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概率统计习题册(2015)


《概率论与数理统计》同步练习册

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第一章

随机事件与概率 随机事件

§1.1
1. 写出下列随机试验的样本空间:

(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分).

(2)在以原点为圆心的单位圆内任取一点,记录它的坐标.

3. 指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并说明理由. (1) A ∪ B = A B ∪ B ; (2) ( A ∪ B )C = A ∩ B ∩ C ;

2.设 A, B, C 是三个事件,用 A, B, C 的运算关系表示下列各事件: (3) ( AB)( A B ) = φ ; (1) A 发生而 B, C 都不发生. (2) A, B 都发生而 C 不发生. (3)三个事件恰有一个发生. (4)三个事件至少有一个发生. (5)三个事件至少有两个发生. (6)三个事件不多于两个发生. (7) A, B , C 都不发生. (4)若 A ? B ,则 A = AB ; (5)若 AB = φ 且 C ? A ,则 BC = φ .

1

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§1.2

随机事件的概率

1.设事件 A 与 B 互不相容, P ( A) = 0.3 , P ( B ) = 0.6 ,求 P ( A ∪ B) .

1 1 , P ( B ) = . 在下列三种情况下求 P ( B A) 的值: 3 2 1 (1) AB = φ ; (2) A ? B ; (3) P ( AB) = . 8
3. 设 P ( A) =

2. 设 A, B, C 是 三 个 随 机 事 件 , P ( AB) = P( BC ) = 0 , P ( AC ) =

1 , 8

P ( A) = P ( B) = P (C ) =

1 ,求 A, B, C 至少有一个发生的概率. 4

4. 设 A、B 为两个事件, P ( B) = 0.5 , P ( A ? B) = 0.3 ,求 P ( A ∩ B ) .

2

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§1.3
1.

古典概型与几何概型

3.

将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为 1,

一批产品共 10 件,其中一等品 3 件,二等品 5 件,三等品 2 件,现

2,3 的概率.

从中任取 3 件,求: (1)恰好有两件一等品的概率; (2)至少有 2 件产品 的等级相同的概率.

4.

在区间 (0, 1) 中随机地取两个数,求事件“两数之差的绝对值小于

1 ” 2

的概率.

2.

从 5 双不同的鞋中任取 4 只,求这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双

的概率.

3

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§1.4

条件概率

3. 假设有 3 箱同型号的零件,分别装有 25 件,20 件,15 件,而一等品分 别有 20 件,18 件,12 件. 现在等可能地任选一箱,从中先后各随机抽取 一个零件(第一次取到的放回) : (1)计算两次都取到一等品的概率; (2) 已知两次都取到了一等品,求取自第一箱的概率.

1. (1) 已知 P ( A) = 1 / 4, , P ( B | A) = 1 / 3, P ( A B ) = 1 / 2, 求 P( A ∪ B) . (2) 已知 P ( A ) = 0.3, P ( B ) = 0.4, P ( AB ) = 0.5, 求条件概率

P( B | A ∪ B ) .

4. 甲袋中有 4 个红球 2 个白球,乙袋中有 5 个红球 3 个白球,从甲袋中任 取 2 球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求: (1)乙袋中取得红球的概率. 2. 掷两枚均匀的骰子, 已知它们出现的点数各不相同, 求其中有一个点数 为 4 的概率. (2)已知从乙袋中取到红球,求从甲袋中取到一个红球一个白球的概率.

4

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§1.5

事件的独立性

3.某种电子元件寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8,求 3 个这种元件使 用 1000 小时后,最多只坏了一个的概率.

1 . P ( A) = 0.3, P (C ) = 0.6, P ( B A) = 0.4, P ( B ∪ C ) = 0.72 , B 与 C 独 立,求 P ( A ∪ B ) .

4.甲乙二人轮流投篮,甲先开始,假定他们命中的概率为 0.4 及 0.5,则 甲先投中的概率为多少?乙先投中的概率为多少? 2. 加工一个产品要经过三道工序, 第一二三道工序不出废品的概率分别 为 0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品是独立的, 求经过三道工序生产 出的是废品的概率.

5

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第一章
一、填空题. 1. 已知 P ( A) =

自测题

年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率___________. 10.甲、乙二人各投篮一次,设甲投中的概率为 0.7,乙投中的概率为 0.8, 则甲、乙二人至少有一人投中的概率为_________. 11. 某机床三分之一的时间加工零件 A,其余时间加工零件 B,加工 A 时 停机的概率为 0.3,加工 B 时停机的概率为 0.4,则机床停机的概率是 _____________. 二、选择题

4 1 , P( AB) = ,则 P( A ∪ B) = _____________. 5 5

2. 设 A, B 互不相容,且 P ( A) = p, P ( B ) = q, 则 P ( AB) = _____ ,

P( A B ) = _________ .
3. P ( A) = 0.3, P ( B ) = 0.4, P ( A B ) = 0.5 , 则 P ( B A) = ________, P ( A ∪ B) = _______ . 4. P ( B A) = P ( A B ) > 0, P ( A) =

1. 设 A,B 为两随机事件,且 B ? A ,则下列式子正确的是 ( (A) P ( A + B ) = P ( A) (C) P ( B | A) = P ( B ) (B) P ( AB) = P ( A)

)

1 , 则 P ( B) = __________ . 3 1 5. 两个相互独立的事件,A,B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的 9
概率与 B 发生 A 不发生的概率相等,则 P ( A) = ______________.

(D) P ( B ? A) = P ( B ) ? P ( A)

2. 设 A, B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A), P ( B ) < 1, P ( B | A) = P ( B | A) , 则一定有 ( ) (B) P ( A | B ) ≠ P ( A | B ) (D) P ( AB) ≠ P ( A) P ( B ) )

6. 一袋中有 2 个黑球和若干个白球,现有放回地摸球 4 次,若至少摸到一

80 个白球的概率为 ,则袋中有 81

(A) P ( A | B ) = P ( A | B ) (C) P ( AB) = P ( A) P ( B )

个白球。

7.箱中有 6 个球,其中 2 个红球,4 个白球,有放回的从中抽取 4 次,每 次抽取一球,则至少 2 次抽到红球的概率为___________. 8. 袋中有 50 个球,20 个黄色,30 个白色,两人依次从中任取一球,取后 不放回,则第二个人取到黄球的概率为___________. 9. 某动物出生后活到 20 岁的概率为 0.7,活到 25 岁的概率为 0.56,求现
6

3. 设事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 必发生,则正确的结论是 ( (A) P (C ) ≤ P ( A) + P ( B ) ? 1 (C) P (C ) = P ( AB)

(B) P (C ) ≥ P ( A) + P ( B ) ? 1 (D) P (C ) = P ( A ∪ B )

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4. 掷两颗质地均匀的骰子,出现的点数之和为 7 的概率为 ( (A)

)

1 6

(B)

1 9

(C)

1 12
)

(D)

1 18

5. 一个班级中有 8 名男生和 7 名女生,今要选出 3 名学生参加比赛,则选 出的学生中,男生数多于女生数的概率为 ( (A)

36 65

(B)

25 65

(C)

8 15

(D)

1856 3375

6. 在某一问卷调查中,有 50%的被访者会立刻答完并上交问卷表,在没有 立刻上交问卷表的被访者中,有 40%的人会在调查人员的电话提醒下 送回问卷表。如果只有 4 人参加这样的问卷调查,则至少有 3 人没有 任何回音的概率为 ( (A) 0.3 + 4 × 0.3 × 0.7
4 3

) (B) 4 × 0.3 × 0.7
3

2. 在分别写有 1,2,3,4,5 这五个数字的卡片中不放回地抽取 2 次, 每次 1 张,
3

(C) 4 × 0.3 + 0.7
3

3

(D) 0.7 + 4 × 0.7 × 0.3
4

求(1)第 1 次取到奇数卡的概率; (2)已知第 1 次取到的是偶数卡, 求第 2 次取到奇数卡的概率; (3)第 2 次才取到奇数卡的概率; (4) 第 2 次取到奇数卡的概率.

三、计算题 1. 一间宿舍中住有 6 名学生,计算下列事件的概率(假定每人生日在各个 月的可能性相同): (1)6 个人中至少 1 人生日在十月份的概率 P ( A) ; (2)6 个人中恰好有 4 个人的生日在十月份的概率 P ( B ) ; (3)6 个人中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率 P (C ) .

