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2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题_图文

2011 年“北约”13 校联考自主招生数学试题

2012 年北约自主招生数学试题 1、求 x 的取值范围使得 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x ? 1 是增函数;

2、求 x ? 11 ? 6 x ? 2 ?

x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实数根的个数;

3、已知 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的 4 个根组成首项为
2 2

1 的等差数列,求 m ? n ; 4

4、如果锐角 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,求 O 到三角形三边的距离之比; 5、已知点 A(?2,0), B(2,0) ,若点 C 是圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 上的动点,求 ?ABC 面积的最小值。 6、在 1,2,?,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?

7、求使得 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 在 [0, ? ) 有唯一解的 a ; 8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;

9、求证:对于任意的正整数 n , (1 ? 2 ) n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ?

1

2012 年自主招生北约联考数学试题解答

2

3

2013 年北约自主招生数学试题解析
1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?
2 3 解析:显然,多项式 f ( x) ? ( x ? 2) ?(1 ? x) ? 2 ? 的系数均为有理数,且有两根分别为 2 ? ?

和 1 ? 3 2 .于是知,以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于 5. 若存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? e , 其两根分别为
4 3 2

4

2 和 1 ? 3 2 ,其中 a, b, c, d , e 不全为 0,则:

g

? 2 ? ? (4a ? 2c ? e) ? (2b ? d )
? ?

?4a ? 2c ? e ? 0 2 ?0?? ?2b ? d ? 0

g 1 ? 3 2 ? ?(7a ? b ? c ? d ? e) ? (2a ? 3b ? 2c ? d ) 3 2 ? (6a ? 3b ? c) 3 4 ? 0

?7a ? b ? c ? d ? e ? 0 ?? ?2a ? 3b ? 2c ? d ? 0
(1) ? 4 a ? 2c ? e ? 0 ?2b ? d ? 0 (2) ? ? (3) ,有非 0 有理数解. 即方程组: ?7 a ? b ? c ? d ? e ? 0 ?2a ? 3b ? 2c ? d ? 0 (4) ? (5) ?6a ? 3b ? c ? 0 ? 由(1)+(3)得: 11a ? b ? c ? d ? 0 (6) 由(6)+(2)得: 11a ? 3b ? c ? 0 (7) 由(6)+(4)得: 13a ? 4b ? 3c ? 0 (8) a ? 0 ,代入(7)(8)得: b ? c ? 0 ,代入(1)(2)知: d ? e ? 0 . 由(7) ? (5)得: 、 、
于是知 a ? b ? c ? d ? e ? 0 ,与 a,b,c, d ,e 不全为 0 矛盾.所以不存在一个次数不超过 4 的 有理系数多项式 g ( x) ,其两根分别为 2 和 1 ? 3 2 . 综上所述知,以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小为 5. 2.在 6 ? 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有 一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法? 解析: 先从 6 行中选取 3 行停放红色车, C6 种选择.最上面一行的红色车位置有 6 种选择; 有 3 最上面一行的红色车位置选定后, 中间一行的红色车位置有 5 种选择; 上面两行的红色车位 置选定后,最下面一行的红色车位置有 4 种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置
3 有 3!=6 种选择。所以共有 C6 ? 6 ? 5 ? 4 ? 6 ? 14400 种停放汽车的方法.

3.已知 x ? 2 y ? 5, y ? 2 x ? 5 ,求 x ? 2 x y ? y 的值.
2 2 3 2 2 3

解析:根据条件知:

x3 ? 2x2 y 2 ? y3 ? x(2 y ? 5) ? 2(2 y ? 5)(2x ? 5) ? y(2x ? 5) ? 15x ? 15 y ? 4 xy ? 50
2 2 由 x ? 2 y ? 5, y ? 2 x ? 5 两式相减得 ( x ? y)( x ? y) ? 2 y ? 2 x 故 y ? x 或 x ? y ? ?2
2 ①若 x ? y 则 x ? 2 x ? 5 ,解得 x ? 1 ? 6 .于是知 x ? y ? 1 ? 6 或 x ? y ? 1 ? 6 .

5

当 x ? y ? 1 ? 6 时,

x3 ? 2x2 y2 ? y3 ? ?4xy ? 15( x ? y) ? 50 ? ?4x2 ? 30x ? 50 ? ?4( x2 ? 2x ? 5) ? 38x ? 70 ? ?38x ? 70 ? ?108 ? 38 6 .
当 x ? y ? 1? 6 时

x3 ? 2x2 y 2 ? y3 ? ?4xy ?15( x ? y) ? 50 ? ?4x2 ? 30 ? 50 ? ?4( x2 ? 2x ? 5) ? 38x ? 70 x2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2x ? 5) ? 2( y ? x) ? x ? y ? ?2 ? ?38x ? 70 ? ?108 ? 38 6 .
(2)若 x ? y ,则根据条件知: x2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2x ? 5) ? 2( y ? x) ? x ? y ? ?2 , 于是 x2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2 x ? 5) ? 2( x ? y) ? 10 ? 6 , 进而知 xy ?

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? ?1 . 2

于是知: x3 ? 2x2 y 2 ? y3 ? 4xy ?15( x ? y) ? 50 ? ?16 . 综上所述知, x3 ? 2 x2 y 2 ? y3 的值为 ?108 ? 38 6 或 ?16 .

