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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第7章 第2节 一元二次不等式的解法及其应用


第七章

第二节

一、选择题 x-2 1.不等式 ≤0 的解集为( x+1 A.{x|-1≤x≤2} C.{x|-1≤x<2} [答案] B
??x-2??x+1?≤0, ? [解析] 原不等式?? ?-1<x≤2. ? ?x+1≠0

) B.{x|-1<x≤2} D.{x|-1<x<2}

2.已知不等式 x2-x≤0 的解集为 M,且集合 N={x|-1<x<1},则 M∩N 为( A.[0,1) C.[0,1] [答案] A [解析] 由 x2-x≤0,得 0≤x≤1,所以 M∩N 为[0,1).选 A. B.(0,1) D.(-1,0]

)

3.已知不等式 x2-2x-3<0 的整数解构成等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项为 ( ) A.3 C .2 [答案] D [解析] ∵x2-2x-3<0,∴-1<x<3. ∴a1=0,a2=1,a3=2,a4=3 或 a1=2,a2=1,a3=0,a4=-1. 4.(文)(2014· 全国大纲卷)不等式组? A.{x|-2<x<-1} C.{x|0<x<1} [答案] C [解析] 本题考查不等式(组)的解法.
?x>0或x<-2 ?x?x+2?>0 ? ? 由? 得? ∴0<x<1,注意解不等式组求交集. ?|x|<1 ? ? ?-1<x<1 ?x?x+2?>0, ? ?|x|<1 ?

B.-1 D.3 或-1

的解集为(

)

B.{x|-1<x<0} D.{x|x>1}

4 (理)不等式 ≤x-2 的解集是( x-2 A.(-∞,0]∪(2,4]

) B.[0,2)∪[4,+∞)

-1-

C.[2,4) [答案] B [解析] ①当 x-2>0,即 x>2 时, 不等式可化为(x-2)2≥4,∴x≥4; ②当 x-2<0,即 x<2 时, 不等式可化为(x-2)2≤4,∴0≤x<2.

D.(-∞,2]∪(4,+∞)

所以原不等式的解集为[0,2)∪[4,+∞). 5.函数 f(x)=3ax+1-2a 在(-1,1)上存在 x0,使 f(x0)=0,则 a 的取值范围是( 1 A.-1<a< 5 1 C.a<-1 或 a> 5 [答案] C [分析] a≠0 时,f(x)为一次函数,故由 x0∈(-1,1)时,f(x0)=0 知,f(-1)与 f(1)异号. [解析] 由题意得 f(-1)· f(1)<0, 即(-3a+1-2a)· (3a+1-2a)<0, 1 即(5a-1)(a+1)>0,∴a<-1 或 a> .故选 C. 5 6. (文)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1, x2), 且 x2-x1=15, 则 a= ( 5 A. 2 15 C. 4 [答案] A [解析] ∵a>0,∴不等式 x2-2ax-8a2<0 化为(x+2a)(x-4a)<0,∴-2a<x<4a, 5 ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,∴a= . 2 (理)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影 部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是( A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30] [答案] C [解析] 本题考查三角形相似及一元二次不等式的解法.设矩形的另一条边长为 t,由相 ) 7 B. 2 15 D. 2 ) 1 B.a> 5 D.a<-1 )

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x 40-t 似知识得 = , 40 40 ∴t=40-x,所以(40-x)x≥300,即 x2-40x+300≤0, 解得 10≤x≤30,故选 C. 二、填空题 p 7.若不等式-4<2x-3<4 与不等式 x2+px+q<0 的解集相同,则 =________. q [答案] 12 7

1 7 [解析] 由-4<2x-3<4,得- <x< . 2 2 7 1 1 7 p 12 由题意得 - =-p,(- )× =q,∴ = . 2 2 2 2 q 7 8.(文)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值值范围是 ________. [答案] (0,8) [解析] ∵x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立, ∴Δ=(-a)2-4· 2a<0, 即 a2-8a<0,0<a<8.故 a 的取值范围是(0,8) (理)若关于 x 的方程 x2+ax+a2-1=0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为________. [答案] -1<a<1 [解析] 令 f(x)=x2+ax+a2-1, ∴二次函数开口向上,若方程有一正根一负根,则只需 f(0)<0,即 a2-1<0, ∴-1<a<1. x-a 9.关于 x 的不等式 >0 的解集为 P,不等式 log2(x2-1)≤1 的解集为 Q.若 Q?P,则 a x+1 的取值范围为________. [答案] [-1,1] [解析] 当 a≥-1 时,P=(-∞,-1)∪(a,+∞), 当 a<-1 时,P=(-∞,a)∪(-1,+∞),
2 ? ?x -1≤2, ?- 3≤x≤ 3, ? Q: 2 ∴? ?x -1>0, ? ?x<-1或x>1,

∴Q=[- 3,-1)∪(1, 3). ∵Q?P,P=(-∞,-1)∪(a,+∞). ∴-1≤a≤1. 三、解答题

-3-

10.已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. [解析] 解法 1:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像的对称轴为 x=A. ①当 a∈(-∞,-1)时,结合图像知, f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a,恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a 解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1. 解法 2:由已知得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, Δ>0 ? ? 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1 ? ?f?-1?≥0 解得-3≤a≤1.