7

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3. 有枪 8 支,其中 5 支经过试射校正,校正过的枪,击中靶的概率为 0.8, 未经校正的枪,击中靶的概率是 0.3. 今任取一支枪射击,结果击中靶, 问此枪经过试射校正的概率是多少?

5. 设有甲、乙、丙三门炮,同时独立地向某目标射击,各炮的命中率分别 为 0.2,0.3 和 0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为 0.2,被命中两 发而被击毁的概率为 0.6,被命中三发而被击毁的概率为 0.9,求: (1) 三门炮在一次射击中击毁目标的概率; (2)在目标被击毁的条件下, 只有一门炮击中目标的概率.

4. 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为 0.96, 问需要发射多少枚导弹才 能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999. 6. 把长为 l 的棒任意折成 3 段,求此三段能构成一个三角形的概率.

8

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7. 在空战训练中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为 0.2;若乙机未 被击落,就进行还击,击落甲机的概率是 0.3;若甲机也没被击落,则 再进攻乙机,此时击落乙机的概率是 0.4,求这几个回合中: (1)甲机 被击落的概率; (2)乙机被击落的概率.

8. 设随机事件 A 与 B 相互独立,证明 A 与 B 也相互独立.

9

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第二章

随机变量的分布与数字特征 随机变量及其分布

§2.1

3.设随机变量 X ~ f ( x) = ?

?ax + b,0 < x < 2 ,且 P{1 < X < 3} = 0.25 , ?0, 其它

1.离散型随机变量 X 的概率分布为 (1) P ( X = i ) = a 2 , i = 1,
i

求(1) a, b ; (2) P{ X > 1.5} .

,100 ;


(2) P ( X = i ) = 2a , i = 1,2,
i

分别求(1)和(2)中 a 的值.

4.

0 ≤ x <1 ? x, ? 设 随 机 变 量 X ~ f ( x ) = ?2 ? x , 1 ≤ x < a , 求 a 及 ?0, 其它 ?

2.袋中有 5 个黑球,3 个白球,每次抽取 1 个不放回,直到取得黑球为止. 记 X 表示取到白球的数目,求 X 的分布.

P ( ?1 < X ≤

2 2 < X ≤ 2 ) 和 P( X > 2) . ) , P( 2 2

10

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5. 某 电 子 元 件 的 寿 命 X 是 随 机 变 量 , 其 密 度 函 数 为

?100 , x ≥ 100 ? f ( x) = ? x 2 ,三个元件串联在一个线路中,计算这三个元件 ? ?0, x < 100
使用 150 小时后仍能使线路正常工作的概率.

11

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§2.2

随机变量的数字特征

1. 某自动流水线在单位时间内生产的产品中,含有次品 X 个,已知 X 的 分布如下:

X
p

0 1/12

1 1/6

2 1/4

3 1/4

4 1/6

5 1/12 3. 设某企业生产线上的产品合格率为 0.96,不合格的产品中只有 3/4 产品 可进行加工,且再加工后的合格率为 0.8,其余均为废品。设每生产一件 合格品可获利 80 元,每生产一件废品亏损 20 元。为保证该企业每天平均 获利不低于 2 万元,问企业每天至少生产多少产品?

(1) 求该流水线在单位时间内生产的次品数的数学期望及方差. (2) 求 E ( X + 2) .
2

2. 4 人进行射击比赛, 每人发射 4 发. 在射击时,约定某人全部不中得 0 分, 只中一弹得 15 分, 中两弹得 30 分, 中三弹得 55 分, 中四弹得 100 分. 四 人射击的命中率都为 0.6. 求 4 人射击总得分的数学期望.

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?2 X

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4. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,求 E ( X + e

).

5. 设随机变量 X 的密度函数为

0 < x <1 ? x, ? f ( x ) = ?2 ? x , 1 ≤ x < 2 , ?0, 其他 ?
求 E | X ? EX | .

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2

§2.3

常用的离散型分布

4. 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,计算 P{ X = EX } .

1. 某人投篮命中率为 0.7,现在连续投篮 20 次,计算投中率至少为 90%的 概率.

2. 已知随机变量 X ~ b(n, p ) , EX = 6 , DX = 4.2 ,求 n 和 p . . 5. 一个计算机公司生产一种型号的微型芯片,每一芯片有 0.1%的概率为 次品, 且各芯片是否成为次品是相互独立的. 求 1000 块芯片中至少有两块 是次品的概率, 用泊松定理近似计算.

3. 设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为

λ 的指数分布,且满足

E[( X ? 1)( X ? 2)] = 1 ,求 λ .

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§2.4

常用的连续型分布
2

3. 3 个电子元件并联成一个系统, 只有当两个或两个以上电子元件损坏时, 系统才报废。已知电子元件的寿命为随机变量 X ~ e(1 / 1000) ,求系统的 寿命在 1200 小时以上的概率.

1. 已知 X ~ U ( ?2,2) , Y = 2 X + 1 ,求 EY 及 DY .

2. 设 X ~ U ( 2,5) , 现在对 X 进行 3 次独立观测, 求至少有两次观测值大 于 3 的概率. 4. 设 随 机 变 量 X ~ N ( μ , σ ) , 已 知 P{ X ≤ ?1.6} = 0.036 ,
2

P{ X ≤ 5.9} = 0.758 ,求 μ , σ , P{ X ≤ 0} .

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2

随机变量函数的分布 x < ?1 ? 0, ?0.2, ? 1 ≤ x < 0 ? ? 2 1. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) = ? 0.5, 0 ≤ x < 1 ,求 Y = X 的 ? 0.9, 1 ≤ x < 2 ? x≥2 ? ? 1,
分布律.

§2.5

3. 设随机变量 X 服从区间 [0, 2] 上的均匀分布,求随机变量 Y = X 的密 度函数.

4. 设随机向量 X 服从参数为 2 的指数分布,证明: Y = 1 ? e

?2 X

服从区间

[0, 1] 上的均匀分布.

?x ? , 0< x<2 2. 设随机变量 X ~ f X ( x) = ? 2 ,求 Y = 2 X + 3 的密度函数. ? 其它 ?0,
5. 随机变量 X ~ N (0,1) , 证明: Y = 1 ? X ~ N (1,1) .

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第二章
一、填空题 1. 若 X ~ N ( μ , σ ) ,则
2

自测题

X ?μ

σ

服从_____________分布.

2. 设随机变量的概率密度为 f ( x) = ?

?3e ?3 x x > 0 ,则 EX = ____ , x≤0 ?0

?0, x < ?1 ?0.4,?1 ≤ x < 0 ? ,则 X 的分布律为 8. 随机变量 X 的分布函数 F ( x) = ? 0 . 8 , 0 2 x ≤ < ? ? ?1, x ≥ 2
__________________. 9. 12 人小组中,有 5 名“三好生” ,从中任选 6 人参加竞赛,用 X 表示 6

E (2 X ? 1) 2 =

. 人中“三好生”的人数,则 P{2 ≤ X ≤ 4} = _________ .

3. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) = A + B arctan x, ? ∞ < x < ∞ , 则 A=_ ___, B=__ __.
2

4. 设随机变量 ξ ~ U [0,2], 则方程 x + 2ξx + 1 = 0 没有实根的概率为 _____________. 5. 连续型随机变量 X 的概率密度满足 f ( ? x) = f ( x) ( x ∈ R ) ,其分布函 数为 F ( x) ,则对任意正数 a ,有 P (| X |> a ) = ________________(用分布 函数表示). 6. 若随机变量 X 的概率密度为 f X ( x ) , 则随机变量 Y = ?3 X 的概率密度

?1 ? , 10. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 X ~ f ( x) = ? 2 ? ?0,

0≤ x≤2
其它

, 则

P{-3 ≤ X ≤ 0.5} = _______.
A ? x>2 ?1 ? 2 , 11. 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 F ( x) = ? ,则 x ? x≤2 ?0, A = ______


P{0 ≤ X ≤ 4} = __________

,









f Y ( y) =

.

f ( x) = _____________ . 3 4
i

7. 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 P{ X = i} = a ? ( ) , i = 1,2....., 则

12. 若 X ~ f ( x) = ?

?λe ?2 x , x ≥ 0 ?0, x < 0

,则 λ = ______,

a = _______ .

P{ X > 100} = _________ .
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二、计算题 1. 已知随机变量 X 的密度函数 f ( x) = ? (1) a ; (2) P ( X >

?sin x , ? 0,

0≤ x≤a ,求: 其它

π
3

); (3)分布函数 F ( x) .

3. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ? 与方差.