4.如图, ?ABC 中, AD 为 BC 边上中线, DM , DN 分别

?ADB, ? ADC的角平分线, 试比较 BM ? CN 与 MN 的大小
关系,并说明理由. 解析: 如图, 延长 ND 到 E , 使得 DE ? DN , 连接 BE、ME . 易知 ?BDE ? ?CDN , 所以 CN ? BE .又因为 DM , DN 分别 为 ?ADB, ?ADC 的角平分线,所以 ?MDN ? 90? ,知 MD 为 线 段 EN 的 垂 直 平 分 线 , 所 以 MN ? ME . 所 以 B M? C N B M B? ? ? E M E. M N ? 5.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn , Sn?1 ? 4an ? 2 ,求 a2013 . 解析:根据条件知: 4an?1 ? 2 ? Sn?2 ? an?2 ? Sn?1 ? an?2 ? 4an ? 2 ? an?2 ? 4an?1 ? 4an . 又根据条件知: a1 ? 1, S2 ? a1 ? a2 ? 4a1 ? 2 ? a2 ? 5 .

6

所以数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? 4an?1 ? 4an . 又 an?2 ? 4an?1 ? 4an ? an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) .令 bn ? an?1 ? 2an , 则 bn?1 ? 2bn , b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ,所以 bn ? 3 ? 2n?1 .即 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 .

an ?1 an 3 a a 3 a ? n ? ,即 n ?1 ? n ? .令 cn ? n , n ?1 n ?1 n 2 2 4 2 2 4 2n a 1 3 1 3 3n ? 1 则 cn ?1 ? cn ? , c1 ? 1 ? , 于 是 知 cn ? ? ( n ? 1) ? . 所 以 4 2 2 2 4 4 3n ? 1 n an ? , 2 ? (3n ? 1) ? 2n ? 2 .于是知: a2013 ? (3? 2013 ?1) ? 22011 ? 3019 ? 22012 . 4
对 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,两边同除以 2
n?1

,有

6.模长为 1 的复数 A、B、C ,满足 A ? B ? C ? 0 ,求 解析:根据公式 z ?

AB ? BC ? CA 的模长. A? B ?C

z ? z 知, A ? A ? 1, B ? B ? 1, C ? C ? 1 .于是知:

AB ? BC ? CA ? A? B ?C
?

AB ? BC ? CA AB ? BC ? CA ? A? B ?C A? B ?C

( ABCC ? ABCC ? BCAA ? BCAA ? C ABB ? CABB ) ? ( AABB ? BBCC ? CCAA) ( AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? CA) ? ( AA ? BB ? CC )

?
所以

AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? CA ? 3 ? 1. AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? CA ? 3
AB ? BC ? CA 的模长为 1. A? B ?C

7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数. 解析:所有正整数按取模 3 可分为三类: 3k 型、 3k ? 1 型、 3k ? 2 型. 首先,我们可以证明,所取的数最多只能取到两类.否则,若三类数都有取到,设所取 3k 型 数为 3a , 3k ? 1 型数为 3b ? 1 , 3k ? 2 型数为 3c ? 2 , 则 3a ? (3b ? 1) ? (3c ? 2) ? 3(a ? b ? c ? 1) , 不可能为素数.所以三类数中, 最多能取到两类.

1、 其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类 3k ? r (r ? 0、2) 型的数至少
3b 3 取到三个,设其中三个分别为 3a ? r、 ? r、c ? r ,
则 (3a ? r ) ? (3b ? r ) ? (3c ? r ) ? 3(a ? b ? c ? r ) ,不可能为素数.所以每类数最多只能取两 个. 结合上述两条,我们知道最多只能取 2 ? 2 ? 4 个数,才有可能满足题设条件. 另一方面,设所取的四个数为 1、7、5、11,即满足题设条件. 综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.
7

8 . 已 知 a1、a2、a3、 、a2013 ? R , 满 足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 , 且 ?

a1 ? 2 a2 ? a2 ? 2

a3 ? a2?? a4 ? 3

? a22 0 1? 2 a

2

?0a, 3 求 a 2证 21 ? 0

1

: 3

1

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 .
解析:根据条件知:

(a1 ? 2a2 ) ? (a2 ? 2a3 ) ? (a3 ? 2a4 ) ? ?? (a2013 ? 2a1 ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2013 ) ? 0
(1) 另 一 方 面 , 令



a1 ? 2 a2 ?
?、 、 a4 a? 2 3

a2 2 ?

a3 ?

a3 ? a4 ? 2 ?

? a2 2

0

, 3则 ? a 1

?1 m

a1 ? 2 、 a2

a2 2、 a3 ?

中每个数或为 m ,1 或为 ?m .设其中有 k 个 m , ? 2 0 1 3a a2

(2013 ? k ) 个 ?m ,则:

(a1 ? 2a2 ) ? (a2 ? 2a3 ) ? (a3 ? 2a4 ) ? ?? (a2013 ? 2a1 ) ? k ? m ? (2013 ? k ) ? (?m) ? (2k ? 2013)m
(2) 由(1)(2)知: 、

(2k ? 2013)m ? 0
而 2k ? 2013 为奇数,不可能为 0,所以 m ? 0 .于是知:

(3)

a1 ? 2a2 , a2 ? 2a3 , a3 ? 2a4 ,?, a2012 ? 2a2013 , a2013 ? 2a1 .
从而知: a1 ? 22013 ? a1 ,即得 a1 ? 0 .同理可知: a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 .命题得证.

