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2013年四川省南充市高考数学一模试卷(理科)


2013 年四川省南充市高考数学一模试卷(理科)

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2013 年四川省南充市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. 分) (5 (2011?天津)i 是虚数单位,复数 A.2﹣i B.2+i
x

=(

) C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i

2. 分)已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩ UB)=( (5 (? ) A.{x|x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.{x|x<0} 3. 分)设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥ 的一个充分条件为( (5 b ) A.a⊥ c,b⊥ c B.α⊥ β,a?α,b?β C.a⊥ α,b∥ α D.a⊥ α,b⊥ α 4. 分)已知命题 (5 A. C. 是( B. D. )

5. 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ (5 A. C. 向左平移 向左平移 个长度单位 个长度单位

)的图象,只需把函数 y=sin(2x+ B. 向右平移

)的图象(



个长度单位 个长度单位

D. 向右平移

6. 分)函数 y=loga(|x|+1) (5 (a>1)的图象大致是( ) A. B. C.

D.

7. 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是( (5



A.﹣1

B.

C.

D.4

8. 分)设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,a2、a4 是方程 x ﹣2x+b=0 的两个根,则 S5 等于( (5 A.5 B.﹣5 C. D. ﹣

2



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www.jyeoo.com 9. 分) (5 (2012?湛江)已知三角形 ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于 E、F 两 点,若 A..9 = (λ>0) , =μ B. (μ>0) ,则 的最小值是( C.5 )ks5u. D.

10. 分)已知 F1(﹣c,0) 2(c,0)为椭圆 (5 ,F 椭圆离心率的取值范围是( ) A. B.

的两个焦点,P 为椭圆上一点且

,则此

C.

D.

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11. 分)已知某个几何体的三视图如图所示(正视图弧线是半圆) (5 ,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这 3 个几何体的体积是 _________ cm .

12. 分)若(ax﹣1) 的展开式中 x 的系数是 80,则实数 a 的值是 _________ . (5 13. 分)在体积为 V 的三棱锥 S﹣ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 P﹣SBC 的体积大于 的概率是 (5 _________ . 14. 分) (5 (2002?北京)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切线,A, B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 _________ . 15. 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d,定义 y=f″ (5 (x)是函数 y=f′ (x)的导函数.若方程 f″ (x)=0 有 实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称 中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数 g(x)= x ﹣ x +3x+
3 2 3 2 2 2

5

3

+

,则

…+

的值为 _________ .

三、解答题(共 6 小题,共 75 分)
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www.jyeoo.com 16. (12 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. ,且 (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )若 a=1, .求 S△ABC. . ,

17. (12 分)某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩(得分均为整数, 满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表.

(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (2)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答 4 道小题,答对 2 道题就终止答题,并获得一等奖.如果前三 道题都答错,就不再答第四题.某同学进入决赛,每道题答对的概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频 率的值相同. ① 求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率; ② 记该同学决赛中答题个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 18. (13 分)如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥ 平面 ABCD,AF∥ DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (Ⅰ )求证:AC⊥ 平面 BDE; (Ⅱ )求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值; (Ⅲ )设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥ 平面 BEF,并证明你的结论.

19. (12 分)设数列{an}的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,已知对任意 n∈N ,Sn 是 (Ⅰ )证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )证明 .

*

和 an 的等差中项.

20. (12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0,﹣1) ,且其右焦点到直线 距离为 3. (1)求椭圆的方程;



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www.jyeoo.com (2) 是否存在斜率为 k (k≠0) 且过定点 , 的直线 l, l 与椭圆交于两个不同的点 M、 且|BM|=|BN|? 使 N,

若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x(1nx+1) (x>0) . (I)求函数 f(x)的最小值; 2 (II)设 F(x)=ax +f′ (x) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性; (III)若斜率为 k 的直线与曲线 y=f′ (x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 1<x2)两点,求证: (x .