?2 x , 0 < x < 1 ?2 X ,求 Y = e 的期望 0 , 其它 ?

2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为

0, x < ?1 ? ?2 1 ? F ( x) = ? arctan x + , ? 1 ≤ x < 1 , 2 ?π 1, x ≥1 ? ?
求(1) X 的密度函数; (2) EX , DX .

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4. 已 知 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为

X P

1 2 ?1 0 ,求 0.2 0.1 0.3 0.4

三、应用题 1. 袋中有 7 个球,其中 4 个红球,3 个黑球. 现从袋中任取 3 个球,求取 出的红球数 X 的概率分布以及取出不少于 2 个红球的概率.

Y = 4 X + 1, Z = X 2 的概率分布.

5. 已知随机变量 X ~ N (0,1) ,求 Y = e 的密度函数.
X

2. 已知某种机器零件的寿命 X (单位:千小时)是一个连续型随机变量,

?e ? x , 其密度函数为 f ( x ) = ? ? 0,

x>0 x≤0

,每个零件的成本为 2 元. 假设每

个零件的售价为 5 元,并且当零件的寿命低于 900 小时时厂家将退还 全部货款. 求该厂家售出每个零件的期望利润.

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4. 假设某居民区每个用户的煤气月使用量服从正态分布, 平均用量为 39.5 立方米,标准差为 10 立方米. 试求在该居民区随意调查的三个用户中 有两户的煤气用量都在 25 到 30 立方米之间的概率.

3. 校对一份 5 页的稿件,假定每页的错误数服从参数为 2 的泊松分布,求 (1)恰有一页错误数不超过 1 个的概率; (2)至少有一页错误数不超 过 1 个的概率.

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2

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第三章 §3.1

随机向量

缘分布: (3) P{ X = Y } ; (4) P{ X < Y } .

随机向量的分布

1. 设二维随机向量 ( X , Y ) 的概率分布为: Y X 0 1 0 1 0.2 0.1 2 0.2 0.1

a
0.3

求: (1) a 的值; (2) X , Y 的边缘分布; (3) P{ X < Y } ; (4) P( XY = 0) ; (5) F (0,1) . 3. 设 ( X , Y ) 服从 G = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1} 上的均匀分布,求: (1) ( X , Y ) 的概率密度函数; (2) X 和 Y 的边缘密度函数.

2. 把一枚均匀的骰子独立地抛掷两次,X 表示第一次出现的点数,Y 表示 (2) X , Y 的边 两次出现的点数的最大值.求: (1) ( X , Y ) 的概率分布;

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4. 设随机向量 ( X , Y ) 的密度函数为:

5. 设随机向量 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) = ? ,

?kxy 2

0 ≤ y ≤ x ≤1

? x 2 + cxy, f ( x, y ) = ? ?0

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2

?0

其他

,

其他

求: (1) k ; (2) X 和 Y 的边缘密度; (3) P{ X < } .

1 3

求: (1)常数 c ; (2) P{ X + Y ≤ 1} ; (3) X 和 Y 的边缘密度函数.

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§3.2

条件分布与随机变量的独立性

3. 设二维随机向量 ( X , Y ) 的密度函数为

1. 一个袋内装有 5 个白球,3 个红球. 第一次从袋内任意取一个球,不放 回,第二次又从袋内任意取两个球, X i 表示第 i 次取到的白球数( i=1,2 ). 求 X 2 = 1 的条件下 X 1 的条件分布.

?Cxy 2 0 < x < 1,0 < y < 1 , g ( x, y ) = ? 其他 ? 0
求常数 C,并判断 X 与 Y 是否独立.

2. 随机向量 ( X , Y ) 只取 (0,0), (?1,1), (?1,2) 及 (2,0) 四对值,相应概 率依次为

1 1 1 5 ,? ? , ? , ? ,试判断随机变量 X 与 Y 是否独立. 12 6 3 12

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4. 设二维随机变量 ( X,Y ) 的概率密度函数 f ( x,y ) = ?

?e ? y 0 < x < y ?0

其他



(1) 求 X,Y 的边缘密度函数; (2) 判断 X,Y 是否独立; (3) 求在 Y = y 的条件下, X 的条件概率密度函数; ( 4 )求 P ( X + 2Y ≤ 1) ; ( 5 )求

P( X ≥ 2 | Y = 4) .

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§3.3

随机向量函数的分布与数学期望

3. 已 知 二 维 随 机 向 量 ( X , Y ) 的 分 布 如 习 题 1 ( 1 ) 所 示 , 求

1. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X,Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 1 2

EX , EY , EXY , E ( X + Y ) .

p

1 4

3 4

p

2 5

3 5

试求: ( 1 )二维随机向量 ( X , Y ) 的分布; ( 2 )随机变量 ξ = X + Y 与

η = XY 的概率分布.
4. 已知 ( X , Y ) 的密度函数为:

2. 设二维随机向量 ( X , Y ) 服从 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} 上的均
匀分布. 求 Z = XY 的密度函数.

1 ? ? x(1 + 3 y 2 ) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1 , f ( x, y ) = ? 4 其他 ? 0 ? X 试求 EX , EY ,及 E ( X + Y ) , EXY , E ( ) . Y

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§3.4

随机向量的数字特征

3. 已知 X ~ N ( 2,9) , Y ~ [ ?2,4] , EXY = 5 ,求:

Y X 1. 已知随机向量 ( X , Y ) 的概率分布为 ? 1 0 1

?1

0

1

(1) D ( 2 X ? 3Y ) ;(2) cov( X + Y , X ? Y ) .

1/ 8 1/ 8 1/ 8 , 1/ 8 0 1/ 8 1/ 8 1/ 8 1/ 8

(2) X 与 Y 是否相互独立? (1)求 X 与 Y 的协方差矩阵以及相关系数; 是否不相关?

4.设二维随机变量 ( X,Y ) 的概率密度函数为

?1 ? ( x + y ) 0 < x < 2, 0< y<2 , f ( x,y ) = ? 8 ? 0 其他 ?
2. 设 ( X , Y ) 服从二元正态分布 N (0,1;1,4;0.5) ,求 E ( 2 X ? XY + 3) .
2

求 EX,EY,ρ XY ,D ( X ? Y ) .

26

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§3.5

大数定律和中心极限定理

3. 某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一,为此,一家
保险公司决定在这个城市中新开一种交通事故险, 每个投保人每年缴纳 18 元保险费,一旦发生事故,投保人将得到 1 万元的赔偿,经调查,预计有

1. 一盒同型号螺丝钉共有 100 个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机
变量,期望值是 100 克,标准差是 10 克,求一盒螺丝钉的重量超过 10.2 千克的概率.

10 万人会购买这种保险,假设其他成本为 40 万元,问保险公司亏本的概
率多大?平均利润多少?

2. 已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布 P (0.2) ,求
这本书的印刷错误总数不超过 70 的概率.

27

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第三章
一、填空题

自测题

5. 设 随 机 变 量 X ~ b(10,0.3) , Y ~ U [1,7] , 且 X 与 Y 相 互 独 立 , 则

E (2 XY ? Y 2 ) =


.

1. 若 ( X , Y ) 的概率分布如下表所示, 则 a,b 应满足的条件是
若 X 和 Y 独立,则 a=

, b=

.

6. 设 ( X , Y ) 为二维随机向量, 且 D ( X ) = 25, D (Y ) = 36, ρ X ,Y = 0.6 , 则

X\Y 1 2 2. 设随机向量 ( X , Y ) 的密度函数 f ( x, y ) = ?
则c = , P{X + Y < 0} =

1 1/6 1/3

2 1/9
a

3 1/18
b

?c, ? 1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 , 其他 ?0,
.

D( X + Y ) =

, D ( X ? 2Y ) =

.

7. 设 随 机 变 量 X ~ N ( ?3,1), Y ~ N (2,4) , 且 X 与 Y 相 互 独 立 , 则

3. 设随机变量 X , Y 相互独立,且 P{ X ≤ 1} =

1 1 , P{Y ≤ 1} = ,则 2 3

X ? 2Y + 11 ~
二、选择题

.

P{ X ≤ 1, Y > 1} = ___________.
?8 xy, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 4. 设 ( X , Y ) 的密度函数 f ( x, y ) = ? , 则在 其他 ?0,

1. 若二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = EX ? EY ,则( (A) D ( XY ) = DX ? DY (C) X 与 Y 相互独立



(B) D ( X + Y ) = D ( X ? Y ) (D) X 与 Y 不相互独立

Y = y (0 < y < 1) 的条件下 X 的条件密度函数为 f X |Y ( x | y ) =
.