9.对任意的 ? ,求 32cos ? ? cos 6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值.
6

解析:根据二倍角和三倍角公式知:

32cos6 ? ? cos 6? ? 6cos 4? ?15cos 2?

? 32cos6 ? ? (2cos2 3? ?1) ? 6(2cos2 2? ?1) ?15(2cos2 ? ?1)
? 32 cos 6 ? ? ? 2(4 cos3 ? ? 3cos ? ) 2 ? 1? ? 6 ? 2(2 cos 2 ? ? 1) 2 ? 1? ? 15(2 cos 2 ? ? 1) ? ? ? ?

? 32cos6 ? ? (32cos6 ? ? 48cos4 ? ? 18cos2 ? ?1) ? (48cos4 ? ? 48cos2 ? ? 6) ? (30cos2 ? ?15)
? 10 .
10.已知有 mn 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 aij

? ?

mxn

,使得数阵中的每一行从左到
8

2 3、 右都是递增的,即对任意的 i ? 1、、 ?、m ,当 j1 ? j2 时,都有 aij1 ? aij2 .现将 aij

? ?
mxn

mxn



每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的 m ? n 阶数阵,记作

?a? ?

ij mxn

? ,即对任意的 j ? 1、 3、 、n ,当 i1 ? i2 时,都有 ai? j ? ai?2 j .试判断 aij 2、 ? 1

? ?

中每一

行的 n 个数的大小关系,并说明理由.

? 解析:数阵 aij

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,理由如下:

? 显然,我们要证数阵 aij

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于

? 2 3、 任意 i ? 1、、 ?、m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,其中 j ? 1 2、 ?、n ? 1 . 、 3、

? 2 3、 若 存 在 一 组 a? ? a? ( q?1) . 令 ak ( q ?1) ? aik ( q ?1) , 其 中 k ? 1、、 ?、m , pq p

?i1, i2 , i3 ,?, im? ? ?1, 2,3,?, m? .则当 t ? p 时,都有 ai q ? ai (q?1) ? at?(q?1) ? a?p(q?1) ? a?pq .也
t t

? 即在 aiq (i ? 1 2、 ?、m)中,至少有 p 个数小于 a? ,也即 a? 在数阵 aij 、 3、 pq pq
至少排在第 p ? 1 行,与 a? 排在第 p 行矛盾. pq

? ?

mxn

的第 q 列中,

? ? 2 3、 所以对于任意 i ? 1、、 ?、m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,即数阵 aij
右都是递增的.

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到

2011 年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约) 数学
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1 5 1.设复数 z 满足 | z |?1 且 | z ? |? ,则 | z |? z 2 4 3 2 1 (A) (B) (C) (D) 5 4 3 2 【答案】D 2.在正四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为 PA,PB 的中点,且侧面与地面所成二面 角的正切值为 2 。则一面直线 DM 与 AN 所成交角的余弦值为

9

1 3 【答案】B

(A)

(B)

1 6

(C)

1 8

(D)

1 12

3.过点 (?1,1) 的直线 l 与曲线 y ? x3 ? x2 ? 2x ? 1 相切,且 (?1,1) 不是切点,则直线 l 的斜率是 (A)2 【答案】C 4.若 A ? B ? (A)1 ? 【答案】B 5.如图,⊙O1 和⊙O2 外切于点 C,⊙O1,⊙O2 又都和⊙O 内切,切点分别为 A,B。
?AOB ? ? , ?ACB ? ? ,则
A C B O2

(B)1

(C) ?1

(D) ?2

2? ,则 cos2 A ? cos2 B 的最小值和最大值分别为 3
1 3 3 3 , (B) , 2 2 2 2

(C)1 ?

3 3 1 2 (D) ,1 ? ,1 ? 2 2 2 2

(A) cos ? ? sin (B) sin ? ? cos

? ?
2

?0
O1

2

?0
O

(C) sin 2? ? sin ? ? 0 (D) sin 2? ? sin ? ? 0 【答案】B 或 C? 6.已知异面直线 a , b 所成 60°角,A 为空间中一点,则过 A 与 a , b 都成 45°角的平 面 (A)有且只有一个 (B)有且只有两个 (C)有且只有三个 (D)有且只有四个 【答案】B
? ? 3 1? 3 1? , ? ? ,c ? ? 7.已知向量 a ? (0,1) , b ? ? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ? , xa ? yb ? zc ? (1,1) 。则 ? 2? ? ? ? ?

x2 ? y 2 ? z 2 的最小值为
(A)1 (B)
4 3

(C)

3 2

(D)2

【答案】B

10

8.AB 过抛物线 y 2 ? 4x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ?OFA ? 135? ,C 为抛物线 准线与 x 轴的交点,则 ?ACB 的正切值为 (A) 2 2 【答案】A 9.如图,已知△ABC 的面积为 2,D,E 分别为边 AB,边 AC 上的点,F 为线段 DE 上一点,设
AD AE DF ? x, ? y, ? z ,且 y ? z ? x ? 1 ,则△BDF 面积的最大值为 AB AC DE A 8 10 (A) (B) 27 27 D F 14 16 E (C) (D) 27 27

