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2017年浙江省嘉兴一中高考数学适应性试卷(解析版)


2017 年浙江省嘉兴一中高考数学适应性试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A={1,2,3},B={(x,y)|x+y﹣4>0,x,y∈A},则集合 B 中的元 素个数为( A.9 B.6 ) C.4 D.3 )

2.复数 z 满足 z?(2﹣i)=3﹣4i(其中 i 为虚数单位) ,则复数| |=( A. B.2 C. D.

3.已知数列{an}中的任意一项都为正实数,且对任意 m,n∈N*,有 am?an=am+n, 如果 a10=32,则 a1 的值为( A.﹣2 B.2 C. D. ) )

4.已知函数 f(x)=ln|x|,g(x)=﹣x2+3,则 f(x)?g(x)的图象为(

A.

B.

C



D.

5.随机变量 X 的分布列如下表,且 E(X)=2,则 D(2X﹣3)=( X P A.2 0 2 p B.3 C.4 D.5 a



6.设函数 f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b,a,b∈R,则下列叙述中,正确的序号是 ( )

①对任意实数 a,b,函数 y=f(x)在 R 上是单调函数;
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②对任意实数 a,b,函数 y=f(x)在 R 上都不是单调函数; ③对任意实数 a,b,函数 y=f(x)的图象都是中心对称图象; ④存在实数 a,b,使得函数 y=f(x)的图象不是中心对称图象. A.①③ B.②③ C.①④ ,则 D.4 个单位,若所得图象 D.③④ 的最小值为( )

7.已知 xy=1,且 A.4 B. C.2

8.将函数 f(x)=cosωx(其中 ω>0)的图象向右平移 与原图象重合,则 f( A.0 B.1 C. )不可能等于( D. )

9.已知 A,B,C 是抛物线 y2=4x 上不同的三点,且 AB∥y 轴,∠ACB=90°,点 C 在 AB 边上的射影为 D,则|AD|?|BD|=( A.16 B.8 C.4 D.2 ) )

10. 已知不等式 ln (x+1) ﹣1≤ax+b 对一切 x>﹣1 都成立, 则 的最小值是 ( A.e﹣1 B.e C.1﹣e﹣3 D.1

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11.设 ? = , 为单位向量,其中 =2 , 与 的夹角为 + . , = ,且 在 上的投影为 2,则

12.若双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的 ,如果双曲线上存在一点 P 到双曲线的左右焦 .

倍,则双曲线的离心率为

点的距离之差为 4,则双曲线的虚轴长为

13. 某四面体的三视图如图所示, 其中侧视图与俯视图都是腰长为 2 的等腰直角 三角形,正视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的体积为 为 . ,表面积

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14. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S6>S7>S5, 则 an>0 的最大 n= 满足 SkSk+1<0 的正整数 k= .



15.电影院一排 10 个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排, 那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 16 . 在△ ABC 中, ∠ ACB 为钝 角, AC=BC=1 , 的最小值为 ,则 的最小值为 种. 且 x+y=1 , 函数 .

17.已知点 P 是平面区域 M: 边界的距离之和的取值范围为 .

内的任意一点,P 到平面区域 M 的

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 18.已知 (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的内角 A 满足 f(A)=2,而 ,求边 BC 的最小值. ,

19.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥底面 ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D,E 分别是 AC,BC 的中点,F 在 SE 上,且 SF=2FE. (1)求证:AF⊥平面 SBC; (2)在线段上 DE 上是否存在点 G,使二面角 G﹣AF﹣E 的大小为 30°?若存在, 求出 DG 的长;若不存在,请说明理由.