2. 设随机变量 X 与 Y 独立同分布,且 P{X = ?1} = P{ Y = ?1} = 0.5 ,

28

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P{X = 1} = P{Y = 1} = 0.5 ,则(
(A) X = Y (C) P{X = Y } = 0.5



(A) Cov( X , Y ) = 0 (C) D ( XY ) = DX ? DY

(B) D ( X + Y ) = DX + DY (D) E ( XY ) = EX ? EY


(B) P{X = Y } = 0.25 (D) P{X = Y } = 1

7.若 X 与 Y 的相关系数 ρ XY = 0 ,则表示 X 与 Y ( (A)相互独立 (C)存在常数 a,b 使得 P (Y = aX + b) = 1
三、计算题

X i ?1 0 1 (i = 1,2) ,且 3. 设随机变量 X 1 , X 2 的概率分布为 P 1/ 4 1/ 2 1/ 4
P{X 1 X 2 = 0} = 1 ,则 P{X 1 = X 2 } = (
(A) 0 (B) 1/4 (C) 1/2


(B)不线性相关 (D) E (

X EX )= Y EY

1. 设袋中有 4 个球,分别标有号码 1,2,3,4, 现从中每次任取 1 个球,不放 (D) 1
回抽取两次, X , Y 分别表示取出的球上的最小号码和最大号码,求

4. 设 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X 和 Y 分 布 服 从 正 态 分 布 N (0,1) 和

N (1,1) ,则下列结论正确的是(
(A) P{X + Y ≤ 0} = 0.5 (C) P{X ? Y ≤ 0} = 0.5

( X , Y ) 的概率分布并判断 X 与 Y 的独立性,计算 EX , EY , DX , DY .


(B) P{X + Y ≤ 1} = 0.5 (D) P{X ? Y ≤ 1} = 0.5

5.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X ~ N (1, 4), Y ~ N (0, 1) ,令

Z = X ? Y ,则 EZ 2 = (
(A) 1 (B) 4



2. 设二维随机向量 ( X , Y ) 的概率分布为: (D) 6
X Y

(C) 5

6.已知随机变量 X、Y 不相关,有关数字特征均存在,则以下结论中不成
立的是 ( )
29

-1 0 0.1

0 0.25

1 0.3

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姓名

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1

0.15

0.1

0.1

试求(1) X , Y 的边缘分布; (2) cov( X , Y ) 、 D ( X ? Y ) 和 ρ XY .

1 1 1 B 为两个随机事件, P( B | A) = , P( A | B) = , 且 P ( A) = , 3.设 A , 4 3 2
?1, A发生, 令X =? ?0, A不发生, ?1, B发生, Y =? ?0, B不发生,

4.设随机变量 X 在区间 (0, 1) 上服从均匀分布, 在 X = x(0 < x < 1) 的条件
下,随机变量 Y 在区间 (0,x) 上服从均匀分布,求(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度;(2) Y 的概率密度; (3) 概率 P{ X + Y > 1} .

求(1) 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布;(2) X 与 Y 的相关系数

ρ XY ;

(3) Z = X + Y 的概率分布.
2 2

30

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5. 设随机向量 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) = ?

?2( x + y ), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 , 其他 ? 0,

6. 为方便计算,在进行加法运算时,对每个加数都四舍五入取到百分位,

0.5 × 10 ) 上均匀分 其各加数的舍入误差可以认为是服从 ( ?0.5 × 10 ,
布的相互独立的随机变量。现有 100 个加数相加,试以 99.7%的概率断 定其误差所在的范围 ( ?a,a ) .

?2

?2

(1)求 X , Y 的边缘密度函数,并判断 X , Y 是否相互独立; (2)求 P{X + Y < 1} ; (3)求 E ( XY ) .

31

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第四章 §4.1

数理统计的基础知识 §4.2 统计量

3.(1) 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布, X 1 , X 2 ,
的样本,试写出样本的概率分布.

, X n 是来自总体

总体与样本

1. 设容量 n = 9 的样本的观察值为(8,7,6,9,7,7,5,8,6) ,则样 本均值 X 与样本方差 S 分别为多少?
2

(2) 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布, X 1 , X 2 ,
样本,试写出样本的概率密度函数.

, X n 是来自总体的

§4.3 常用的统计分布
2

§4.4

抽样分布

1. 设总体 X 服从正态分布 N ( 42,5.4 ) ,从总体 X 中随机抽取一容量为

2.设 X 1, X 2,

, X n 是取自总体 X 的样本, X , S 2 分别为样本均值与样本
2

25 的样本,求样本均值 X 落在 40.8 到 43.8 之间的概率.

方差,假定 μ = EX , σ

= DX 均存在,试求 EX , DX , ES 2 .

32

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2

姓名

学号
2

2. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N (0,2 ) 的 简 单 随 机 样 本 ,

4. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N (0, 2 ) 的 样 本 , 令 统 计 量

X = α ( X 1 ? 2 X 2 ) 2 + β (3 X 3 ? 4 X 4 ) 2 ,若统计量 X 服从 χ 2 分布,试计
算 α , β 的值.

Y = ( X 1 + X 2 )2 + ( X 3 ? X 4 )2 ,

若 CY ~ χ (2) ,求常数 C .
2

5. 设 X 1 ,

, X 8 和 Y1 ,
2

, Y10 分 别是取自 总 体 N (?1,2 2 )和N (2,5) 的样
2

3.假设总体 X 与总体 Y 相互独立且都服从 N (0,3 ) , X 1 , X 2 ,

2

, X9和

本,且相互独立, S1 和S 2 分别是两个样本的样本方差,试求 分布.

5S12
2 4S 2

服从的

Y1 , Y2 , T=

, Y9 是 分 别 来 自 总 体 X 和 Y 的 样 本 . 试 证 明 : 统 计 量 + X9 + Y92 ~ t (9) .

X1 + X 2 + Y12 + Y22 +

33

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姓名

学号
2 X 12 + X 2 + 2 2 Y1 + Y2 +

第四章
一、选择题 1. X 1 , X 2 ,

自测题

Y1 , Y2 ,
X n 是来自正态总体 X ~ N ( μ , σ 2 ) 的样本,其中 μ 已知, σ
)

, Y16 分别为来自 X 和 Y 的样本, 则
)

+ X 92 2 + Y16

服从的分布为(

未知,则下列不是统计量的是(

(A) F (16,9)

(B) F (9,16)
2 2

(C) F (9,9)

(D) F (16,16)

(A) max X k
1≤ k ≤ n

(B) X ? μ

(C)

∑σ
k =1

n

Xk
? ( x + 3) 2 4

(D) min X k
1≤ k ≤ n

6. 设 X ~ N ( μ , σ ) 其中 μ 已知,σ 未知, X 1 , X 2 , X 3 是样本,则下列
选项中不是统计量的是 ( )

2. 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) = 则服从 N (0,1) 分布的随机变量为(

1 2 π
)

e

, x ∈ (?∞,+∞) ,

(A) X 1 + X 2 + X 3 (C) ∑
3

(B) max{ X 1 , X 2 , X 3 } (D) X 1 ? μ

X i2
2 2

(A)

X +3 2

(B)

X +3 2

(C)
2

X ?3 2

(D)

X ?3 2

i =1 σ

7. 设 X ~ N ( μ , σ ) ,且 μ 已知,σ 未知, X 1 , X 2 ,
2

, X n 是 X 的一个容

3. X 服从正态分布, EX = ?1 , EX
n

= 4 , X1, X 2 ,

, X n 是来自总体


量为 n 的样本,下列各式中哪个不是统计量(


2

1 X 的样本, X = ∑ X i ,则 X 服从的分布为( n i =1
(A) N (?1, )

(A) X 1 + X 2

(B) ∑ X i ? 5μ
i =1

n

(C) ∑ X i
i =1

n

(D) X 1 ? σ

3 n

(B) N ( ?1, )
2

4 n

(C) N ( ?

1 ,4) n

(D) N ( ?

1 3 , ) n n


8. 假 设 总 体 X ~ U [

1 1 ? θ , + θ ], 其 中 θ 为 未 知 参 数 , 又 假 设 2 2
1 n 2 ∑ ( X i ? μ) , n i =1

4. 设 X ~ N (0, σ ) ,则服从自由度为 n ? 1 的 t 分布的随机变量是(

X1, X 2 ,
则当 μ 为(

, X n 是来自总体 X 的一组样本,令 Y =
)时, Y 不是统计量.