一、选择题 1.若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) [答案] C [解析] 因为 f(x)=x2-2x-4lnx,
2 4 2?x -x-2? ∴f ′(x)=2x-2- = >0, x x

)

B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

?x>0 ? 即? 2 ,解得 x>2,故选 C. ?x?x -x-2?>0 ?

2.已知二次函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数 f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点, 则不等式 f(x)>1 的解集为( ) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)

A.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) [答案] C [解析] ∵f(x)=ax2-(a+2)x+1, Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,

∴函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1 必有两个不同的零点.
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因此 f(-2)f(-1)<0, 3 5 ∴(6a+5)(2a+3)<0.∴- <a<- . 2 6 又 a∈Z,∴a=-1,不等式 f(x)>1 即为-x2-x>0, 解得-1<x<0.故选 C. 二、填空题 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用 区间表示为________________. [答案] (-5,0)∪(5,+∞) [解析] 本题考查函数性质和解不等式应用. 当 x>0 时,x2-4x>x,∴x>5, 当 x=0 时,f(0)=0,不合题意. 当 x<0 时,-x>0 时,f(-x)=(-x)2+4x=x2+4x, ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2-4x>x,∴-5<x<0, 综上 f(x)>x 的解集为(-5,0)∪(5,+∞). 4.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. [答案] 20 [解析] 由题意得,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000, 化简得(x%)2+3· x%-0.64≥0, 解得 x%≥0.2,或 x%≤-3.2(舍去). ∴x≥20,即 x 的最小值为 20. 三、解答题 5.已知 f(x)=ax3+bx2+cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减 1? 3 函数.又 f ′? ?2?=2. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[0,m](m>0)上恒有 f(x)≤x 成立,求 m 的取值范围. [解析] (1)f ′(x)=3ax2+2bx+c, 由已知得 f ′(0)=f ′(1)=0,

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? ? ? ?c=0, ? 即 解得? 3 ?3a+2b+c=0, ? ?b=- a.
c=0,

?

2

1? 3a 3a 3 ∴f ′(x)=3ax2-3ax,∴f ′? ?2?= 4 - 2 =2, ∴a=-2, ∴f(x)=-2x3+3x2. (2)令 f(x)≤x,即-2x3+3x2-x≤0, 1 ∴x(2x-1)(x-1)≥0,∴0≤x≤ 或 x≥1. 2 又 f(x)≤x 在区间[0,m]上恒成立, 1 ∴0<m≤ . 2 6.(文)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3) ∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,ax2+bx+c≤0 的解集为 R? [解析] 由题意知 f(x)的图像开口向下,即 a<0,交 x 轴于两点 A(-3,0)和 B(2,0),对称轴 1 为 x=- (如图),那么 x=-3 或 x=2 时, 2 y=0.
?0=a?-3?2+?b-8?×?-3?-a-ab, ? 代入原式? 2 ? ?0=a×2 +?b-8?×2-a-ab. ? ? ?a=0 ?a=-3 解得? (舍)或? . ?b=8 ?b=5 ? ?

∴f(x)=-3x2-3x+18. (1)由图可知 f(x)在[0,1]内单调递减, ∴ymin=f(1)=12,ymax=f(0)=18,值域为[12,18]. (2)令 g(x)=-3x2+5x+c≤0 的解集为 R, 25 即 Δ≤0,∴c≤- . 12 (理)已知函数 f(x)=(x+2)|x-2|. (1)若不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解不等式 f(x)>3x. [解析] (1)当 x∈[-3,1]时,f(x)=(x+2)|x-2|=(x+2)(2-x)=-x2+4. ∵-3≤x≤1,∴0≤x2≤9.

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于是-5≤-x2+4≤4. 即函数 f(x)在[-3,1]上的最大值等于 4. ∴要使不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,实数 a 的取值范围是[4,+∞). (2)不等式 f(x)>3x,即(x+2)|x-2|-3x>0. 当 x≥2 时,原不等式等价于 x2-3x-4>0, 解得 x>4 或 x<-1. 又∵x≥2,∴x>4. 当 x<2 时,原不等式等价于 4-x2-3x>0, 即 x2+3x-4<0,解得-4<x<1.满足 x<2. 综上可知,原不等式的解集为{x|x>4 或-4<x<1}.

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