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20.已知函数 (1)设 a>1,试讨论 f(x)单调性; (2)设 g(x)=x2﹣2bx+4,当 时,任意 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2],使

f(x1)≥g(x2) ,求实数 b 的取值范围. 21.如图,已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的一个焦点为( )是椭圆上的一个点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆的上、下顶点分别为 A,B,P(x0,y0) (x0≠0)是椭圆上异于 A,B 的任意一点,PQ⊥y 轴,Q 为垂足,M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l:y= ﹣1 于点 C,N 为线段 BC 的中点,如果△MON 的面积为 ,求 y0 的值. ,0) , (1,

22.已知数列{an}满足:a1=1,an+1﹣ansin2θ=sin2θ?cos2nθ. (Ⅰ)当 θ= 时,求数列{an}的通项公式; ,Sn 为数列{bn}的前 n

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列{bn}满足 bn=sin 项和,求证:对任意 n∈N*,Sn<3+ .

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2017 年浙江省嘉兴一中高考数学适应性试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A={1,2,3},B={(x,y)|x+y﹣4>0,x,y∈A},则集合 B 中的元 素个数为( A.9 B.6 ) C.4 D.3

【考点】15:集合的表示法. 【分析】通过列举可得 x,y∈A 的数对共 9 对,再寻找符合题意的(x,y) ,即 为集合 B 中的元素个数. 【解答】解:通过列举,可知 x,y∈A 的数对共 9 对, 即(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3, 3)共 9 种, ∵B={(x,y)|x+y﹣4>0,x,y∈A}, ∴易得(2,3) , (3,2) , (3,3)满足 x+y﹣4>0, ∴集合 B 中的元素个数共 3 个. 故选:D.

2.复数 z 满足 z?(2﹣i)=3﹣4i(其中 i 为虚数单位) ,则复数| |=( A. B.2 C. D.



【考点】A8:复数求模;A5:复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则化简 z,再利用模的计算公式即可得出. 【解答】解:复数 z 满足 z?(2﹣i)=3﹣4i(其中 i 为虚数单位) , ∴z?(2﹣i) (2+i)=(3﹣4i) (2+i) ,化为:5z=10﹣5i,可得 z=2﹣i. 则复数| |= 故选:D.
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=

=|﹣1﹣2i|=|1+2i|=

=



3.已知数列{an}中的任意一项都为正实数,且对任意 m,n∈N*,有 am?an=am+n, 如果 a10=32,则 a1 的值为( A.﹣2 B.2 C. D. )

【考点】88:等比数列的通项公式. 【分析】令 m=1,得 ,从而 ,由此能求出 a1 的值.

【解答】解:∵数列 {an}中的任意一项都为正实数,且对任意 m , n ∈ N*,有 am?an=am+n, ∴令 m=1,则 ,

∴数列{an}是以 a1 为首项,公比为 a1 的等比数列, ∴ , .

∵a10=512,∴ 故选:C.

4.已知函数 f(x)=ln|x|,g(x)=﹣x2+3,则 f(x)?g(x)的图象为(



A.

B.

C



D.

【考点】3O:函数的图象. 【分析】根据 f(x)?g(x)为偶函数,排除 A,D,根据函数的变化趋势,排除 B. 【解答】解:f(x)=ln|x|,g(x)=﹣x2+3,则 f(x)?g(x)=ln|x|?(﹣x2+3) ,
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∴f(﹣x)?g(﹣x)=ln|﹣x|?(﹣(﹣x)2+3)=ln|x|?(﹣x2+3)=f(x)?g(x) , ∴f(x)?g(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,排除 A,D, 当 x→+∞时,f(x)→+∞,g(x)→﹣∞, ∴f(x)?g(x)→﹣∞,排除 B. 故选:C

5.随机变量 X 的分布列如下表,且 E(X)=2,则 D(2X﹣3)=( X P A.2 0 2 p B.3 C.4 D.5 a



【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差. 【分析】利用分布列求出 p,利用期望求解 a,然后求解方差即可. 【解答】解:由题意可得: 因为 E(X)=2,所以: +p+ =1,解得 p= , ,解得 a=3.

D(X)=(0﹣2)2× +(2﹣2)2× +(3﹣2)2× =1. D(2X﹣3)=4D(X)=4. 故选:C.