(A)

nX S

(B)

nX S

(C)

nX S2

(D)

nX S2 , X9 和
34

5. 设总体 X ~ N (0,16), Y ~ N (0,9) , X , Y 相互独立, X 1 , X 2 ,

(A)

1 n ∑ Xi n i =1

(B) max X i
1≤i ≤ n

(C) EX

(D) DX

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n

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9. 设 X ~ N (0,1) , X =
2

1 n 1 n 2 2 ∑ X i ,S = ∑ ( X i ? X ) ,服从自由 n i =1 n ? 1 i =1

2

(C) ∑ X i ~
i =1

2

χ 2 ( n)

(D) X S ~ t ( n ? 1)

度为 n ? 1 的 χ 分布的随机变量是(

12. 设 X 1 , X 2 ,

X 16 是取自总体 X ~ N (1, σ 2 ) 的样本, X 为样本均值,


(A) ∑ X i
i =1

n

2

(B) S

2

(C) (n ? 1) X

(D) (n ? 1) S

2

已知 Y = aX + b ~ N (0,1) ,则有(

(A) a =
10. 设 X 1 , X 2 ,

4

X n 为来自正态总体 N ( μ , σ ) 简单随机样本,X 是样本
2 2

σ

,b = ? 4 ,b =

4

σ
4

(B) a = σ , b = ?σ (D) a = σ , b = σ
2

(C) a = ?

均 值 , 记 S1 =

1 1 2 2 2 ∑(Xi ? X ) , S 2 = ∑(Xi ? X ) , n ? 1 i =1 n i =1
n n

σ

σ

13 . 设 总 体 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 都 服 从 N (0, σ ) , X 1 , X 2 , X 3 和

2 S3

1 n 1 n 2 2 2 则服从自由度为 n ? 1 = ∑ ( X i ? μ ) ,S 4 = ∑ ( X i ? μ ) , n i =1 n ? 1 i =1


Y1 , Y2 , Y3 , Y4 分别是来自 X 和 Y 的样本,则统计量
分布为( )

i =1 4

∑ Xi

3

2

服从的

的 t 分布的随机变量是(

i =1

∑ (Yi ? Y )

(A) t =

X ?μ S1 / n ? 1 X ?μ S3 / n

(B) t =

X ?μ S2 / n ?1 X ?μ S4 / n

(A) N (01, )
二、填空题 1.设 X 1 , X 2 ,

(B) F (3,3)

(C) F (3,4)

(D) t (3)

(C) t =

(D) t =

, X n 是来自总体 X ~ N (1,3 2 ) 的一个简单随机样本, X 是

11.设 X 1 , X 2 ,

X n 是取自总体 N (0,1) 的样本, X , S 分别为样本均值与


样本均值,则 EX = __________, DX =_____________. 2. 设 105 ,110 ,120 ,125 ,118 为总体 X 的一组样本值,则样本均值

样本标准差,则下列正确的是(

(A) X ~ N (0,1)

(B) nX ~ N (0,1)

X = ________, 样本方差 S 2 = _________.

35

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3.设 X 1 , X 2 ,

, X 4 是来自总体的一个简单随机样本,总体 X ~ χ 2 (n) ,

三、计算题

1. 假设样本 X 1 , X 2 ,

, X n 来自正态总体 N (10 , 2 2 ) , 样本均值 X 满足概

X 是样本均值,则 EX = ___________, DX _________.
4. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自总体 X ~ N ( μ , σ ) 的一个简单随机样本,
2

率等式 P{ 9.02 ≤ X ≤ 10.98 } = 0.95 ,试确定样本容量 n 的大小.

令W =

(X3 ? X 4 )
i =1

∑ (X i ? μ)

2

,则 W ~ __________.(需指明自由度)
2

5. 设 总 体 X ~ N (0, σ ), X 1 ,
2

, X 3n 是 取 自 总 体 的 一 个 样 本 , 则
服从 分布.(需指明自由度)

Y=

2 X 12 + X 2 +

2 + X2 n 2 + X3 n)

2 2 2( X 2 n +1 + X 2 n + 2 +

2. 已知总体 X 和 Y 相互独立,且 X ~ N ( 20,3), Y ~ N (20,5) ,分别在总
n i =1

6.设 X 1 , X 2 ,

X n 是取自两点分布总体 b(1, p) 的样本, 则 ∑ X i 的分布为

体 X 和 Y 中抽取 m = 10, n = 25 的简单随机样本, X ,Y 分别为 X 和

________, 当 n 很大时,样本均值 X 近似服从_______分布. 7.设 X 1 ,

Y 的样本均值,试求 P{ X ? Y > 0.3 } .

X 9 是取自总体 N (0, σ 2 ) 的样本,则统计量
1 + X5) ? (X 6 + 4 + X 9 ) 服从的分布为__________.
2

Y=

1 (X1 + 5

8 .设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 是来自总体 X ~ N (0, σ ) 的一个简单随机样
本,若

a( X 1 + X 2 )
2 2 2 X3 + X4 + X5

服从 t 分布,则 a = __________.

36

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3. 设 X 1 , X 2 ,

, X n 是来自正态总体 N (0,2 2 ) 的简单随机样本, 试求系数

a, b, c, 使得统计量: W = a ( X 1 + X 2 ) 2 + b( X 3 + X 4 + X 5 ) 2 + c ( X 6 + X 7 + X 8 + X 9 ) 2
服从 χ 分布,并求自由度.
2

2.已知: X ~ t ( n) ,证明: X

2

~ F (1, n) .

四、证明题 1. 已知 X 1 , X 2 ,

, X n , X n +1 是取自正态总体 N ( μ , σ 2 ) 的样本,试证明:

Y = X n +1 ?

n 1 n +1 σ 2) . ∑ X i ~ N (0, n + 1 i =1 n +1

37

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第五章

参数估计与假设检验 点估计概述
2

§5.1
2

1. 设总体 X ~ N ( μ , σ ) ,其中 μ 未知, σ 已知.又设 X 1 , X 2 ,

, Xn

是来自总体 X 的样本, 试指出以下各量是不是统计量?在统计量中哪些是

μ 的无偏估计量?并说明理由.
(1)

?) > 0 ,证明 θ? 不是 θ 的无偏估计. ? 是 θ 的无偏估计量,且有 D(θ 3. 设 θ
2 2

1 2 1 X1 + X 2 + X 3 ; 2 3 6

(2) ( X 2 + 2 μ ) ; (4)

1 3
n

(3) X 3 ;

∑σ
i =1

X i2
2

.

4. 设 X 1 , X 2 ,

, X n 是来自于总体 N ( μ ,1) 的简单随机样本,试证估计量
2 1 2 X1 ? X 2 + X 3, 3 3 3

μ1 =




μ2 =



1 1 1 X1 + X 2 + X 3, 3 3 3

1 1 X1 + X 2 ? X 3 2 2 均是 μ 的无偏估计量,并指出哪一个估计量最为有效.

μ3 =

2.假设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布, X 1 , X 2 , 的简单随机样本,其均值为 X ,样本方差 S =
2

, X n 是来自总体 X

1 n ( X i ? X ) 2 。已知 ∑ n ? 1 i =1

λ = a X + (2 ? 3a ) S 2 为 λ 的无偏估计,计算 a.
38



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§5.2
1. 设 X 1 , X 2 ,

参数的最大似然估计与矩估计

(3) X 服从参数为 λ 的泊松分布, λ > 0 为未知参数。

, X n 是来自总体 X 的简单随机样本,试求下列总体分布

中未知参数的矩估计与最大似然估计. (1) X 的密度函数为 f ( x; α ) = ?

?(α + 1) x α , 0 < x < 1 ? 0, 其他.

,α > ?1 为未知参

数;

2. 总体 X 具有分布律

X 1 P θ2

2 3 , 其中 θ (0 < θ < 1) 为 2θ (1 ? θ ) (1 ? θ ) 2

未知参数,已知随机抽样取得样本值 x1 = 1, x 2 = 2, x3 = 1 ,试求参数 θ 的 矩估计值和最大似然估计值.

