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2016届二轮 圆锥曲线的概念与性质 专题限时训练 全国通用


专题限时训练(十六)

圆锥曲线的概念与性质

(时间:45 分钟 分数:80 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015· 陕西卷)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1), 则该抛物线焦点坐标为( A.(-1,0) C.(0,-1) 答案:B p 解析:抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=-2且过点(-1,1),故 p -2=-1,解得 p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0). x2 y2 2.设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( 3 A. 6 1 C.2 答案:D 解析:因为 PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° , 2 3 4 3 所以|PF2|=2ctan 30° = 3 c,|PF1|= 3 c. 6 3 c 1 3 又|PF1|+|PF2|= 3 c=2a,则 e=a= = 3 . 3 x2 y2 3.从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左 焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交 1 B.3 3 D. 3 ) ) B.(1,0) D.(0,1)

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点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( 2 A. 4 2 C. 2 答案:C 1 B.2 3 D. 2

)

2 解析:根据题意可知点 P(-c,y0),代入椭圆的方程可得 y0 =b2

b2c2 PF1 BO y0 b bc - a2 ,根据 AB∥OP,可知F O=OA,即 c =a,解得 y0= a ,即 b2 1 b2c2 b2c2 c 2 - a2 = a2 ,解得 e=a= 2 .故选 C. x2 y2 4.(2015· 浙江模拟)椭圆 M:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 → · → 为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且PF 1 PF2 的最大值的取值范围是 [c2,3c2],其中 c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是(
?1 1? A.?4,2? ? ? ?1 2? B.? , ? 2? ?2 ?1 ? D.?2,1? ? ?

)

C.?

? 2 ? ? , 1 ?2 ?

答案:B 解析:设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), → =(-c-x,-y),PF → =(c-x,-y), 则PF 1 2
2 2 2 → · → PF 1 PF2=x +y -c .

又 x2+y2 可看作 P(x,y)到原点的距离的平方,
2 → · → 所以(x2+y2)max=a2,所以(PF 1 PF2)max=b ,

1 1 所以 c2≤b2=a2-c2≤3c2,即4≤e2≤2,

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1 2 所以2≤e≤ 2 .故选 B. 5.(2015· 四川卷)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点, 与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点. 若这 样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( A.(1,3) C.(2,3) 答案:D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
2 则 y2 1=4x1,y2=4x2,两式相减得

)

B.(1,4) D.(2,4)

y1-y2 2 (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),即 = . x1-x2 y0 2 当直线 l 的斜率存在时,可得斜率 k=y ,
0

y0 设圆心为点 C,则点 C 坐标为(5,0),于是 kCM= . x0-5 ∵ CM⊥l,∴ kCM· k=-1, ∴ y0 2 · =-1,解得 x0=3. x0-5 y0

故切点 M 的坐标为(3,y0). 若切点 M 不在 x 轴上,需 r>5-3=2,此时有两条切线. 当直线 l 的斜率不存在时, 切点 M 为圆与 x 轴的交点, 符合题意. ∴ 当 r>2 时,有 4 条直线符合题意.
2 ? ?y =4x, 又当抛物线与圆相切时,联立方程组? 消去 y 2 2 2 ??x-5? +y =r , ?

得 x2-6x+25-r2=0,令 Δ=0,解得 r=4,此时 x=3.故圆与抛物线 相切时,只有两条直线符合题意,故 r<4.∴ r∈(2,4).

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) x2 y2 6.(2015· 山东卷)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:a2-b2= 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p>0)交于点 O,A,B. 若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为________. 3 答案:2 b 解析:双曲线的两条渐近线方程为 y=± ax,与抛物线方程联立 p? ?2pb 2pb ? ? 2pb 2pb ? ? 得交点 A? a , a2 ?,B?- a , a2 ?,抛物线焦点为 F?0,2?,由三 ? ? ? ? ? ? 角形垂心的性质,得 BF⊥OA,即 kBF· kOA=-1, p 2pb2 2- a2 ? a b?b a b b b2 ? ? 又 kBF= 2pb =4b-a,kOA=a,所以有 4b-a a=-1,即a2= ? ? a 5 c ,故 C 1 的离心率 e= = 4 a b2 1+a2= 5 3 1+4=2.
2 2

7.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过焦点 F 倾斜角为 30° 的直 线交抛物线于 A, B 两点, 点 A, B 在抛物线准线上的射影分别是 A′, B′, 若四边形 AA′B′B 的面积为 48, 则抛物线的方程为________. 答案:y2=2 3x 解析:过 A 作 AC⊥BB′于点 C,因为直线的倾斜角为 30° ,所 1 3? p? 以 AC=2AB, 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 直线 AB 的方程为 y= 3 ?x-2?, ? ? p2 与抛物线方程联立消元得:x -7px+ 4 =0,所以 x1+x2=7p,所以
2