6.设函数 f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b,a,b∈R,则下列叙述中,正确的序号是 ( )

①对任意实数 a,b,函数 y=f(x)在 R 上是单调函数; ②对任意实数 a,b,函数 y=f(x)在 R 上都不是单调函数; ③对任意实数 a,b,函数 y=f(x)的图象都是中心对称图象; ④存在实数 a,b,使得函数 y=f(x)的图象不是中心对称图象. A.①③ B.②③ C.①④ D.③④

【考点】3O:函数的图象. 【分析】可先考虑函数 g(x)=x|x|的单调性和图象的对称性,然后考虑将函数 g(x)的图象左右平移和上下平移,得到函数 f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b 的图象,
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观察它的上升还是下降和对称性. 【解答】解:设函数 g(x)=x|x|即 g(x)= ,作出 g(x)的图象,

得出 g(x)在 R 上是单调增函数,且图象关于原点对称, 而 f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b 的图象可由函数 y=g(x)的图象先向左(a<0)或 向右(a>0)平移|a|个单位, 再向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到. 所以对任意的实数 a,b,都有 f(x)在 R 上是单调增函数,且图象关于点(a, b)对称. 故选:A

7.已知 xy=1,且 A.4 B. C.2

,则 D.4

的最小值为(



【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】判断 x﹣2y>0.化简所求的表达式,利用基本不等式求解最小值即可. 【解答】解:xy=1 且 ,可知 , 当且仅当 时等号成立.
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,所以 x﹣2y>0.

则 故选:A.

的最小值为:4.

8.将函数 f(x)=cosωx(其中 ω>0)的图象向右平移 与原图象重合,则 f( A.0 B.1 C. )不可能等于( D. )

个单位,若所得图象

【考点】HJ:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】函数图象平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数

平移整数个周期,可求 ω=6k(k∈N*) ,利用特殊角的三角函数值即可得解. 【解答】解:由题意 所以 ω=6k(k∈N*) , 因此 f(x)=cos6kx, 从而 可知 故选:D. , 不可能等于 . ,

9.已知 A,B,C 是抛物线 y2=4x 上不同的三点,且 AB∥y 轴,∠ACB=90°,点 C 在 AB 边上的射影为 D,则|AD|?|BD|=( A.16 B.8 C.4 D.2 )

【考点】K8:抛物线的简单性质. 【分析】设出 A,B,C 三点坐标,求出 ,根据∠ACB=90°列方程得出三点

横坐标的关系得出|CD|,利用相似三角形得出|AD|?|BD|=|CD|2. 【解答】解:设 A(4t2,4t) ,B(4t2,﹣4t) ,C(4m2,4m) , ∴ =(4t2﹣4m2,4t﹣4m) , . =(4t2﹣4m2,﹣4t﹣4m) .

∵∠ACB=90°,∴

∴16(t2﹣m2)2﹣16(t2﹣m2)=0,∴m2﹣t2=﹣1 或 m2﹣t2=0(舍) .
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∴|CD|=4|t2﹣m2|=4, 在 Rt△ABC 中,∵CD⊥AB, ∴△ACD∽△CBD, ∴ ,

∴|AD|?|BD|=|CD|2=16. 故选:A.

10. 已知不等式 ln (x+1) ﹣1≤ax+b 对一切 x>﹣1 都成立, 则 的最小值是 ( A.e﹣1 B.e C.1﹣e﹣3 D.1



【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用;3R:函数恒成立问题. 【分析】 令 y=ln (x+1) ﹣ax﹣b﹣1, 求出导数, 分类讨论, 进而得到 b≥﹣lna+a+2, 可得 ≥ , 通过导数求出单调区间和极值、 最值, 进而得到 的最小值. ﹣a,

【解答】解:令 y=ln(x+1)﹣ax﹣b﹣1,则 y′=

若 a≤0,则 y′>0 恒成立,x>﹣1 时函数递增,无最值. 若 a>0,由 y′=0 得:x= 当﹣1<x< 当 x> 则 x= ,

时,y′>0,函数递增;

时,y′<0,函数递减. 处取得极大值,也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2,

∴﹣lna+a﹣b+2≤0, ∴b≥﹣lna+a+2, ∴ ≥ ,令 t= ,
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∴t′=



∴(0,e3)上,t′<0, (e3,+∞)上,t′>0, ∴a=e3,tmin=1﹣e﹣3. ∴ 的最小值为 1﹣e﹣3. 故选:C.