(2) X 服从参数为 θ 的指数分布, θ > 0 为未知参数;

39

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§5.3

置信区间

1. 为了对完成某项工作所需时间建立一个标准,工厂随意抽选了 16 名有 经验的工人分别去完成这项工作。结果发现他们所需的平均时间为 13 分钟,样本标准差为 3 分钟。假定完成这项工作所需的时间服从正态 分布,试确定完成此项工作所需平均时间的 95% 置信区间. 3. 从某校初一年级中随机抽取 20 名学生,他们的数学期末考试成绩为: 81 84 74 98 66 99 84 97 92 69 48 87 72 100 84 88 41 55 49 64 设该年级学生的数学成绩 X 服从正态分布 N ( μ , σ ) ,求
2

(1)该年级学生的数学平均成绩 μ 的 95%的置信区间; (2)该年级学生数学成绩的方差 σ 的 95%的置信区间.
2

2. 随机地从一批零件中抽取 16 个,测得长度 (cm) 为:

2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10, 2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.
设零件长度分布为正态分布,试求总体 μ 的 90%的置信区间: (1)若 σ = 0.01(cm) , (2)若 σ 未知.

40

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2

§5.4

假设检验概述

§5.5

单正态总体的参数假设检验

1. 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64Ω ,标准差保持在 0.06Ω ,改 变加工工艺后,测得 100 个零件,其平均电阻为 2.62Ω ,标准差不变,问 新工艺下此零件的平均电阻有无显著变化?( α = 0.05 )

3.9 名测量人员独立测量同一块土地,分别得到面积数据为(单位: km )

1.24, 1.29, 1.28,

1.26, 1.22, 1.28,

1.26, 1.27,

1.25
2

设测量值服从正态分布, 由观测数据能否说明这块土地面积超过 1.26 km ? ( α = 0.05 )

2.某机床生产某种型号零件的直径(单位:mm)在正常状态下服从正态
分布 N 30, σ

(

2

) ,某日开工后测得 6 件该型号零件的直径分别为
4.已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布,且标准差为 0.048. 从某 天产品中抽取 5 根纤维,测得其纤度为 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44, 问这一天纤度的总体方差是否正常( α = 0.05 )?

28,27,31,29,30,27(mm).
根据测试结果判断该天机床工作是否正常( α = 0.05 ).

41

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2

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5.某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常条件下服从正态分布 N ( μ ,0.108 ) . 现对操作工艺进行了某些改进,从中抽取 5 个样品,测得含碳量为: 4.421, 4.052,4.357, 4.287, 4.683 . 据此是否可以认为新工艺炼出的 铁水含碳量的方差仍为 0.108 ?( α = 0.05 )
2

42

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§5.6

双正态总体的参数假设检验

1. 设甲、乙两台车床生产同一种产品,今从甲车床生产的产品中抽取 30 件,测得平均重量为 130 克,从乙车床生产的产品中抽取 40 件,测得平 均重量为 125 克. 假定两台车床生产的产品的重量都服从正态分布,方差
分别为 σ 1 = 60, σ 2 = 80 . 问在显著性水平 α = 0.05 下, 两台车床生产的
2 2

产品重量是否有显著差异?

3. 有甲、乙两台机床加工相同的产品,从这两台机床加工的产品中随机地 抽取若干件,测量它们的直径(单位:mm) ,数据如下:
2 n1 = 8, x = 19.925, s12 = 0.216; n2 = 7, y = 20, s 2 = 0.397,

试比较甲、乙两台机床加工的产品直径均值有无显著差异?假定两台机床 加工的产品直径都服从正态分布,且总体方差相等. ( α = 0.05 )

2. 甲、乙两厂生产同种灯泡,其寿命 X , Y 分别服从正态分布 N ( μ1 , σ 1 ) ,
2 2 N (μ 2 ,σ 2 ) ,已知他们寿命的标准差分别为 84h 和 96h. 现从两厂生产的

灯泡中各取 60 只, 测得平均寿命分别为 1295h 和 1230h, 能否认为甲厂生 产的灯泡的寿命比乙厂生产的灯泡的寿命长?( α = 0.05 )

43

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第五章
一、填空题

自测题

6. 一名汽车销售经理正在考虑采取一种新型的奖励计划以提高销售量。 目
前,平均每月销售 14 辆汽车。经理通过研究想知道这种新型的奖励计 划能否增加销量。在该项研究中,合适的原假设和备择假设为 .

1. 设总体 X 的均值 EX =

μ ,方差 DX = σ 2 ,其中 μ , σ 是未知参数,

x1 , x 2 ,

, xn 是 来 自 X 的 一 组 样 本 观 测 值 , 则 μ 的 矩 估 计 为
7. 假设检验的实际推断原理是 8. 设 x1 ,

? = _______ , σ 2 的矩估计为 σ ? 2 = _______ . μ
2. 已知总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布, x1 , x 2 ,



, x n 是来自 X 的一组样

, x10 是来自 N ( μ , σ 2 ) 的样本,其中 σ 2 未知,考虑假设检验问

? = _______ . 本观测值,则 λ 的矩估计为 λ
?αxα ?1 0 < x < 1 ( α > 0, α 是未知参 3. 设总体 X 的密度函数 f ( x, α ) = ? 其他 ? 0
数), x1 , x 2 ,

题 H 0 : μ = 10 ? H 1 : μ ≠ 10 ,显著水平 α = 0.05 ,则此检验的拒绝域 为 . ( t 0.025 (9) = 2.26 )

二、判断题

, x n 是来自 X 的一组样本观测值,则似然函数

1. 设总体 X 的密度函数为 f ( x, θ ),θ 是未知参数, 对于总体的一组样本观
测值 ( x1 , x2 ,

L(λ ) = _______________ .
4. 设总体 X 的均值 EX =

, xn ) ,则 ∏ f ( xi , θ ) 是参数 θ 的函数.
i =1

n

(

)

? = k (3 X 1 + 2 X 2 ? X 3 ) μ ,方差 DX = 1 , μ

? ,使得似然函数的对数取最大 2. 最大似然估计就是要找出一个估计量 θ

为 μ 的一个估计量,其中 X 1 , X 2 , X 3 为 X 的样本, k 为常数,则当

?) = max ln L(θ ) . 值,即 ln L(θ
3. 对于给定的置信度, 任一未知参数的置信区间都是唯一的. 4. 对于任一总体 X ,样本方差 S =
2

( (

) )

k=

?) = ? 为 μ 的无偏估计量,此时 D( μ 时, μ



5. 设 θ 为总体 X 的未知参数, θ1 , θ 2 为统计量,若 (θ1 , θ 2 ) 为 θ 的置信度
为 1 ? α (0 < α < 1) 的置信区间,则 P{θ1 < θ < θ 2 } = ___________ .
44

1 n ( X i ? X ) 2 都是总体方差 σ 2 ∑ n ? 1 i =1
( )

的无偏估计量.

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k ?1

5. 任一总体的未知参数 θ 的最大似然估计量一定是无偏估计量. (
出错误判断. 三、计算题

)

2. 用最大似然估计法估计几何分布 P{ X = k} = p (1 ? p )

,

6. 假设检验中,若检验法选择正确,且计算无误,则计算精确就可避免做 ( )

k = 1,2,

, 中的未知参数 p.

1. 设总体 X ~ N ( μ ,2 ) , X 1 , X 2 , X 3 是它的样本,试问:
2

? 1= X 1 + μ

是否都是 μ 的无偏估计量,并问哪个估计量最有效?

2 3 2 X 2 + X3, 7 7 7 1 1 1 ? 3= X 1 + X 2 + X 3 μ 2 3 6

? 2= X 1 + μ

1 3

1 5 X 2 + X3, 4 12

1 ?σ e ,?∞ < x < +∞ ,σ > 0 为未 3. 设总体 X 的密度函数为 f ( x, σ ) = 2σ
知参数. x1 , x2 ,

x

, xn 是 X 的一组样本值,试求 σ 的最大似然估计.

45

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4. 某 工 厂 滚 珠 车 间 , 根 据 长 期 实 践 经 验 , 滚 珠 直 径 服 从 正 态 分 布

N ( μ ,0.052 ) 。现从生产的滚珠中任取 6 个,测得直径为

四、应用题 1. 某厂生产的电池的寿命均值一直稳定在 30(小时) ,今用新工艺生产电 池,假定其寿命 X ~ N ( μ , σ ) ,参数均未知。从用新工艺生产的电池
2

11.6

15.1

14.9

14.8

15.2

15.1
中随机地抽取 9 个,测得 x = 32, s = 9 。
2

试求该车间生产的滚珠直径的均值的置信区间. (α = 0.05)

(1)求 μ 的置信度为 0.95 的置信区间; ( 2 )与以往相比,用新工艺生产的电池的寿命均值是否有显著提高

(α = 0.05) ?

