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高中数学研究性学习课题选题参考


高中数学研究性学习课题选题参考
数学研究性学习课题
1、银行存款利息和利税的调查 2、气象学中的数学应用问题 3、如何开发解题智慧 4、多面体欧拉定理的发现 5、购房贷款决策问题 6、有关房子粉刷的预算 7、日常生活中的悖论问题 8、关于数学知识在物理上的应用探索 9、投资人寿保险和投资银行的分析比较 10、黄金数的广泛应用 11、编程中的优化算法问题 12、余弦定理在日常生活中的应用 13、证券投资中的数学 14、环境规划与数学 15、如何计算一份试卷的难度与区分度 16、数学的发展历史 17、以“养老金”问题谈起 18、中国体育彩票中的数学问题 19、“开放型题”及其思维对策 20、解答应用题的思维方法 21、高中数学的学习活动——解题分析 A)从尝试到严谨、B)从一个到一类 22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧 23、中国电脑福利彩票中的数学问题 24、各镇中学生生活情况 25、城镇/农村饮食构成及优化设计 26、如何安置军事侦察卫星 27、给人与人的关系(友情)评分 28、丈量成功大厦 29、寻找人的情绪变化规律 30、如何存款最合算 31、哪家超市最便宜 32、数学中的黄金分割 33、通讯网络收费调查统计 34、数学中的最优化问题 35、水库的来水量如何计算 36、计算器对运算能力影响 37、数学灵感的培养 38、如何提高数学课堂效率 39、二次函数图象特点应用 40、统计月降水量
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41、如何合理抽税 42、市区车辆构成 43、出租车车费的合理定价 44、衣服的价格、质地、品牌,左右消费者观念多少? 45、购房贷款决策问题

研究性学习的问题与课题
《 立几部分 》
问题 1 平几中证点共线、线共点往往较难,通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非 简单,主要的依据仅仅是平面的基本性质:两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维 处理。即把它转化为立几问世题加以解答。 问题 2 问题 3 面面距等。 问题 4 问题 5 问题 6 异面直线的距离是:异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积 作二面角的平面角是立几中的难点,常用方法有:定义法、三垂线法、垂面法。其实 观点来解决。即建立一个两动点的距离函数,利用求函数的最小值达到目的。 等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要,试给出一种通用方法进行确定。 质是以点定位,即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时 用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形,由于点的个数较多,以哪个点作为定位点就难以决定。 试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。 问题 7 索之。 问题 8 将三垂线定理进行推广与引伸,即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。 以开阔眼界。 等积变换在立几中大显上内身手,而非等积变换是它的一般情形,作用更大,却被人 们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探 用运变化的观点对待数学问题,将会发现问题的实质及问题之间的联系,但对于立几 作为降维处理的一个例子:可考虑异面直线距离的几种转化,如转化为线面距、点线距、 中的这方面还显得不够,可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。

《解几部分 》
问题 9 对于数学的公式,我们应当做到三会:即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式 如两点距离、点到直线距离公式,定比分点、斜率公式等,考虑其逆用,就可得到构造法证题,试研究解 几中的各种公式逆用,以充实构造法证明。 问题 10 我们对待任何问题(包括解决数学问题)往往用自己的审美意识去审视,以调节自 己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材,加以整理与综合研究。 问题 11 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材,如用点斜式而忽视斜率存在, 截距式而忽视截距为零等。 问题 12 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变,达到以点带面,触类旁通的目的。 问题 13 将与中点有关的问题及解决方法进行推广,使之适用于定比分点的相应问题与方法。 问题 14 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。 问题 15 关于斜率为 1 的特殊直线的对称问题的简捷解法中,概括出适用范围更加广阔的解题策略。
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问题 16 问题 17 法。

解决椭圆问题不如圆容易,能否使问题化归,即椭圆问题的圆化处理,进而研究圆 整理与焦半径有关的问题,并将之“纯代数化”,进而研究其“纯代数解法”,从中探索新方

锥曲线(包括其退化情形如两条相交线,平行线等)的圆化处理。

问题 18 把点差法解中点弦问题进行推广,使之能解决“定比分点弦”问题。 问题 19 求轨迹问题中,纯粹性的简捷判别。 问题 20 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”,扩大这思想在 解几中的地位或功能。 问题 21 对平移变换的解题功能进行综述。 问题 22 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题, 往往需要建立不等式进行求解, 各 种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。

《函数部分 》
问题 23 空集是一切集合的子集, 但在解决关集合问题时, 常常忽略这一事实。 试整理这方面的各类问题。 问题 24 整理求定义域的规则及类型(特别是复合函数的类型)。 问题 25 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时,往往希望将自变量在一个地方出现,所以变 量集中的原则就提供了解题的方向,试研究所有与变量集中原则有关的类型(如配方法、带余除法等)。 问题 26 总结求函数值域的有关方法,探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。 问题 27 利用条件最值的几何背景进行命题演变,与命题分类。 问题 28 回顾解指数、对数方程(不等式)的化归实质(利用外层函数的单调性去掉两边的外 层函数的符号),我们称之为“给函数更衣”,于是我们可以随心所欲地将方程(不等式)进行演变。你能利 用这一点编拟一些好题吗。 问题 29 探求“反函数是它本身”的所有函数。 从而可解决一类含抽象函数的方程, 概括所有这种方程的类型。 问题 30 在原点有定义的奇函数,其隐含条件是 f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。 问题 31 把两面镜子相对而立,若你处于其中,将看到许多肖像位置呈现出周期性,你能把这一事实数学化 吗?若把轴对称改为中心对称又怎么结论? 问题 32 对于含参数的方程(不等式),若已知解的情况确定参数的取值范围,我们通常用函数思想及数形 结合思想进行分离参数,试概括问题的类型,总结分离参数法。 问题 33 改变含参数的方程(不等式)的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。

《三角部分 》
问题 34 数形结合是数学中的重要的思想方法之一, 而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘, 试探它在 解决三角问题中的数形结合功能。 问题 35 概括 sinx+cosx=a 时相应 x 的取值范围,及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。 问题 36 整理三角代换的的类型,及其能解决的哪几类问题。 问题 37 三角最值的构造证法中,型如 ,可转化成:1)动点(ccosx.asinx)与定点(-d,-b)连线的斜率; 2)或先化为 从而转化为动点(cosx.sinx)与定点 连线斜率等,考虑各种构造法的背景的联系,能否以此 联系用于解决几何问题。 问题 38 一个三角公式不仅能正用,还需会逆用与变用,试将后者整理之。 问题 39 概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。 问题 40 三角形的形状判定中,对于含边角混合关系的条件,利用正、余弦定理总有两种转化,即转化 为角关系或边关系,探索其中一种对另一种解法的启示功能。

《不等式部分 》
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问题 41 补集法。

一个数学命题若从正面入手分类情况较多,运算量较大,甚至无法求解,此时不妨考

虑其反面进行求解得解集,然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”,试整理常见的类型的 问题 42 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ,及拆项、添项的技巧。 问题 43 观察式子的结构特征,如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。 问题 44 探求一此著名不等式(如柯西不等式、排序不等式等)和多种证法,寻找其背景以加深对不等式的 理解。 问题 45 整理常用的一此代换(三角代换、均值代换等),探索它在命题转化中的功能。 问题 46 考虑均值不等式的变用,及改变之后的不等式的背景意义。 问题 47 分母为多项式的轮换对称不等式,由于难以参于通分,证明往往较难。探求一种代换,将分母为多 项式的转化为单项式。 问题 48 探索绝对值不等式和物理模拟法 如果还有什么相关的课题,请各位同行提出。

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