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2013 年四川省南充市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. 分) (5 (2011?天津)i 是虚数单位,复数 A.2﹣i B.2+i =( ) C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可. 解答: 解:复数 =
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故选 A 点评: 本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,注意分母实数化,考查计算能力,常考题型. 2. 分)已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩ UB)=( (5 (? ) A.{x|x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.{x|x<0} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 解指数不等式可以求出集合 A,解对数不等式可以求出集合 B,进而求出?UB,根据集合并集运算的定义, 代入可得答案. x 解答: 解:∵ A={x|0<2 <1}{x|x<0}, B={x|log3x>0}={x|x>1}, 所以 CUB={x|x≤1}, ∴ (CUB)={x|x<0}. A∩ 故选 D 点评: 本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算,其中解指数不等式和对数不等式分别求出集合 A,B,是 解答本题的关键.
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x

3. 分)设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥ 的一个充分条件为( (5 b ) A.a⊥ c,b⊥ c B.α⊥ β,a?α,b?β C.a⊥ α,b∥ α D.a⊥ α,b⊥ α 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: A:若 a⊥ c,b⊥ c,则直线 a 与直线 b 可能异面,可能平行,可能垂直.B:若 α⊥ β,a?α,b?β,则直线 a 与直线 b 可能异面,可能平行,可能垂直.C:若 a⊥ α,b∥ α,则根据线与线的位置关系可得 a⊥ b.D:若 a⊥ α, b⊥ α,则可得 a∥ b. 解答: 解:A:若 a⊥ c,b⊥ c,则直线 a 与直线 b 可能异面,可能平行,可能垂直,所以此答案错误. B:若 α⊥ β,a?α,b?β,则直线 a 与直线 b 可能异面,可能平行,可能垂直,所以此答案错误. C:若 a⊥ α,b∥ α,则根据线与线的位置关系可得 a⊥ b,所以 C 正确. D:若 a⊥ α,b⊥ α,则根据线面垂直的性质定理可得 a∥ b. 故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握与线面位置关系有关的判定定理以及性质定理.
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www.jyeoo.com 4. 分)已知命题 (5 A. C. 是( B. D. )

考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 特称命题“?x0∈R+,使 log2x0=1 成立”的否定是:把?改为?,其它条件不变,然后否定结论,变为一个全称 + 命题.即“?x0∈R ,均有 log2x0≠1 成立”. 解答: 解:特称命题“?x0∈R+,使 log2x0=1 成立”的否定是全称命题“?x0∈R+,均有 log2x0≠1 成立”. 故选 A. 点评: 本题考查了含有量词的命题的否定,属于基础题.
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5. 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ (5 A. C. 向左平移 向左平移 个长度单位 个长度单位

)的图象,只需把函数 y=sin(2x+ B. 向右平移

)的图象(



个长度单位 个长度单位

D. 向右平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 先将 2 提出来,再由左加右减的原则进行平移即可. 解答: 解:y=sin(2x+ )=sin2(x+ ) ,y=sin(2x﹣ )=sin2(x﹣
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) , )的图象,

所以将 y=sin(2x+

)的图象向右平移

个长度单位得到 y=sin(2x﹣

故选 B. 点评: 本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的 x 来说的. 6. 分)函数 y=loga(|x|+1) (5 (a>1)的图象大致是( ) A. B. C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 先画 y=logax,然后将 y=logax 的图象向左平移 1 个单位得 y=loga(x+1) ,再保留 y=loga(x+1)图象在 y 轴 的右边的图象,y 轴左边的图象与之对称即得到函数 y﹣loga(|x|+1) (a>1)的大致图象. 解答: 解:先画 y=logax, 然后将 y=logax 的图象向左平移 1 个单位得 y=loga(x+1) , 再保留 y=loga(x+1)图象在 y 轴的右边的图象, y 轴左边的图象与之对称即得到函数 y﹣loga(|x|+1) (a>1)的大致图象.
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www.jyeoo.com 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的图象和性质,解题时要注意图象的变换. 7. 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是( (5 )

A.﹣1

B.

C.

D.4

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算变量 S 的值并输出. 解答: 解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: 是否继续循环 S i 循环前/4 1 第一圈 是﹣1 2
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第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈 第七圈 第八圈

是 是

3 4

是4 5 是﹣1 6 是 是 否 . 7 8

故最后输出的 S 值为

故选 C. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是: 分析流程 :① 图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与 运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?② 建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择 恰当的数学模型③ 解模. 8. 分)设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,a2、a4 是方程 x ﹣2x+b=0 的两个根,则 S5 等于( (5 A.5 B.﹣5 C. D. ﹣
2



考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:

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由等差数列的性质可得 2a3=2,而 S5= 解答: 解:由题意可得 a2+a4=2,

=

,代入化简可得答案.