,数据如下: 5. 某食品公司连续统计了 12 个月的猪肉销售量(单位:吨)

45, 43.5, 46, 40 , 42.5 , 39.5 , 43 , 42.5, 36, 39 , 42, 45
假 设 猪 肉的销 售 量 X 服 从正 态 分 布,试 求 其 方差 σ 的 置 信 区 间
2

(α = 0.05) .

46

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2. 某洗衣粉包装机,在正常工作情况下,每袋标准重为 1000 克,标准差 不能超过 15 克,假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布。某天为检查机器 工作是否正常, 从已包装好的洗衣粉中, 随机地抽查 10 袋, 测得净重 (克) 为:

3. 从甲、乙两校的高考英语试卷中各抽 27 份和 26 份,其英语平均分分别 为 67 分和 71 分。假定两校学生的高考英语成绩均服从正态分布且标
准差均为 8 分,试问两校高考英语成绩有无显著差异( α = 0.05 )?

1020, 1030, 968, 994, 1014, 1048, 998, 976, 982, 950
问这天机器工作是否正常?( α = 0.05 )

47

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4. 有两台车床生产同一型号的滚珠,根据以往经验,这两台车床生产的滚 珠的直径服从正态分布。现在从这两台车床生产的产品中分别抽取 8
个和 9 个, 测得滚珠的直径的标准差分别为
0.67 0.21 和 . 问乙车床 7 8

2012-2013 第 1 学期概率论与数理统计期中试卷 一 填空题 (每空 3 分,共 30 分)

产品的方差是否比甲车床的小?( α = 0.05 )

1、 P ( A) = P ( B ) = P (C ) =

1 1 , P ( AB ) = 0, P ( AC ) = P ( BC ) = ,则 4 16

A, B, C 均不发生的概率为_________.
2、设 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6, P ( B | A) = 0.8 ,则

P( B A) = __________________.
3、袋中有 5 个白球和 3 个黑球,从中任取 2 个球,则取得的 2 球颜色相 同的概率为____________. 4、从 0,1,2,3,4 五个数中任意取三个数,则这三个数中不含 0 的概 率为____________. 5 、 从 (0,1) 中 随 机 地 取 出 两 个 数 , 则 两 个 数 之 和 小 于 _____________. 6、一个工厂有一、二、三 3 个车间生产同一种产品,每个车间的产量分 别占总产量的 25%,35%,40% ,如果每个车间成品中的次品率分别为 5% , 4% , 2% , 则 从 全 厂 产 品 中 任 取 一 件 , 取 出 的 是 次 品 的 概 率 为 _____________. 7、在某一问卷调查中,有 50%的被访者会立刻答完并上交问卷表,在没 有立刻上交问卷表的被访者中,有 40%的人会在调查人员的电话提醒下送 回问卷表. 如果只有 4 人参加这样的问卷调查,则至少有 3 人没有任何回 音的概率为___________________________.
48

6 的概率为 5

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8 、已知随机变量 X 的分布列为: P ( X = k ) =

1 , k = 1,2,3, 2k

,则

P(2 < X ≤ 4) = ______________.
9 、设 随机 变 量
的 分 布 列 为 P( X = i) =

i , i = 1, 2,3 , 则 2a
(13 分)随机变量 2、

P( X = 2) = _______________.
10、设随机变量 X 的分布函数

?cx , 0 < x < 2 ,求(1)c; (2) P( X ≤ 1) ; (3)一元二次 X ~ f ( x) = ? ?0 , 其它

? 0, ?0.4, ? F ( x) = ? ?0.8, ? ? 1,
二 计算题

x < ?1 ? 1 ≤ x < 1 ,则 P (1 ≤ 1≤ x < 3 x≥3

X ≤ 3) = _________________.

方程 x + 2 Xx + 1 = 0 有实根的概率.
2

1、 (15 分)设考生的报名表来自三个地区,分别有 10 份、15 份、25 份, 其中女生的分别为 3 份、7 份、5 份。随机地从一地区先后任取 2 份报名 表,求: (1)先取的那份报名表是女生的概率; (2)已知先取的那份报名 表是女生,则该表来自于第一个地区的概率; (3)先取的那份报名表是女 生的,且后取到的报名表是男生的概率..

(12 分)设随机变量 X ~ U (0,4) ,用 Y 表示对 X 独立重复观测中,事 3、 件 A = { X ≥ 1} 首次发生时观测的总次数,求: (1)概率 P ( A) ; (2)概 率 P (Y ≥ 4) ; (3)数学期望 EY .

49

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2011-2012 学年第一学期《概率论与数理统计》试卷
一、填空题(本题共 6 小题,每小空 2 分,满分 20 分) 1. 设 A 、 B 是随机事件, P( A) = 0.8 , P ( B) = 0.6 ,则当 A 与 B 互不 相 容 时 , P ( A ? B) = _____________ , 当 A 与 B 相 互 独 立 时 ,

P( A ? B) = _____________.
? ?2 3 ? x , x ∈ [1,8] (10 分) 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) = ? ,F ( x) 是 4、 3 ? 其它 ?0,
2. 设

P( A) = 0.5

,

P ( B) = 0.4

,

P ( A | B ) = 0.6





P( A ? B) = _____________, P( A + B) = _____________.
3. 假设笼子里有 6 只黑猫、4 只白猫,打开笼子,猫依次跑出,则第 6 只 跑出的是黑猫的概率为 ______ . 4. 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,则 EX = ___________,

X 的分布函数,求 Y = F ( X ) 的密度函数 f Y ( y ) .

EX 2 =
5. 设 X 1 ,

.

, X n 是来自总体 X ~ U (0, θ ) 的一个样本,样本均值为 X ,

若 c X 是参数 θ 的无偏估计量,则 c = _______, D (cX ) = _______. 6. 设某微机系统有 120 个终端,每个终端有 5%时间在使用. 若各终端使 用与否是相互独立的,则由中心极限定理知,有不少于 10 个终端在使用 的概率为_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 2 分,满分 10 分) 1. 设 X ~ N ( μ , σ ) ,那么当 σ 增大时, P (| X ? μ |< σ ) 将 (
2

).

50

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(A) 增大

(B) 减小

(C) 不变

(D) 增减不定

三、计算题(本题共 4 小题,满分 40 分) 1. (6 分) 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产 量分别占全厂的 25%,35%,40%, 各车间产品的次品率分别为 5%,4%,2%, 求:

2. 若 X 1 与 X 2 相互独立,并且 P ( X i = 0) = P ( X i = 1) = 0.5, i = 1, 2 , 则下列结论正确的是 ( (A) X 1 = X 2 (C) P ( X 1 = X 2 ) = 0.5 3. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x) = ( ) (A) 1 / π
2

). (B) P ( X 1 = X 2 ) = 1 (D) 以上都不正确

(1) 从全厂产品中任取一件是次品的概率;(2) 若任取一件产品发现是次 品,则此次品是甲车间生产的概率.

c , ? ∞ < x < +∞ ,则 c 的值是 1+ x2
(C) 1 /
2

(B) 2 / π

π

(D) 2 /

π
)

4. 若 X ~ N ( μ1 , σ 1 ) ,Y ~ N ( μ 2 , σ 2 ) , 则 ( X , Y ) 的联合分布为 ( (A) 二维正态,且相关系数为 0 (C) 未必是二维正态
2

(B) 二维正态,且相关系数不确定 (D) 以上都不正确
2

5. 设 X ~ N ( μ , σ ) 其中 μ 已知,σ 未知, X 1 , X 2 , X 3 是一个样本,则 下列选项中不是统计量( (A) X 1 + X 2 + X 3 (C) X 1 ? μ ) (B) max( X 1 , X 2 , X 3 ) (D)

∑σ
i =1

3

X i2
2

2. (12 分) 已知离散型随机变量 X 的分布律为

X pi

0 1 2 ?1 2 ,求: (1) 随机变量 Y = X ? 1 的分布律和 0.4 0.25 0.3 0.05
2

分布函数; (2) 关于 x 的一元二次方程 x ? 4 Xx + 3 = 0 有实数根的概率; (3) Cov ( X , Y ) .
51

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3. (14 分) 设区域 D 是由直线 y = x, x = 1 和 x 轴围成的区域,二维随机 变量 ( X , Y ) 服从区域 D 上的均匀分布,求:(1) ( X , Y ) 的边际密度函数

f X ( x) 和 f Y ( y ) ,并判断 X 和 Y 的独立性;(2)概率 P (Y ≤ 1 ? X ) ;(3)
条件密度函数 f Y | X ( y | x) ;(4) Ee
X +Y

.