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11.设 ? = 2 , , 为单位向量,其中 =2 与 的夹角为 + . , = ,且 在 上的投影为 2,则

【考点】9R:平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量投影的定义以及向量数量积和夹角的关系进行求解即可. 【解答】解:设 , 为夹角为 θ,

则∵ 在 上的投影为 2, ∴ 解得 则 ? =(2 . + )? . =2 ? +| |2=2| |?| |cosθ+12, = , =2 ? +| |2=2| |?| |cosθ+1=2,

故答案为:2,

12.若双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的 2 ,如果双曲线上存在一点 P 到双曲线的左右焦点 .

倍,则双曲线的离心率为

的距离之差为 4,则双曲线的虚轴长为 【考点】KC:双曲线的简单性质.

【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于焦距的
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倍,得到 c=2a,根据 P 到双

曲线的左右焦点的距离之差为 4,得到 2a=4,然后进行求解即可. 【解答】解:∵右焦点到渐近线的距离为 b,若右焦点到渐近线的距离等于焦距 的 ∴b= 倍, ?2c= c,

平方得 b2= c2=c2﹣a2, 即 a2= c2, 则 c=2a,则离心率 e= ,

∵双曲线上存在一点 P 到双曲线的左右焦点的距离之差为 4, ∴2a=4,则 a=2, 从而 故答案为:2, .

13. 某四面体的三视图如图所示, 其中侧视图与俯视图都是腰长为 2 的等腰直角 三角形,正视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的体积为 2+2 . ,表面积为

【考点】L!:由三视图求面积、体积. 【分析】 判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积 与表面积. 【解答】解:由三视图可知几何体是三棱锥,如图: 是正方体内的三棱锥,AD=DC=2,AB=BC=AC=2 ,BD=2 ,

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几何体的体积是 表面积为: 故答案为: ;2+2

= , =2+2 .

14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6>S7>S5,则 an>0 的最大 n= 满足 SkSk+1<0 的正整数 k= 12 .

6



【考点】85:等差数列的前 n 项和. 【分析】依题意 a6=S6﹣S5>0,a7=S7﹣S6<0,a6+a7=S7﹣S5>0,从而得到 S12S13 <0,由此能救济出满足 SkSk+1<0 的正整数 k 的值. 【解答】解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6>S7>S5, ∴依题意 a6=S6﹣S5>0,a7=S7﹣S6<0,a6+a7=S7﹣S5>0, ∴an>0 的最大 n=6. ∴ =11a6>0, , , ∴S12S13<0,即满足 SkSk+1<0 的正整数 k=12. 故答案为:6,12.

15.电影院一排 10 个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排, 那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 【考点】D8:排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,先排好 7 个空座位,注意空座位是相同的,其中有 6 个空位
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40

种.

符合条件,考虑顺序,将 3 人插入 6 个空位中,注意甲必须在三人中间,由倍分 法分析可得答案. 【解答】解:先排 7 个空座位,由于空座位是相同的,则只有 1 种情况,其中有 6 个空位符合条件, 考虑三人的顺序,将 3 人插入 6 个空位中,则共有 1×A63=120 种情况, 由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有 ×120=40 种; 故答案为:40.

16 . 在△ ABC 中, ∠ ACB 为钝 角, AC=BC=1 , 的最小值为 ,则 的最小值为 .

且 x+y=1 , 函数

【考点】9B:向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC=BC=1,函数 f(m)的最小值为 .利

用数量积的性质可得∠ACB,进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可 得出. 【解答】解:在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC=BC=1,函数 f(m)的最小值为 ∴函数 = = , .