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www.jyeoo.com 由等差数列的性质可得 2a3=a2+a4=2, 故 S5= = =5

故选 A 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 9. 分) (5 (2012?湛江)已知三角形 ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于 E、F 两 点,若 A..9 = (λ>0) , =μ B. (μ>0) ,则 的最小值是( C.5 )ks5u. D.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由已知可得

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=

=

=x

=



,从而可得 λ,μ 的关系,利用基本不等式可求 解答: 解:由 D,E,F 三点共线可设 ∵ = ∴ = ∵ 为 BC 的中点 D ∴ (λ>0) , = =μ = (μ>0) =x



∴ 则 当且仅当

即 λ+μ=2 = ( 即 ) (λ+μ)= 时取等号

故选 D 点评: 本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用,解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等 式的条件.

10. 分)已知 F1(﹣c,0) 2(c,0)为椭圆 (5 ,F 椭圆离心率的取值范围是( )

的两个焦点,P 为椭圆上一点且

,则此

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www.jyeoo.com A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 分析: 设 P(m,n ) ,由 得到 n =2c ﹣m ① .把 P(m,n )代入椭圆得到 b m +a n =a b ② ,
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把① 代入② 得到 m 的解析式,由 m ≥0 及 m ≤a 求得 的范围. 解答: 解:设 P(m,n ) , ∴ +n =2c ,n =2c ﹣m m
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

=(﹣c﹣m,﹣n)?(c﹣m,﹣n)=m ﹣c +n , ① . 得 b m +a n =a b
2 2 2 2 2 2

2

2

2

把 P(m,n )代入椭圆

② ,

把① 代入② m = 得
2 2 2 2 2

2

≥0,∴ b ≤2a c , a

2 2

2 2

b ≤2c ,a ﹣c ≤2c ,∴ ≥
2 2


2



m ≤a ,∴
2

≤a ,∴

≤0,

a ﹣2c ≥0,∴ ≤ 综上, ≤ ≤

2

. ,

故选 C. 点评: 本题考查两个向量的数量积公式,以及椭圆的简单性质的应用. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11. 分)已知某个几何体的三视图如图所示(正视图弧线是半圆) (5 ,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这 3 个几何体的体积是 8+π cm .

考点: 由三视图求面积、体积.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 三视图复原几何体是一个组合体,上部是圆柱的一半,下部是正方体,根据三视图的数据,求出几何体的 体积. 解答: 解:三视图复原几何体是一个组合体,上 部是圆柱的一半,底面是一个半圆,半径为 1,高为 2 的半圆柱;下部是正方体,棱长为 2, ; 正方体体积是:8;半圆柱的体积为:π; 所以组合体的体积:8+π; 故答案为 8+π. 点评: 本题考查由三视图求组合体的体积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题. 12. 分)若(ax﹣1) 的展开式中 x 的系数是 80,则实数 a 的值是 2 . (5 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. ﹣ ﹣ ﹣ 分析: 二项展开式的通项 Tr+1=C5r(ax)5 r(﹣1)r=(﹣1)ra5 rC5rx5 r,令 5﹣r=3 可得 r=2,从而有 a3C52=80 可求 a 的值. ﹣ ﹣ ﹣ 解答: 解:二项展开式的通项 Tr+1=C5r(ax)5 r(﹣1)r=(﹣1)ra5 rC5rx5 r 令 5﹣r=3 可得 r=2
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5

3

∴ C5 =80 a ∴ a=2 故答案为:2 点评: 本题主要考查了特定项的系数,以及二项展开式的通项,同时考查了计算能力,属于基础题.

3

2

13. 分)在体积为 V 的三棱锥 S﹣ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 P﹣SBC 的体积大于 的概率是 (5



考点: 几何概型;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 概率与统计. 分析: 首先分析题目,将原问题等价转化为:求△ PBC 的面积大于
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S△ABC 的概率,可借助于画图求解的方法,然

后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度,再根据几何关系求解出它们的比例即 可. 解答: 解:如图,由于三棱锥 P﹣SBC 和三棱锥 S﹣PBC 的体积相等, 三棱锥 S﹣PBC 与三棱锥 S﹣ABC 等高, 故在体积为 V 的三棱锥 S﹣ABC 的棱 AB 上任取一点 P,三棱锥 P﹣SBC 的体积大于 , 即在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△ PBC 的面积大于等于 即可. 记事件 A={△ PBC 的面积大于 },

基本事件空间是线段 AB 的长度, (如图) 因为 S△PBC> ,则有 化简记得到: > , > ; BC?PE> × BC?AD;

因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性

所以,事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度,
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www.jyeoo.com 因为 AP= AB, 所以△ PBC 的面积大于 S 的概率= 故答案为: . = .