(B)

4 2 5

(C)

4 2 3

(D)

2 2 3

【答案】D 10.将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两 不相交,则 (A)存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 (B)存在某种分法,所分出的三角形恰有 2 个是锐角三角形 (C)存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 (D)任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 【答案】 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 11.(本小题满分 14 分) 已知△ABC 不是直角三角形。 tan tan (I)证明: tan A ? tan B ?tan C ?tan A B C ; (II)若 3tan C ?1 ? 求 cos
A?C 的值。 2 tan B ?tan C ,sin2 B ,sin2 C 的倒数成等差数列, ,且 sin2 A tan A
B C

12.(本小题满分 14 分) 已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计, 且水杯直立放置)。质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆 柱轴的中点处。 (Ⅰ )若 b ? 2a ,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (Ⅱ )水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?

11

13.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
1 2x ?1? 2 , f (1) ? 1 , f ? ? ? ,令 x1 ? , xn?1 ? f ( xn ) 。 2 ax ? b ?2? 3

(Ⅰ )求数列{xn } 的通项公式; (Ⅱ )证明: x1 x2 ??? xn ?
1 。 2e

14.(本小题满分 14 分) 已知双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ), F1 , F2 分别为 C 的左、右焦点,P 为 C 右 a2 b2

支上一点,且使 ?F1PF2 ? (Ⅰ )求 C 的离心率 e;

?
3

,又△F1PF2 的面积为 3 3a2 。

(Ⅱ 设 A 为 C 的左顶点, 为第一象限内 C 上的任意一点, ) Q 问是否存在常数 ? (? ? 0) , 使得 ?QF2 A ? ??QAF2 恒成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。 15.(本小题满分 14 分) 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率。 (Ⅰ )求 p1 , p2 , p3 和 p4 ; (Ⅱ )探究数列{ pn } 的递推公式,并给出证明; (Ⅲ )讨论数列{ pn } 的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。 解答: (1) p1 ? 1 , p2 ? 1, p3 ? , p4 ?
7 8 13 3 11 81 , p5 ? , p6 ? , p7 ? ,。。。 16 4 16 128

(Ⅱ ) ①如果第 n 次出现反面,那么前 n 次不出现连续 3 次正面和前 n ? 1 次不出现连续 3 次正面是等价的,所以这个时候不出现连续 3 次正面的概率是 pn ?1 ; ②如果第 n 次出现正面,第 n ? 1 次出现反面,那么前 n 次不出现连续 3 次正面和前 n ? 2 次不出现连续 3 次正面是等价的,所以这个时候不出现连续 3 次正面的概率是
1 pn?2 ; 4 1 2

12

③如果第 n 次出现正面,第 n ? 1 次出现正面,第 n ? 2 次出现反面,那么前 n 次不出 现连续 3 次正面和前 n ? 2 次不出现连续 3 次正面是等价的,所以这个时候不出现连 续 3 次正面的概率是 pn ?3 。 ④如果第 n 次出现正面,第 n ? 1 次出现正面,第 n ? 2 次出现正面,那么已经出现连 续 3 次正面,所以不需要考虑。 综上,有 pn ? pn ?1 ? pn ?2 ? pn ?3 ( n ? 3 )。其中 p0 ? 1 , p1 ? 1 , p2 ? 1。 我们先定义几个函数: f(n):将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,至少有连续 3 次相同,总共有 f(n)种情况。 g(n):将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,至多连续 2 次相同(可以有不同的连续 2 次 相同),且最后 2 次连续相同,总共有 g(n)种情况。 h(n):将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,至多连续 2 次相同(可以有不同的连续 2 次 相同),且最后 2 次不相同,总共有 h(n)种情况。 显然,下面的等式成立: f(n)+g(n)+h(n)=2^n f(n)=2f(n-1)+g(n-1) g(n)=h(n-1) 化简得: g(n+1)=g(n)+g(n-1) 这个著名数列就不再啰嗦了 最后由 g(n)求得 f(n) 当然,最后的结果是 f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的
1 2 1 4 1 8 1 8

2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)
数学部分
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)在锐角 ?ABC 中,已知 A>B>C ,则 cos B 的取值范围为( ) (A) ? 0, ?

? ?

2? ? 2 ? ?

(B) ? ,

?1

?2

2? ? 2 ? ?

(C)

? 0,1?

(D) ? ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

(2)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这 6 枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中, 均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同的排列方式共有( ) (A) 36 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)120 种 (3)正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成角为 ? ,侧面与底面所成二面角为 ? ,侧棱
13

SB 与底面正方形 ABCD 的对角线 AC 所成角为 ? , 相邻两侧面所成二面角为 ? , 则

? , ? , ? ,? 之间的大小关系是( )
(A)

?<?<?<? (B) ?<?<? <?

(C)

?<? <?<?

(D)

?<?<? <?