1 1 AB=8p, 所以 S 四边形 AA′B′B=2(AA′+BB′)· AC=2×8p×4p=48, 所 以 p= 3.所以抛物线方程为 y2=2 3x.
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8.(2015· 甘肃兰州诊断)椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, 1 若椭圆 C 的离心率等于2,且它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 3y 的焦点,则椭圆 C 的标准方程为________. x2 y2 答案:16+12=1 解析:抛物线焦点(0,2 3), c 1 即 b=2 3,e=a=2, ∴a=2c,又 a2-b2=c2,故 a=4,c=2, x2 y2 ∴椭圆方程为16+12=1. 三、解答题(9 题 12 分,10 题、11 题每题 14 分,共 40 分) x2 y2 9.设 F1,F2 分别是椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2| 成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 4 因为 2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|=3a. l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组

?y=x+c, ? x2 y2 ?a2+b2=1,
化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0.

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-2a2c a2?c2-b2? 则 x1+x2= 2 2 ,x1· x2 = 2 2 . a +b a +b 因为直线 AB 的斜率为 1, 所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2?2-4x1x2]. 4 4ab2 故3a= 2 2,得 a2=2b2, a +b a2-b2 c 2 所以 E 的离心率 e=a= a = 2 . x1+x2 -a2c 2 (2)设 AB 的中点为 N(x0,y0).由(1)知 x0= 2 = 2 2=-3c, a +b c y0=x0+c=3. 由|PA|=|PB|,得 kPN=-1, y0+1 即 x =-1, 0 得 c=3,从而 a=3 2,b=3. x2 y2 故椭圆 E 的方程为18+ 9 =1. x2 y2 10.(2015· 淄博模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的焦距为 2, 且过点?1,
? ?

2? ?,右焦点为 F2.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 2?

1 的中点 M 的横坐标为-2,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P,Q 两点. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求F F 2P· 2Q的取值范围. 解:(1)因为焦距为 2,所以 a2-b2=1. 因为椭圆 C 过点?1,
? ?

2? ?, 2?

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1 1 所以a2+2b2=1,故 a2=2,b2=1. x2 2 所以椭圆 C 的方程为 2 +y =1. 1 (2)由题意, 当直线 AB 垂直于 x 轴时, 直线 AB 的方程为 x=-2, → → 此时 P(- 2,0),Q( 2,0),得F F 2P· 2Q=-1. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0),
? 1 ? M?-2,m?(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?
2 x 1 2 ? ? 2 +y1=1, 2 ? ? 2 +y2=1,

由?

x2 2

y1-y2 得(x1+x2)+2(y1+y2)· =0, x1-x2

则-1+4mk=0,故 4mk=1. 此时,直线 PQ 的斜率为 k1=-4m, 1? ? 直线 PQ 的方程为 y-m=-4m?x+2?,
? ?

即 y=-4mx-m.

?y=-4mx-m, 联立?x2 2 ? 2 +y =1

消去 y,整理得

(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0. 设 P(x3,y3),Q(x4,y4), 2m2-2 16m2 所以 x3+x4=- ,x x = . 32m2+1 3 4 32m2+1 → → 于是F F 2P· 2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+ m)(4mx4+m) =(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1
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?4m2-1??-16m2? ?1+16m2??2m2-2? = + +1+m2 2 2 32m +1 32m +1 19m2-1 = . 32m2+1
? 1 ? 7 由于 M?-2,m?在椭圆的内部,故 0<m2<8, ? ?

19 51 → → 令 t=32m2+1,1<t<29,则F F 2P· 2Q= 32-32t. 125 → → 又 1<t<29,所以-1<F F 2P· 2Q< 232. 125? ? → → 综上,F F 2P· 2Q的取值范围为?-1,232?.
? ?

11.(2015· 湖南卷)已知抛物线 C1 :x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 y2 x2 C2:a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过 → 点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点, 与 C2 相交于 C, D 两点, 且AC → 同向. 与BD (1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 解:(1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭 圆 C2 的一个焦点,所以 a2-b2=1.① 又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x2=4y, 3? ? 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为?± 6,2?,
? ?

9 6 所以4a2+b2=1.② 联立①②,得 a2=9,b2=8.

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y2 x2 故 C2 的方程为 9 + 8 =1. (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).

→ 与BD → 同向,且|AC|=|BD|,所以AC → =BD → ,从而 x -x =x 因AC 3 1 4 -x2,即 x1-x2=x3-x4,于是 (x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.
? ?y=kx+1, 由? 2 得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2 是这个方程的两根, ?x =4y, ?

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④

?y=kx+1, 由?x2 y2 ? 8 + 9 =1 ,

得(9+8k2)x2+16kx-64=0.

而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 64 所以 x3+x4=- .⑤ 2,x3x4=- 9+8k 9+8k2 4×64 162k2 将④⑤代入③,得 16(k +1)= , 2 2+ ?9+8k ? 9+8k2
2

162×9?k2+1? 即 16(k +1)= ,所以(9+8k2)2=16×9, 2 2 ?9+8k ?
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6 6 解得 k=± 4 ,即直线 l 的斜率为± 4 .

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