化为 4m2﹣8mcos∠ACB+1≥0 恒成立. 当且仅当 m= . ∴ ﹣x)= = , 取得最小值 , = =x2+(1﹣x)2﹣x(1 =cos ∠ ACB 时等号成立,代入得到 ,∴

当且仅当 x= =y 时, ∴ 的最小值为 .

故答案为: .

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17.已知点 P 是平面区域 M:

内的任意一点,P 到平面区域 M 的

边界的距离之和的取值范围为 【考点】7C:简单线性规划.

[

]



【分析】设出 P 点坐标,得到 P 到可行域三边距离,由表达式看出,当 a,b 同 时取得最小值 0 时,P 到平面区域 M 的边界的距离之和有最小值;在数形结合 得到动点在线段 AB 上时 P 到平面区域 M 的边界的距离之和有最大值, 进一步转 化为一次函数求得最大值. 【解答】解:设 P(a,b) (a≥0,b≥0, 则 P 到三角形三边距离之和为 L=|a|+|b|+ = = ; . ) ,

∴当 a=b=0 时,L 有最小值为

由图可知,在可行域内取点 P,过 P 作 PE⊥x 轴,过 P 作 PF⊥y 轴,作 PP′⊥AB 于 P′, 过 P′作 P′G⊥x 轴于 G,作 P′作 P′H⊥y 轴于 H, 则有 PE+PF+PP′≤P′G+P′H, 由 a≥0,b≥0, 得 a+b=a+ ∴当 a=0 时, =(1﹣ , )a+ . ]. .

∴P 到平面区域 M 的边界的距离之和的取值范围为[ 故答案为:[ ].

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三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 18.已知 (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的内角 A 满足 f(A)=2,而 ,求边 BC 的最小值. ,

【考点】H5:正弦函数的单调性;HS:余弦定理的应用. 【分析】利用和差角及二倍角公式对函数化简可得 (1)令 (2)由 f(A)= ,解不等式可得答案, 及 0<A<π 可得 ,由 ,利用向

量 数 量 积 的 定 义 可 得 , bc=2 , 利 用 余 弦 定 理 可 得 可 得 又 △ ABC 中

=

,从而可求

【 解 答 】 解 :( 1 ) = 由 故所求单调递增区间为 得 . ,

(2)由


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∵ 又 △ ABC = ∴

,即 中 , ,

,∴bc=2,

19.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥底面 ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D,E 分别是 AC,BC 的中点,F 在 SE 上,且 SF=2FE. (1)求证:AF⊥平面 SBC; (2)在线段上 DE 上是否存在点 G,使二面角 G﹣AF﹣E 的大小为 30°?若存在, 求出 DG 的长;若不存在,请说明理由.

【考点】MT:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)通过证明 AF 与平面 SBC 内的两条相交直线垂直即可; (2)抓住两点找到问题的求解方向:一是点 G 的预设位置,二是二面角 G﹣AF ﹣E 的位置,计算即可. 【解答】 (1)证明:由 AC=AB=SA=2,AC⊥AB,E 是 BC 的中点,得 因为 SA⊥底面 ABC,所以 SA⊥AE. 在 Rt△SAE 中, ,所以 . .

因此 AE2=EF?SE,又因为∠AEF=∠AES, 所以△EFA∽△EAS, 则∠AFE=∠SAE=90°,即 AF⊥SE. 因为 SA⊥底面 ABC,所以 SA⊥BC,又 BC⊥AE,
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所以 BC⊥底面 SAE,则 BC⊥AF. 又 SE∩BC=E,所以 AF⊥平面 SBC. (2) 结论: 在线段上 DE 上存在点 G 使二面角 G﹣AF﹣E 的大小为 30°, 此时 DG= . 理由如下: 假设满足条件的点 G 存在,并设 DG=t. 过点 G 作 GM⊥AE 交 AE 于点 M, 又由 SA⊥GM,AE∩SA=A,得 GM⊥平面 SAE. 作 MN⊥AF 交 AF 于点 N,连结 NG,则 AF⊥NG. 于是∠GNM 为二面角 G﹣AF﹣E 的平面角, 即∠GNM=30°,由此可得 由 MN∥EF,得 , .

