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高一数学期中复习讲义 三角恒等变换


高一数学期中复习讲义
一、知识点 1、和角公式、差角公式、倍角公式 和(差)角公式:

三角恒等变换

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan ?(? ? ) ?

t a? n ?t an ? 1? t a ? n tan ?

二倍角公式:(注意倍角的相对性)

sin 2? ? 2 s i n ? cos ? ; cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;

co2 s? ? 2 c o 2 s? ? 1
2、常用变形 :

2 co2 s? ? 1 ? 2 s i n ?

t an 2? ?

2t an ? 2 1? t a n ?

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? )
其中 cos ? =

a a2 ? b2

sin ? =

b a2 ? b2
sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2
sin ? cos ?? sin 2? 2

升角降幂公式: cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

tan? ? tan ? ? (1 ? tan? tan ? ) tan( ? ? ?)

1 ? sin ? ? (sin

?
2

? cos

?
2

)2

2 1? c o s ? ? 2c o s

?
2

2 1? c o s ? ? 2s i n

?
2

二 数学思想 1、 转化思想: 是学好本单元的关键, 公式变形、 公式倒用、a sin x ? b cos x ? 等要会熟练运用; 2、 角的重新组合,结合公式的灵活变化:如 cos(a ? ? ) cosa ? sin(a ? ? ) sin a ? cos ? 在解题中 的应用是本单元难点 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角” ,如

a 2 ? b 2 sin(x ? ? )

3、

? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注
4、 5、 意角的范围的讨论 “见平方可降幂,见切可化弦”是三角变换中的常用技巧 倍、半的“相对性:如 sin ? ? 2 sin

?
2

cos

?
2



sin 2? ? t an ? 等都是倍、半公式的变化。 1? c o s 2?

三、典型例题 例 1、化简
sin ? ?sin 2? .(答案: tan? ) 1? c o s ? ? c o s2?

例 2、化简: 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8 . (答案:?2sin4 ? 4cos4)

例 3、在△ABC 中,已知 cosA = 5 ,sinB = 3 ,求 cosC 的值 . (答案: 16 )
13
5

65

例 4、已知 sin(

? ? 1 ? 4 2 ? ?) sin( ? ?) ? , ? ? ( , ?) ,求 sin4?的值 . (答案: ? ) 4 4 6 2 9

例 5、已知 (答案:

? ? 3? ? 3 3? 5 ??? ? ?) ? ,求 sin(? + ?)的值. , 0 ? ? ? , cos( ? ?) ? ? , sin( 4 4 4 4 5 4 13

63 ) 65

例 6、设?,??( ?

? ? 2 , ),tan?、tan?是一元二次方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两个根,求 ? + ? 2 2
3

(答案:? + ? = ? 2 ? )

例 7、求函数 sin x ? cos x 的最小正周期.
4 2

(答案: ? ) 2

例 8、已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin(? x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为π .

(Ⅰ)求ω 的值;答案:1 (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,

2? ]上的取值范围. 3

【0,3/2】

四、课后练习 1、 sin 750 cos150 ? cos750 sin 150 ? ( )

(A) 0 2、已知 x?( ? A.

(B)

1 2

(C)1

(D) ) D. ?

3 2

?
2

,0),cosx= B.

7 24

4 ,则 tan2x = ( 5 7 24 ? C. 24 7


24 7


3、

2 sin 2? cos2 ? ? = 1 ? cos 2? cos 2?
A. tan ? B. tan 2?

C.1

D.

4、 (cos

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin 1 2

?
12

1 2

)?
C.

A. ?

3 2

B. ?

1 2


D.

3 2


5、已知 f ? cos x ? ? cos2 x ,则 f ? sin

? ?

? 的值为 12 ?
C .?

? ?

A.

1 2
? ?

B .?

1 2
? ?

3 2

D.


3 2


6、 tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值为

A. 1

B.

3 3

C. - 3 (

D. )

3

? 4 4 7、若 x ? 15 ,则 sin x ? cos x 的值是

A.

1 2

B. ?

3 2

C. ?

1 2


D.

3 2


8、若

?
2

? ? ? ? ,化简

1 1 1 1 ? ? cos 2? 得: 2 2 2 2

A、 cos

?
2

B、 ? sin

?
2

C、 sin

?
2

D、 ? cos

?
2


9、已知 sin a ? 10、若 cosα=

10 5 sin ? ? a 、 ? 锐角 ,则 a ? ? = 10 5


1 ? ? ,α∈(0. ),则 cos(α+ )= 7 2 3

11、

1 ? tan750 =________ 1-tan750

12、

1 3 的值是 ? sin 10? sin 80?



13、已知函数 y ? sin 2 x ? sin 2x ? 3cos2 x ,求(1)函数的最小值及此时的 x 的集合。 (2)函数的单 调减区间(3)此函数的图像可以由函数 y ? 2 sin 2 x 的图像经过怎样变换而得到

14、如图 A, B 是单位圆 O 上的动点,且 A, B 分别在第一,二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点,?AOB 为 正三角形. 若 A 点的坐标为 ( x, y ) . 记 ?COA ? ? .

?3 4? sin 2 ? ? sin 2? , ? ? (1)若 A 点的坐标为 ,求 cos2 ? ? cos 2? ?5 5?
(2)求 | BC | 的取值范围.
2

的值; B

y

A C

O

x

答案:1、D 9、

2、D

3、B 11、 ? 3

4、D 12、4

5、C

6、D

7、B

8、C

? 4

10、-

11 14

13、 :由

?? ? y ? sin 2 x ? sin 2 x ? 3cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 2cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 ( 4? ?
1)当 sin ? 2 x ?

? ?

??
?
2

? ? 3? ? ? ?1时, y最小=2- 2 ,此时,由 2 x ? 4 ? 2k? ? 2 , 得 x ? k? ? 8 , 4?
? 2x ?

(2)由 2k? ?

?
4

? 2k ? ?

3? ? 5? ? ? , 得减区间为 x ? ? k? ? , k? ? 2 8 8 ? ? ?

(3)其图像可由 y ? 2 sin 2 x 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 2 个单位而得到。 8

?3 4? 14.解: (Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ? , ? ,根据三角函数定义可知, ?5 5?

0 ?? ?

?
2

,sin ? ?

4 3 ,得 cos ? ? ,.................................2 分 5 5

所以

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? = ? 20 ..........................5 分 2 cos ? ? cos 2? 3cos2 ? ?1


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