(4)向量 a ? e , e ? 1 。若 ?t ? R , a ? te ? a ? e 则( ) (A) a ? e (5)若复数 (B) a ? (a ? e) (C) e ? (a ? e) (D) (a ? e) ? (a ? e)

w ?1 1 的实部为 0, Z 是复平面上对应 的点,则点 Z ? x, y ? 的轨迹是( ) w ?1 1? w
(B) 一条线段 (C) 一个圆
2

(A) 一条直线

(D)一段圆弧

2 (6)椭圆长轴长为 4,左顶点在圆 ( x ? 4) ? ? y ? 1? ? 4 上,左准线为 y 轴,则此椭圆离

心率的取值范围是( ) (A) ? , ? ?8 4 ?

?1 1 ?

(B) ? , ? ?4 2?

?1 1?

(C) ? , ? ?8 2 ?

?1 1 ?

(D) ? , ? ?2 4?

?1 3?

(7)已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 为正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 ?SBC 的垂心, 二面角 H ? AB ? C 为 30°, SA ? 2 , 且 则此三棱锥的体积为 ) ( (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

3 4

(D)

3 4

(8)如图,在锐角 ?ABC 中, AB 边上的高 CE 与 AC 边上的高 BD 交于点 H 。以 DE 为 直径作圆与 AC 的另一个交点为 G 。已知 BC ? 25 , BD ? 20 , BE ? 7 ,则 AG 的长为 ( )

8
(A)

(B)

42 5

(C)10

(D)

54 5

(9) 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? lg(1 ? 则 lim S n ? ( )
n ??

2 ) ,n ? 1, 2, ??? 。Sn 是数列的前 n 项和。 n ? 3n
2

(A) 0

(B)

lg

3 2

(C) lg 2

(D) lg 3
10

(10) 已知 ?6 ? xi ? 10 (i ? 1, 2, ???10),

?x
i ?1

10

i

当 在 ? 50 , ? xi 2 取得最大值时, x1 , x2 , ???x10
i ?1

这十个数中等于 ?6 的数共有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D) 4 个 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11)(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。已知 2sin
2

A? B ? 1 ? cos 2C 2
14

① 求 C 的大小 ② 若 c ? 2b ? 2a ,求 cos 2 A ? cos 2 B 的值
2 2 2

(12)(本小题满分 14 分) 已知两点 A ? ?2,0? , B ? 2,0? ,动点 P 在 y 轴上的射影是 H ,且 PA ? PB ? 2 PH ① 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ② 已知过点 B 的直线交曲线 C 于 x 轴下方不同的两点 M , N ,设 MN 的中点为 R , 过 R 于点 Q ? 0, ?2 ? 作直线 RQ ,求直线 RQ 斜率的取值范围。 (13)(本小题满分 14 分)

??? ??? ? ?

???? 2

1) 系统中每个元件正常工作的概率都是 p(0<p< ,各个元件正常工作的事件相互独
立,如果系统中有多于一半的元件正常工作,系统就能正常工作。系统正常工作的概 率称为系统的可靠性。 (1) 某系统配置有 2k ? 1 个元件, k 为正整数,求该系统正常工作概率的表达式 (2) 现为改善(1)中系统的性能,拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后,能 否提高系统的可靠性。 (14) (本小题满分 14 分) 记函数 f n ( x) ? 1 ? x ?

x2 xn ? ??? ? , n ? 1, 2 ??? 证明: n 是偶数时, 当 方程 f n ( x) ? 0 没 2! n!
, 且 ?n>?n? 2 。

有实根;当 n 是奇数时,方程 f n ( x) ? 0 有唯一的实根 ?n

(15) (本小题满分 14 分) 某乒乓球培训班共有 n 位学员,在班内双打训练赛期间,每两名学员都作为搭档恰好 参加过一场双打比赛。 试确定 n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

15

2012 年华约数学参考答案
一、选择题 ACBCA B 略 DDC 二、解答题 11 解: (1)C=2/3∏; (2) cos 2 A ? cos 2 B =3/4 12 解:

AP ? BP ? 2 PH 2
(1)设 P(x,y),则 H(0,y),由 得(x ? 2, y) (x - 2, y) ? 2x2 , 即y 2 - x 2 ? 4 ?

(2)令 CD: x ? m y ? 2(m ? 0) 代入 y ? x ? 4 ,整理得
2 2

(1 ? m2 ) y 2 ? 4my ? 8 ? 0
因为直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C( x1 , y1 ),D( x2 , y2 )两点所以上式有两个负根,由

?1 ? m 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? 16m ? 32(1 ? m )? 0 ? ? y1 ? y2 ? 4m 2 0 ? 1? m? 2 1? m ? ? ?8 ?0 ? y1 y2 ? 1 ? m2 ?
根据韦达定理,得 CD 中点 M 的坐标为

M(

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2m , )?( , ) 2 2 2 1 ? m 1 ? m2