52

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4. (8 分) 设 X 1 ,

, X n 为总体 X 的一个样本, X 的密度函数

?β x β ?1 , 0 < x < 1 , β > 0 . 求参数 β 的矩估计量和最大似然估 f ( x) = ? 其它 ?0,
计量.

2. (12 分) 某食品厂生产的袋装食品中维 C 的含量 X 服从正态分布,现 对操作工艺发生了改变,从中选取 7 袋进行抽样检测,测得维 C 含量数据 如下:4.052,4.683,4.394,4.287,4.421,4.326,4.357. 是否可以 认为新工艺下:(1) 维 C 含量的期望仍为 4.3;(2) 维 C 含量的方差仍为

0.112 2 . (检验显著性水平均为 α = 0.05 )
四、应用题(本题共 2 小题,满分 20 分) 1. (8 分) 随机地从一批零件中抽取 16 个,测得长度(cm)为:2.14,2.10, 2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13, 2.11,2.14,2.11,设零件长度分布为正态分布,试求当总体标准差

σ = 0.01 cm 已知时,总体 μ 的 90%的置信区间.

53

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2. (6 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为

f ( x, y ) =

1 (?1 ( x, y ) + ? 2 ( x, y )) ,其中 ?1 ( x, y ) 和 ? 2 ( x, y ) 都是二维正 2

态密度函数,且 ?1 ( x, y ) 和 ? 2 ( x, y ) 对应的二维随机变量的相关系数分别

五、证明题(本题共 2 小题,满分 10 分) 1. (4 分) 设 X 1 ,

1 1 和 ? , ?1 ( x, y ) 和 ? 2 ( x, y ) 的边际密度所对应的随机变量的数学期 3 3 望都是 0,方差都是 1. 证明: X 和 Y 不相关.


, X n 是来自总体 X ~ N ( μ , σ 2 ) 的一个样本,样本均
2

值和样本方差分别为 X 和 S , X n +1 是对总体 X 的又一独立观测值,则 统计量 T =

X n +1 ? X S

n ~ t (n ? 1) . n +1

54

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本次考试可能用到的分位数:

2012-2013 学年第一学期《概率论与数理统计》试卷 一、单项选择题(每题 2 分,共 10 分) 1、设事件 A 与 B 互斥, P ( A) > 0 , P ( B ) > 0 , 则下列结论中一定成立的 有( ) B. A , B 为对立事件 D. A 与 B 不独立

Φ 0 (1.28) = 0.9, Φ 0 (1.645) = 0.95, Φ 0 (1.7) = 0.955
t 0.05 (15) = 1.753, t 0.1 (15) = 1.341 t 0.025 (6) = 2.447, t 0.05 (6) = 1.943, t 0.025 (7) = 2.365, t 0.05 (7) = 1.895 ,

A. A 与 B 互不相容 C. A 与 B 相互独立

χ 02.025 (6) = 14.449, χ 02.975 (6) = 1.237, χ 02.025 (7) = 16.013, χ 02.975 (7) = 1.690.

2、设 X ~ B (n, p ) ,已知 EX = 2.4 , DX = 1.44 ,则参数 n 和 p 的值是 ( ) A. n = 4, p = 0.5 C. n = 8, p = 0.3 B. n = 6, p = 0.4 D. n = 24, p = 0.1

3、 设随机变量 X 的概率密度函数 f ( x ) = A. N (?1 , 2) C. N (?1 , 8) B. N (?1 , 4) D. N ( ?1 , 16)

1 2 2π

e

?

( x +1) 2 8

, 则 X 服从 (



4、设随机变量 X,Y 相互独立,且都服从区间 (0, 1) 上的均匀分布,则

P ( X 2 + Y 2 ≤ 1) = (
A.

)

1 4

B.

1 2

C.

π
8

D.

π
4

55

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2

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5、设 X 1, X 2, X 3 , X 4 为来自总体 N (1, σ ) (σ > 0) 的简单随机样本,则

三、计算题(本题共 7 小题,共 75 分)

X1 ? X 2 统计量 的分布为 ( | X3 + X4 ? 2 |
A. N (0,1) B.t (1)

)

1、 (8 分)设随机变量 X ~ f ( x) = ? 2

? 1 ?? x + 1 ? ? 0

0≤ x<2
其他

,试用分布函

C. χ (1)
2

D. F (1,1)

数法求 Y = e 的密度函数。
X

二、填空题(每题 2 分,共 10 分) 1、某地区的人群吸烟的概率是 0.2,不吸烟的概率是 0.8,若吸烟使人患 某种疾病的概率为 0.008,不吸烟使人患该种疾病的概率是 0.001, 则该人群患这种疾病的概率等于______. 2、设随机变量 X 服从参数为

λ 的指数分布, c 是一个常数,则

P( X = c) = _____________.

0< y< x , ?2 0 < x < 1 ,则 3、设 ( X,Y ) ~ f ( x,y ) = ? 其他 ?0
EXY = ________ .
4、已知随机变量 F ~ F (m, n) ,则对给定的显著性水平 α = 0.025 ,

(12 分)设二维离散型随机变量 X 、 Y 的概率分布为: 2、

Y X

0 1 4 0 1 12

1 0 1 3 0

2 1 4 0 1 12

0 1 2

F0.025 (m, n) = ______.
5、设 X 1, X 2, , X 8 为来自总体 N ( μ , σ ) 的样本,假设检验问题为
2

(1)求 P ( X = 2) 、 P ( X + Y = 2) ; (2)判断随机变量 X 、Y 是否相互 独立; (3)计算 DX , DY , D( X ? 2Y ) ; (4)求 ρ XY 。

H 0:μ ≤ 0 , H 1:μ > 0 ,则在 H 0 成立的条件下, 对显著性水平 0.05,
拒绝域为_________.

56

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(10 分)某保险公司每月接待顾客 10000 人。设每位顾客的消费额是随 3、 机变量,期望值为 500 元,标准差为 300 元,且各顾客的消费额是相互独 立的。试用中心极限定理求该公司的月营业额超过 505 万元的概率。

?(α + 1) x α (10 分)设总体 X 的概率密度为 f ( x; α ) = ? 5、 ? 0

0 < x <1
其他



(α > -1) , x1 , x 2 ,
大似然估计量。

, x n 是来自总体的样本值,求参数 α 的矩估计量与最

( 15 分 ) 设 随 机 变 量 X 在 区 间 (0, 1) 上 服 从 均 匀 分 布 , 在 4、

X = x(0 < x < 1) 的条件下,随机变量 Y 在区间 (0,x) 上服从均匀分布,
求:(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度;(2) Y 的概率密度; (3) 概率 ( 10 分)某第三方支付机构,高峰时段网购订单的支付成功率服从 6、

P{ X + Y > 1} 。

N (μ ,σ 2 ) , 现抽取“双 11”期间的高峰时段订单进行检测, 支付成功率 (%)
为:45.3,45.4,45.1,45.3,45.5,45.7,45.4,45.3,45.6,试求总体标 准差的 0.95 的置信区间。

57

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四、分析题(每题 5 分,共 5 分) 设随机变量 X 与 Y 独立同分布,且 X 的分布函数为 F ( x) ,试问:

Z = max{X , Y } 的分布函数为 F ( x) F ( y ) 吗?请给出详细的分析过程。

(10 分)根据历年数据,甲、乙两位股民所购买股票的利润率分别服从 7、

N ( μ1 ,7.5) , N ( μ 2 ,2.6) 。现从两位股民账户中抽取几只股票,分析其盈
利情况,发现利润率为(%) : 甲:24.3,20.8,23.7,21.3,17.4; 乙:18.2,16.9,20.2,16.7, 试问,在显著性水平为 0.05 的前提下,甲、乙两位股民所购买股票的平均 利润率有无明显差异? 本次考试可能用到的分位数:

Φ 0 (1.64) = 0.95 , Φ 0 (1.96) = 0.975 , Φ 0 (1.67) = 0.953 ,
t0.025 (7) = 2.365 , t0.025 (8) = 2.306 , t0.05 (7) = 1.895 , t0.05 (8) = 1.860 ,

χ 02.025 (9) = 19.023 , χ 02.025 (8) = 17.535 , χ 02.05 (9) = 16.919 , χ 02.05 (8) = 15.507 ,χ 02.975 (8) = 2.18 ,χ 02.975 (9) = 2.7 ,χ 02.95 (8) = 2.733 , χ 02.95 (9) = 3.325

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