求点 D 的坐标; (2)若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上,求 OB 的长; (3)如图 2,将第(2)题中的四边形 ABCD 向右平移,记平移后的四边形为 A1B1C1D1,过点 D1 的反比例函数 y
k =x(k≠0)的图象与 BA 的延长线交于点 P.问:在平移过程中,是否存在这样的 k,使得以点 P,A1,D 为顶 点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的 k 的值;若不存在,请说明理由.
4.(2018·牡丹江中考)菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线 AC 与 BD 的交点 E 恰好在 y 轴上,过点 D 和 BC 的中点 H 的直线交 AC 于点 F,线段 DE,CD 的长是方程 x2-9x+18=0 的两根,请解 答下列问题: (1)求点 D 的坐标;
k (2)若反比例函数 y=x(k≠0)的图象经过点 H,则 k=________; (3)点 Q 在直线 BD 上,在直线 DH 上是否存在点 P,使以点 F,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若 存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案 1.解:(1)∵一次函数 y=x+b 的图象经过点 A(-2,0),
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∴0=-2+b,解得 b=2, ∴一次函数的表达式为 y=x+2. ∵一次函数 y=x+2 的图象与反比例函数 y=kx(x>0)的图象交于 B(a,4),

∴4=a+2,解得 a=2,∴B(2,4), ∴4=k2,解得 k=8,

8 ∴反比例函数的表达式为 y=x(x>0).

(2)∵点 A(-2,0),∴OA=2. 8
设点 M(m-2,m),点 N(m,m),

当 MN∥AO 且 MN=AO 时,四边形 AONM 是平行四边形, |8m-(m-2)|=2 且 m>0,

解得 m=2 2或 m=2 3+2,

∴点 M 的坐标为(2 2-2,2 2)或(2 3,2 3+2). 2.解:(1)∵反比例函数 y=mx(m≠0)的图象经过点(1,4),

∴4=m1,解得 m=4,∴反比例函数的表达式为 y=4x.

∵一次函数 y=-x+b 的图象与反比例函数的图象相交于点 Q(-4,n),

∴?????nn= =--44(,-4)+b,解得?????nb= =- -15, ,

∴一次函数的表达式为 y=-x-5.

(2)由?????yy==x4-,x-5解得?????xy= =- -41,或?????xy= =- -14, ,

∴点 P(-1,-4).

在一次函数 y=-x-5 中,令 y=0 得-x-5=0,

解得 x=-5,故点 A(-5,0),

1

1

∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=2×5×4-2×5×1=7.5.

3.解:(1)如图,作 DE⊥x 轴于 E.

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∵∠ABC=90°,∴tan∠ACB=BACB= 3, ∴∠ACB=60°. 根据对称性可知 DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°, ∴∠DCE=60°,∴∠CDE=90°-60°=30°, ∴CE=1,DE= 3,∴OE=OB+BC+CE=5, ∴点 D 坐标为(5, 3). (2)设 OB=a,则点 A 的坐标(a,2 3). 由题意 CE=1,DE= 3得 D(3+a, 3). ∵点 A,D 在同一反比例函数图象上, ∴2 3a= 3(3+a),∴a=3,∴OB=3. (3)存在.k 的值为 10 3或 12 3. 提示:①如图,当点 A1 在线段 CD 的延长线上,连接 AA1,且 PA1∥AD 时,∠PA1D=90°.
在 Rt△ADA1 中,∵∠DAA1=30°,AD=2 3, AD
∴AA1=cos 30°=4. 在 Rt△APA1 中,∵∠APA1=60°, ∴PA=4 3 3,∴PB=103 3.
10 3 设 P(m, 3 ),则 D1(m+7, 3). ∵P,D1 在同一反比例函数图象上,
10 3 ∴ 3 m= 3(m+7),解得 m=3,
10 3 ∴P(3, 3 ),∴k=10 3. ②如图,当∠PDA1=90°时,连接 AA1,交线段 PD 于点 K.
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∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1, ∴△AKP∽△DKA1, ∴AKKD=KPAK1,∴PAKK=KDAK1. ∵∠AKD=∠PKA1,∴△KAD∽△KPA1, ∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°, ∴∠APD=∠ADP=30°,∴AP=AD=2 3,AA1=6. 设 P(m,4 3),则 D1(m+9, 3). ∵P,D1 在同一反比例函数图象上, ∴4 3m= 3(m+9),解得 m=3, ∴P(3,4 3),∴k=12 3. 综上所述,k 的值为 10 3或 12 3. 4.解:(1)∵x2-9x+18=0, ∴(x-3)(x-6)=0,∴x=3 或 6. ∵CD>DE,∴CD=6,DE=3. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,AE=EC= 62-32=3 3, ∴∠DCA=30°,∠EDC=60°, ∴Rt△DEM 中,∠DEM=30°,
13 ∴DM=2DE=2.
1 ∵OM⊥AB,∴S 菱形 ABCD=2AC·BD=CD·OM, ∴12×6 3×6=6OM,∴OM=3 3, ∴D(-32,3 3).
93 (2) 2 (3)存在.点 P 的坐标为(92, 3)或(-125,5 3)或(221,- 3). 提示:①∵DC=BC,∠DCB=60°,∴△DCB 是等边三角形. ∵H 是 BC 的中点,∴DH⊥BC,
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∴当 Q 与 B 重合时,如图,四边形 CFQP 是平行四边形.
∵FC=FB,∴∠FCB=∠FBC=30°, ∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=120°-30°=90°, ∴AB⊥BF. 在 Rt△ABF 中,∠FAB=30°,AB=6, ∴FB=2 3=CP,∴P(92, 3). ②如图,连接 QA.
∵四边形 QPFC 是平行四边形,∴CQ∥PH. 由①知 PH⊥BC,∴CQ⊥BC. 在 Rt△QBC 中,BC=6,∠QBC=60°, ∴∠BQC=30°,∴CQ=6 3. ∵AE=EC,QE⊥AC,∴QA=QC=6 3, ∴∠QAC=∠QCA=60°,∠CAB=30°, ∴∠QAB=90°,∴Q(-92,6 3).
3 由①知 F(2,2 3), 由 F 到 C 的平移规律可得 P 到 Q 的平移规律,则 P(-92-3,6 3- 3),即(-125,5 3). ③如图,四边形 CQFP 是平行四边形,
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同理知 Q(-92,6 3),F(32,2 3),C(92,3 3),

∴P(221,- 3).

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综上所述,点 P 的坐标为(2, 3)或(- 2 ,5 3)或( 2 ,- 3).

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