代入直线 MQ 的方程 y+2=kx,(k 为其斜率)得

2m 2k ?2? 2 1? m 1 ? m2
所以,k= ? m ? m ? 1 ? ?(m ? ) ?
2 2

1 2

5 ? ( 2 ? 1,1) ,(1 ?m? 2 ) . 4

13 解答:显然 PK ?
n n

?C
n ?0

K ?1

n 2 k ?1

(1 ? p) n p 2 k ?1?n ,
n?2

注意到 C2k ?1 ? C2k ?1 ? 2C2k ?1 ? C2k ?1 , 所以 PK ?1 =
k

n?1

?C
n ?0

k

n

n 2 k ?1

(1 ? p) p 2k ?1?n

=

? (C
n ?0

n 2 k ?1

n 1 n 2 ? 2C2 k??1 ? C2 k??1 )(1 ? p) n p 2 k ?1?n

16

= n ?0
k

?C

k

n 2 k ?1

n 1 n 2 (1 ? p) n p 2 k ?1?n ? 2? C2 k??1 (1 ? p) n p 2 k ?1?n ? ? C2 k??1 (1 ? p) n p 2 k ?1?n n ?1
k

k

k

n?2
k

= n ?0

? C2nk ?1 (1 ? p)n p 2k ?1?n ? 2? C2nk??11 (1 ? p)n?1 p 2k ?n ? ? C2nk??21 (1 ? p)n?2 p 2k ?1?n
n ?0 n ?0

= n ?0

?C

k ?1

n 2 k ?1

(1 ? p) n p 2k ?1?n ( p 2 ?2(1 ? p) p ? (1 ? p 2 ) )

k k 1 ? C2k ?1 (1? p)k pk ?1 ? C2k??1 (1? p)k ?1 pk

= n ?0

?C

k ?1

n 2 k ?1

k (1 ? p) n p 2 k ?1?n ?C2 k ?1 (1 ? p) k p k ( p ? (1 ? p))

=

k PK ? C2k ?1 (1? p)K pk (2 p ?1)

因此,当 p≥ 14 证明:

1 2

时,{ pk }递增,当 P≥

1 时,{ pk }递减。 2

用数学归纳法证明 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一解 x2 n?1 且严格单调递增, f 2n ( x) ? 0 无实数解,显然 n=1 时,此时 f1 ( x) ?1 ? x 有唯一解 x1 ? ?1 ,且严格单调递增,而 f 2 ( x) ? 1 ? x ?

x2 无实 2

数解,现在假设 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一解 x2 n?1 且严格单调递增, f 2n ( x) ? 0 无实数解,于是注 意到 f 2?n?1 ( x) ? f 2n ( x), f 2n ? 1 时,对任意的 0≤k≤n 有 x+2k+1≤0,于是

f 2n?1 ( x) ? ? (
k ?0

n

x 2k x 2k ? ( x ? 2k ? 1) ,所以 f 2n?1 (?2n ?1)?0, (2k )! (2k ? 1)!

又因为 f 2n?1 (0) ? 1? 0, 所以由 f 2n?1 ( x) 严格递增知 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一根 0 ? x2 n?1 ? ? 2n ? 1, 对于 f 2n? 2 ( x) 有 f 2n?2 ? f 2?n?2 ( x) ? f 2n?1 ( x) , 所以 (—∞,x2 n?1 ) 上, 递减, ( x2 n?1 , 在 +∞) 上,递增,所以
2n? 2n? x2 n?12 x2 n?12 min f 2 n? 2 ( x) ? f 2 n? 2 ( x2 n?1 ) ? ? ? 0, x?R (2n ? 2)! (2n ? 2)!

因此, f 2n?2 ( x) ? 0 无实数解 综上所述,对任意正整数 n,当n为偶数时 f n ( x) ? 0 无解,当n为奇数 f n ( x) ? 0 有唯一解
17

xn 。
再证 x2n?1 ? x 2n?1 ,事实上,由

f 2n?1 ( x) 的严格单调性,只需验证 f ( x )?0 ,注意到 2 n?1 2 n?1

2n x 2 n ?1 f 2n?1 ( x) - f 2n?1 ( x) = x ,由上述归纳法证明过程中, x2n?1 ? ? 2n ?1 ,所以 ? (2n)! (2n ? 1)! 2n 2 n ?1 2n x2 n?1 x2 n?1 x2 n?1 ? ?? ( x2 n?1 ? 2n ? 1)?0 , (2n)! (2n ? 1)! (2n ? 1)!

f f 2 n?1 ( x2 n?1 ) ? ?

因此 x2n?1 ? x2n?1 ,综上所述,原命题得证。
2 15 假设比赛了 K 场,那么由题目假设,一场比赛出现了 2 对队友,所以 Cn =2k,也就是说

4k=n(n-1),那么得到 n=4l 或者 4l+1,期中 l ? N,下边证明,对于任意的 n=4l,或者 4l+1,其中 l ? N,都可以构造出满足要求的比赛:n=4l+1,的时候,对于 L 使用数学归纳法: (1)当 L=1 的时候,N=5,此时假设这 5 名选手为 A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可, AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE. (2)设 当 L=M 时 结 论 成 立 , 则 L=M+1 时 , 设 4M+5 选 手 为

