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常用逻辑用语知(教师版)


常用逻辑用语
知识点一:命题:
1. 定义: 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题. (1)命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示,如 p,q,r,m,n 等. (2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理 等都是真 命题 (3)命题“ ”的真假判定方式: ”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定” 一定推出 . ”是一个假命题,只需要找到一个反例即可.

① 若要判断命题“ 能帮助判断。如: ② 若要判断命题“ 注意:“ 2. 逻辑联结词:

不一定等于 3”不能判定真假,它不是命题.

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. (1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. (2)复合命题的构成形式: ①p 或 q;②p 且 q;③非 p(即命题 p 的否定). (3)复合命题的真假判断(利用真值表): 非 真 真 假 假 真 假 真 假 假 假 真 真 真 真 真 假 真 假 假 假

①当 p、q 同时为假时,“p 或 q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”; ②当 p、q 同时为真时,“p 且 q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。 ③“非 p”与 p 的真假相反. 注意: (1)“或”、“且”联结的命题的否定形式: “p 或 q”的否定是“ p且 q”; “p 且 q” 的否定是“ p或 q”.

(2) 对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。

典型例题
1.判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真假,若不是,说明理由。
1

(1)矩形难道不是平行四边形吗? (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)求证: x ? R ,方程 x ? x ? 1 ? 0 无实根.
2

(4) x ? 5 (5)人类在 2020 年登上火星. 2(江西卷)下列命题是真命题的为( )

1 1 ? x y ,则 x ? y A.若
C.若

B.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

x ? y ,则 x ? y

D.若

x ? y ,则 x 2 ? y 2

3(广东)已知命题

p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,
) C. (?p) ? (?q) ) D. (?p) ? (?q)

则下列命题中为真命题的是( A. (?p) ? q 4(北京)若 (A) (C) B.

p?q

p 是真命题, q 是假命题,则(
(B)

p ? q 是真命题

p ? q 是假命题 ? q 是真命题

? p 是真命题

(D)

知识点二:四种命题
1. 四种命题的形式: 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若 p则 q; 逆否命题:若 q则 p. p和 q 分别表示 p 和 q 的否定,则四种命题的形式为:

2. 四种命题的关系:

①原命题 ②逆命题

逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一. 否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
2

四种命题及其关系:
2 5.写出“若 x ? 2 或 x ? 3 ,则 x ? 5x ? 6 ? 0 ”的逆命题、否命题、逆否命题及

命题的否定,并判其真假。 解:
2 逆命题:若 x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 或 x ? 3 ,是真命题; 2 否命题:若 x ? 2 且 x ? 3 ,则 x ? 5x ? 6 ? 0 ,是真命题; 2 逆否命题:若 x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 且 x ? 3 ,是真命题。 2 命题的否定:若 x ? 2 或 x ? 3 ,则 x ? 5x ? 6 ? 0 ,是假命题。

知识点三:充分条件与必要条件:
1. 定义: 对于“若 p 则 q”形式的命题: ①若 p ②若 p q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件; p,记作 p q,则 p 是 q 的充分必要条件(充要条件). )

③若既有 p

q,又有 q

6(2011 安徽)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是( (A)p: a ? c >b+d , (B)p: a>1,b>1 (C)p: x=1, (D)p: a>1, q: a >b 且 c>d

q: f ( x) ? a ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限
x

q: x ? x
2

q:

f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

3 3

7(2011 全国大纲)使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是( (A) a>b ? 1 (B) a>b ? 1
2 2 (C) a >b

(D) a >b )

8(2011 福建).若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 9(2012 江西)“ B.必要而不充分条件

D.既不充分又不必要条件

x? y

”是“

x ? y ”的(



A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3

知识点四:全称量词与存在量词:
1. 全称量词与存在量词: 全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常 用符号“ ”表示,读作“对任意”。含有全称量词的命题,叫做全称命题。

存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”,“存在一个”, “至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“ ”表示,读作“存在”。含有 存在量词的命题,叫做特称命题 2. 对含有一个量词的命题进行否定: (I)对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题 p: ,他的否定 : 全称命题的否定是特称命题。

(II)对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题 p: ,他的否定 : 特称命题的否定是全称命题。

注意:一些常见的词的否定: 正面词 否定词 等于 不等于 大于 不大于 小于 不小于
2

是 不是

都是 不都是

一定是 一定不是

至少一个 一个也没有

至多一个 至少两个

11.已知 p: 4 x ? m ? 0 ,q: x ? x ? 2 ? 0 ,若 p 是 q 的一个充分不必要条件,求 m 的取值

范围.

12.命题 p:关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对任意 x ? R 恒成立;
2

命题 q:函数 y ? (a ? 1) x ? b 在 R 上递增 若 p ? q 为真,而 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。

4

课后练习: 1.若非空集合 A, B, C 满足 A B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则(
B

)

A.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B.“ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 C.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D.“ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件 2. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件


2 3. 命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( D

,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

4.命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( C A.不存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2



B.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

5.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“ a ? b ”是“ ac ? bc ”充要条件; B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B )

②“ a ? 5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 8.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( D ) A.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 9.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( C ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 10.例:已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 答案:m 的取值 范围是(1,2]∪[3,+∞).
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