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【教育专用】2018北师大版高中数学必修一学案:第一章 2 集合的基本关系 Word版含答案

教育学习+K12

学习目标

1.理解子集、 集合相等、 真子集的概念.2.能用符号和 Venn 图表达集合间的关系.3.

掌握列举有限集的所有子集的方法.

知识点一 子集 思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合,则这两个集合中的元素有什么关系?

梳理 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的______________元素都是集合 B 中 的元素,即若 a∈A,则 a∈B,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,称集 合 A 为集合 B 的子集,记作 ____________( 或 __________) ,读作 “____________”( 或 “____________”). 子集的有关性质: (1)?是任何集合 A 的子集,即??A. (2)任何一个集合是它本身的子集,即________. (3)对于集合 A,B,C,如果 A?B,且 B?C,那么________. (4)若 A?B,B?A,则称集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 知识点二 真子集 思考 在知识点一里,我们知道集合 A 是它本身的子集,那么如何刻画至少比 A 少一个元 素的 A 的子集?

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梳理

如果集合 A?B,但 A≠B,称集合 A 是集合 B 的真子集,记作:__________(或

__________),读作:________________(或______________). 知识点三 Venn 图 思考 图中集合 A,B,C 的关系用符号可表示为__________.

梳理 一般地,用平面上________曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图.Venn 图可 以直观地表达集合间的关系.

类型一 求集合的子集 例 1 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集; (2)若一个集合有 n(n∈N)个元素,则它有多少个子集?多少个真子集?验证你的结论.

反思与感悟

为了罗列时不重不漏, 要讲究列举顺序, 这个顺序有点类似于从 1 到 100 数数:

先是一位数,然后是两位数,在两位数中,先数首位是 1 的等等. 跟踪训练 1 适合条件{1}?A {1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是( A.15 C.31 类型二 判断集合间的关系 命题角度1 概念间的包含关系 例 2 设集合 M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之 教育学习+K12 B.16 D.32 )

教育学习+K12 间的关系为( )

A.P?N?M?Q B.Q?M?N?P C.P?M?N?Q D.Q?N?M?P 反思与感悟 义. 跟踪训练 2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用 N、Z、Q、R 表示,用符号表示 N、Z、Q、R 的关系为______________. 命题角度2 数集间的包含关系 例 3 设集合 A={0,1},集合 B={x|x<2 或 x>3},则 A 与 B 的关系为( A.A∈B C.A?B 反思与感悟 判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察. (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特 征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或 Venn 图. 跟踪训练 3 已知集合 A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则( A.A∈B C.B A 类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围) 例 4 已知集合 A={x|x2-x=0},B={x|ax=1},且 A?B,求实数 a 的值. B.A B D.B?A ) B.B∈A D.B?A ) 一个概念通常就是一个集合,要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定

反思与感悟 集合 A 的子集可分三类:?、A 本身,A 的非空真子集,解题中易忽略?. 教育学习+K12

教育学习+K12 跟踪训练 4 已知集合 A={x|1<x<2},B={x|2a-3<x<a-2},且 A?B,求实数 a 的取值范 围.

1.下列说法: ①空集没有子集; ②任何集合至少有两个子集; ③空集是任何集合的真子集; ④若? A,则 A≠?. )

其中正确的个数是(

A.0 B.1 C.2 D.3 2.集合 P={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则 P 与 T 的关系为( A.P T B.P∈T C.P=T D.P T ) B.A?A D.?∈A ) )

3.下列关系错误的是( A.??? C.??A

4.下列正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的 Venn 图是(

5.若 A={x|x>a},B={x|x>6},且 A?B,则实数 a 可以是( A.3 B.4 C.5 D.6

)

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1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A,能推出 x∈B,这是判断 A ?B 的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”,因为若 A=?时,则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A B 首先要满足 A?B,其次至少有一个 x∈B,但 xD∈/A. 2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集, 有 2n-2 个非空真子集.写集合的子集时,空集和集合本身易漏掉. 3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点:①不能忽视集合为?的情形; ②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. (2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常 采用数形结合的思想,借助数轴解答.

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答案精析
问题导学 知识点一 思考 所有的白马都是马,马不一定是白马. 梳理 任何一个 知识点二 思考 用真子集. 梳理 A B B A A 真包含于 B B 真包含 A 知识点三 思考 A?B?C 梳理 封闭 题型探究 例1 解 (1)?,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}, A?B B?A A 包含于 B B 包含 A (2)A?A (3)A?C

{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}. (2)若一个集合有 n(n∈N)个元素,则它有 2n 个子集,2n-1 个真子集.如?,有 1 个子集, 0 个真子集. 跟踪训练 1 A [这样的集合 A 有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3},{1,2,4},

{1,2,5} , {1,3,4} , {1,3,5} , {1,4,5} , {1,2,3,4} , {1,2,3,5} , {1,2,4,5} , {1,3,4,5} 共 15 个.] 例2 B [正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,所以选 B.] Z Q R

跟踪训练 2 N 例3 C

[∵0<2,∴0∈B.

又∵1<2,∴1∈B. ∴A?B.] 跟踪训练 3 A B.] B [由数轴易知 A 中元素都属于 B,B 中至少有一个元素如-2?A,故有

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例4 解

A={x|x2-x=0}={0,1}.

(1)当 a=0 时,B=??A,符合题意. 1 (2)当 a≠0 时,B={x|ax=1}={ }, a 1 1 ∵ ≠0,要使 A?B,只有 =1,即 a=1. a a 综上,a=0 或 a=1. 跟踪训练 4 解 (1)当 2a-3≥a-2,

即 a≥1 时,B=??A,符合题意. (2)当 a<1 时,要使 A?B, a<1, ? ? 需满足?2a-3≥1, ? ?a-2≤2,

这样的实数 a 不存在.

综上,实数 a 的取值范围是{a|a≥1}. 当堂训练 1.B 2.A 3.D 4.B 5.D

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