A,B,C,D,E F 1 , F 2 , F21 , F22 ?, F21m , F22 , 可以安排 E, 1 1 m 由归纳假设,

F11, F12 , F21, F22 ,?, F21m , F22m

之间的比赛,使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛,还剩下 A,B,C,D, E,相互的比赛和 A,B,C,D 与 之间的比赛安排如下: A FL 与 B FL ,A FL 与 B FL ,C FL 与 D FL ,C FL 与 D FL ,满足要求。 最后将这些比赛总计起来,就是满足要求的 4M+5 位选手之间的的比赛了。 由数学归纳法得证,N=4L 时,对 L 使用数学归纳法,可以类似方法证明(略) 。 综上所述,N 的所有可能取值是 N=4L 或 4L+1,其中 L ? N. 2013 年华约自主招生数学试题解析 1.设 A ? ?x | x ? 10, x ? N? , B ? A ,且 B 中元素满足:①任意一个元素的各数位的数字互 不相同;②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9; (1)求 B 中的两位数和三位数的个数; (2)是否存在五位数,六位数?
18
1 2 2 1 1 2 2 1

F11, F12 ,?, F21m , F22m 之间的比赛,A,B,C,D 与 F11, F12 ,?, F21m , F22m

(3)若从小到大排列 B 中元素,求第 1081 个元素. 解析:将 0,1,?,9 这 10 个数字按照和为 9 进行配对,考虑(0,9)(1,8)(2,7) , , , (3,6)(4,5) B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成. , ,
2 2 1 (1)两位数有 C5 ? 22 ? A2 ? C4 ? 2 ? 72 个; 3 3 2 2 三位数有 C5 ? 23 ? A3 ? C4 ? 22 ? A2 ? 432 个;

(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存 在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之 和为 9, B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9 矛盾, 与 因此不存在六位数.
4 4 3 3 (3)四位数共有 C5 ? 24 ? A4 ? C4 ? 23 ? A3 ? 1728 个,因此第 1081 个元素是四位数,且 3 3 是第 577 个四位数,我们考虑千位,千位 1,2,3 的四位数有 3? C4 ? 23 ? A3 ? 576 个,因

此第 1081 个元素是 4012.

1 ? ?sin x ? sin y ? 3 ? 2.已知 ? ,求 cos( x ? y),sin( x ? y) . 1 ?cos x ? cos y ? ? 5 ?
解析:由 sin x ? sin y ?

1 1 208 ①, cos x ? cos y ? ②,平方相加得 cos( x ? y ) ? ,另一 3 5 225

方面由①得 2sin ?

1 ? x ? y ? ? x? y? ? x? y? ? x? y? 1 ? cos ? ? ? ③,由②得 2sin ? ? sin? ? ? ? ④, 5 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 3

x? y x? y 3 15 2 ? ? ,因此 sin( x ? y) ? ④除以③得 tan ?? . x? y 2 5 17 1 ? tan 2 2 2 tan
3.点 A 在 y ? kx 上,点 B 在 y ? ?kx 上,其中 k ? 0, OA ? OB ? k ?1 ,且 A, B 在 y 轴同
2

侧. (1)求 AB 中点 M 的轨迹 C ; (2)曲线 C 与抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线
2

方程. 解析: (1) A(x 1,y 1) B x ,2y ) M x y 设 , ( , (, ) 2 即 x1 x2 ? 1 , , y1 ?k 1 y 2 ??x 则 x , k
2

, O ?O ? 由 A B k

2

? 1得

x ?x y ? y x x ? ( x1 ? x2 ) 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ? 1, x ? 1 2 ,y ? 1 2 ? k 1 2 又 2 2 2 4 4

, 于是 M 的

19

轨迹方程为 x ?
2

y2 ? 1,于是 AB 中点 M 的轨迹 C 的焦点为 ? k 2 ? 1,0 ,实轴长为 2 2 k

?

?

的双曲线. (2) x2 ? 2y p 将 p (

? 0 )

与x ?
2

y2 ? 1联立得 y 2 ? 2 pk 2 y ? k 2 ? 0 , C 与抛物线相切, 曲线 k2
又 因 为



? ? 4 p2k 4 ? 4k 2 ? 0
2 p k, ?



p, k ? 0







pk ? 1





y?

k ? 2? x

,因此两切点分别在定直线 x ? 2, x ? ? 2 上,两切点 p? k ? 2

为 D( 2, k ), E (? 2, k ),? y? ?

x , 于 是 在 D( 2, k ) 处 的 切 线 方 程 分 别 为 p

y?

2 2 1 ( x ? 2) ? k ,即 y ? x? , p p p 2 2 1 ( x ? 2) ? k ,即 y ? ? x? . p p p

在 E(? 2, k ) D( 2, k ) 处的切线方程分别为 y ? ?

4.7 个红球,8 个黑球,一次取出 4 个. (1)求恰有一个红球的概率; (2)取出黑球的个数为 X ,求 X 的分布列和期望( EX ) ; (3)取出 4 个球同色,求全为黑色的概率.
1 3 C7C8 56 解析: (1)恰有一个红球的概率为 ; ? 4 C15 195 4 C7 C 3C1 40 5 , ? , P( X ? 1) ? 7 4 8 ? 4 C15 195 C15 195

(2)X 的所有可能取值为 0, 2, 4,P( X ? 0) ? 1, 3,

P( X ? 2) ?

2 C7 C82 84 C1C 3 56 C 4 10 , ? , P( X ? 3) ? 7 4 8 ? , P( X ? 4) ? 8 ? 4 4 C15 195 C15 195 C15 195

即 X 的分别列为

X
P

0

1

2

3

4

40 84 195 195 5 40 84 56 10 32 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 所以 EX ? 0 ? . 195 195 195 195 195 15
(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为 EX ? 4 ?