于是有





在 Rt△GMN 中,MG=MNtan30°, 即 ,解得 . .

于是满足条件的点 G 存在,且

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20.已知函数 (1)设 a>1,试讨论 f(x)单调性; (2)设 g(x)=x2﹣2bx+4,当 时,任意 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2],使

f(x1)≥g(x2) ,求实数 b 的取值范围. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即 可; (2)根据函数的单调性得到 f(x1)≥f(1)=﹣ ,问题转化为存在 x2∈[1,2], 使得 围即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , = 令 f'(x)=0,则 x1=1, (a>1,x2<0)舍去. , ,分离参数即得到 在 x∈[1,2]时有解,求出 b 的范

令 f'(x)>0,则 x>1,令 f'(x)<0,则 0<x<1, 所以当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递增;当 x∈(0,1)时,函数 f(x) 单调递减; (2)当 时,

由(1)可知 f'(x)=0 的两根分别为 x1=1, 令 f'(x)>0,则 0<x<1 或 x>3,令 f'(x)<0,则 1<x<3 可知函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增, 所以对任意的 x1∈(0,2) ,有 由条件知存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2) , 所以 分离参数即得到 由于 即存在 x2∈[1,2],使得 在 x∈[1,2]时有解, , , ,

(x∈[1,2])为减函数,故其最小值为
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从而

,所以实数 b 的取值范围是



21.如图,已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的一个焦点为( )是椭圆上的一个点. (1)求椭圆的标准方程;

,0) , (1,

(2)设椭圆的上、下顶点分别为 A,B,P(x0,y0) (x0≠0)是椭圆上异于 A,B 的任意一点,PQ⊥y 轴,Q 为垂足,M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l:y= ﹣1 于点 C,N 为线段 BC 的中点,如果△MON 的面积为 ,求 y0 的值.

【考点】K4:椭圆的简单性质. 【分析】 (1)确定 求椭圆的标准方程; (2)求出 M,N 的坐标,利用平面向量的数量积判断 OM⊥MN,利用△MON 的面积为 ,建立方程,即可求 y0 的值. 【解答】解: (1)设椭圆方程为 因为 a2﹣c2=b2,所以 b2=a2﹣3. 又 是椭圆上的一个点,所以 . . ,解得 a2=4 或 (舍去) , ,由题意,得 . ,利用 是椭圆上的一个点,代入求出 a,即可

从而椭圆的标准方程为

(2)因为 P(x0,y0) ,x0≠0,则 Q(0,y0) ,且 因为 M 为线段 PQ 中点,所以 .
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又 A(0,1) ,所以直线 AM 的方程为



因为 x0≠0,∴y0≠1,令 y=﹣1,得



又 B(0,﹣1) ,N 为线段 BC 的中点,有



所以



因此,

=

.从而 OM⊥MN.

因为





所以在 Rt△MON 中,

,因此



从而有

,解得



22.已知数列{an}满足:a1=1,an+1﹣ansin2θ=sin2θ?cos2nθ. (Ⅰ)当 θ= 时,求数列{an}的通项公式; ,Sn 为数列{bn}的前 n

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列{bn}满足 bn=sin 项和,求证:对任意 n∈N*,Sn<3+ .

【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式. 【分析】 (1)当 时, , ,利用等差数列

的通项公式即可得出; (2)由(1)可得:an= ,可得 ,

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可得当 n=1,2,3 时,不等式成立;当 n≥4 时,由于 “错位相减法”、等比数列的前 n 项函数公式即可得出. 【解答】 (1)解:当 时, , ,

,利用

∴{2n﹣1an}是以 1 为首项、1 为公差的等差数列,2n﹣1an=n, 从而 (2)证明: ∴当 n=1,2,3 时, 当 n≥4 时,∵ 令 两式相减得 . 综上所述,对任意 . , , , ; , . ,

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2017 年 7 月 11 日

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