5 195

56 195

10 195

8 32 ? ,无需繁杂计算) 15 15

(3)取出 4 个球色,全为黑色的概率为

C84 2 ? . 4 4 C7 C8 3
20

2 5.数列 ?an ? 各项均为正数,且对任意 n ? N 满足 an?1 ? an ? can (c ? 0为常数) .
*

* (1)求证:对任意正数 M ,存在 N ? N ,当 n ? N 时有 an ? M ;

(2)设 bn ?

1 , Sn 是 ?bn ? 前 n 项和,求证:对任意 d ? 0 ,存在 N ? N * ,当 n ? N 时 1 ? can

有 0 ? Sn ?

1 ?d . ca1
*

2 (1)证明:因为对任意 n ? N 满足 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? can ? an ,又因为 c ? 0 , 2 2 所以 an?1 ? an ? can ? can?1 ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1 , 2 所以 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) ? (n ?1)a1 ,

故对任意正数 M ,存在 N ? max ?1, ?

? ?M ? ? ? ? ? 2 ? ? N * ,当时有 an ? M . 2 ? ? ? a1 ? ? ? ?

(注: ?

?M ? M 表示不超过 2 的最大整数) 2 ? a1 ? a1 ?

2 2 (2)由 an?1 ? an ? can 得 an?1 ? an ? can ? an (can ? 1)
2 n an can a ?a 1 1 1 1 1 所以 ,所以 Sn ? ? bi ? , ? ? ? ? n?1 n ? ? ca1 can?1 can ? 1 an?1 can an?1 can an?1 can can?1 i ?1

Sn ?

1 1 1 1 ,对任意 d ? 0 ,存在 ? ? ? 0 ,且由(1)有 an?1 ? na12 ,所以 can?1 nca12 ca1 can ?1

? ? 1 ?? ? 1 ? N ? max ?1, ? ,当 n ? N 时有 0 ? Sn ? ?d . 2 ?? ca1 ? ? dca1 ? ? ? ?
6.已知 x, y, z 是互不相等的正整数, xyz | ( xy ? 1)( yz ? 1)( zx ? 1) ,求 x, y, z .

解析:本题等价于求使

( xy ? 1)( yz ? 1)( zx ? 1) xy ? yz ? zx ? 1 ? xyz ? ( x ? y ? z ) ? 为整数 xyz xyz

的正整数 x, y, z ,由于 x, y, z 是互不相等的正整数,因此 xyz | xy ? yz ? zx ? 1,不失一般性 不妨设 x ? y ? z , xyz ? xy ? yz ? zx ? 1 ? 3xy 于是 z ? 3 , 则 结合 z 为正整数, 从而 z ? 1, 2 .
21

当 z ? 1 时, xy | xy ? y ? x ? 1 即 xy | y ? x ? 1 于是 xy ? y ? x ? 1 ? 2 x ,所以 y ? 2 ,但另一 方面 y ? z ,且 y 是正整数,所以 y ? 2 矛盾,不合题意. 当 z ? 2 ,此时 2 xy | xy ? 2 y ? 2 x ? 1 ,所以 2 xy ? 2 y ? xy ? 2 x ? 1 ,即 xy ? 2 y ? 2 x ? 1 , 所以 xy ? 2 x ? 2 x ? 4 x ,即 x ? 5 ,结合 x ? y ? 3 知 x ? 4,5 ,经检验仅有 x ? 5 符合题意. 因 此 符 合 题 意 的 正 整 数

x, y , z



( x, y, z) ? (2,3,5),(2,5,3),(3, 2,5),(3,5, 2),(5, 2,3),(5,3, 2)

7.已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ?1 ; (1)求证:当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ; (2)数列 ?xn ? 满足 xne
xn?1

? exn ?1, x1 ? 1 ,求证:数列 ?xn ? 递减且 xn ?

1 . 2n

证明: (1)当 x ? 0 时 f ?( x) ? ? xe x ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 . (2)由 xne
xn?1

? exn ?1 ,因为 xn ? 0 ,所以 e xn?1 ? e xn 即 xn ? xn?1 ,所以数列 ?xn ? 递减,
1 ex ?1 xe x ? e x ? 1 f ( x) ?? 2 , , 用数学归纳法证明, g ( x) ? 设 , g ?( x) ? 则 n 2 2 x x x

下列证明 xn ?

由(1)知当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 递增,由归纳假设

1 1 1 n?1 n?1 xn ? n 得 g ( xn ) ? g ( n ) ,要证明 xn ?1 ? n ?1 只需证明 e xn?1 ? e 2 ,即 g ( xn ) ? e 2 ,故 2 2 2
x x x 1 2 2n?1 2 只需证明 g ( n ) ? e ,考虑函数 h( x) ? xg ( x) ? xe ,因为当 x ? 0 时 e ? (1 ? ) ,所以 2 2 x x 1 x x x h?( x) ? e x ? (1 ? )e 2 ? e 2 (e 2 ? (1 ? )) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 递增,因为 n ? 0 ,所 2 2 2

1

1

1

1 1 1 n?1 以 h( n ) ? 0 ,即 g ( n ) ? e 2 ,由归纳法知, xn ? n 对任意正整数 n 成立. 2 2 2

1

22


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