点评: 解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积,并且熟练记忆有关的概率 公式. 14. 分) (5 (2002?北京)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切线,A, B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 . 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由圆的方程为求得圆心 C(1,1) 、半径 r 为:1,由“若四边形面积最小,则圆心与点 P 的距离最小时,即 距离为圆心到直线的距离时,切线长 PA,PB 最小”,最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解. 2 2 解答: 解:∵ 圆的方程为:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 ∴ 圆心 C(1,1) 、半径 r 为:1 根据题意,若四边形面积最小 当圆心与点 P 的距离最小时,距离为圆心到直线的距离时, 切线长 PA,PB 最小 圆心到直线的距离为 d=3
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2

2

∴ |PA|=|PB|= ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,主要涉及了构造四边形及其面积的求法,同时,还考查了转化思想.

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www.jyeoo.com 3 2 15. 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d,定义 y=f″ (5 (x)是函数 y=f′ (x)的导函数.若方程 f″ (x)=0 有 实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称 中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数 g(x)= x ﹣ x +3x+
3 2

+

,则

…+

的值为 3018 .

考点: 导数的运算. 专题: 新定义;导数的概念及应用. 分析: 利用导数求出函数拐点,再利用拐点的意义及中心对称的性质即可得出. 解答: ′ 2 ″ 解:令 h(x)= ,则 h (x)=x ﹣x+3,h (x)=2x﹣1,
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令 h (x)=0,解得 心. . ∴ ∴ 设 u(x)=



,又

,∴ 函数 h(x)的拐点为

,即为函数 h(x)的对称中

=

=3. …+ =3×1006=3018. 中心对称.

,可知其图象关于点

∴ ∴ ∴

= …+ =0. …+

=…,

=3018.

故答案为 3018. 点评: 熟练掌握函数导数的运算性质及拐点的意义及中心对称的性质是解题的关键. 三、解答题(共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. ,且 (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )若 a=1, .求 S△ABC. 考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系;解三角形. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )由 ,得 ,即 ,求得 . (Ⅱ )由 a=1, 解答: 解: (1)∵ ,∴ ,余弦定理 b +c ﹣a =2bc?cosA 得 c =1,由 ,∴ ,即∴ .
2 2 2 2





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求得结果.

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www.jyeoo.com ∵ 为△ A ABC 的内角,∴ 0<A<π,∴ (Ⅱ )若 a=1, 所以
2


2 2 2

.由余弦定理 b +c ﹣a =2bc?cosA 得 c =1, .

点评: 本题考查两角差的余弦公式的应用,根据三角函数的值求角,余弦定理的应用,求出 A 的大小,是解题的 关键. 17. (12 分)某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩(得分均为整数, 满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表.

(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (2)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答 4 道小题,答对 2 道题就终止答题,并获得一等奖.如果前三 道题都答错,就不再答第四题.某同学进入决赛,每道题答对的概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频 率的值相同. ① 求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率; ② 记该同学决赛中答题个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)根据样本容量,频率和频数之间的关系得到要求的几个数据,注意第三个数据是用样本容量减去其他 三个数得到. (2)① 该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖,即前 3 道题中刚好答对 1 道,第 4 道也能够答对才获得一等 奖,根据相互独立事件的概率公式得到结果. ② 答对 2 道题就终止答题,并获得一等奖,所以该同学答题个数为 2、3、4.即 X=2、3、4,结合变量对应 的概率,写出分布列和期望. 解答: 解: (1)根据样本容量,频率和频数之间的关系得到① 0.16×50=8② =0.44
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③ 50﹣8﹣22﹣14=6④ =0.12 (2)由(1)得,p=0.4, ① 该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖,即前 3 道题中刚好答对 1 道, 第 4 道也能够答对才获得一等奖, 1 2 则有 C3 ×0.4×0.6 ×0.4=0.1728. ② 答对 2 道题就终止答题,并获得一等奖, ∴ 该同学答题个数为 2、3、4. 即 X=2、3、4, 2 P(X=2)=0.4 =0.16, 1 3 P(X=3)=C2 0.4×0.6×0.4+0.6 =0.408, 1 2 P(X=4)=C3 0.4×0.6 =0.432, ∴ 分布列为:

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∴ EX=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272. 点评: 本小题考查频率、频数和样本容量之间的关系,考查离散型随机变量的随机变量的分布列及数学期望,是 一个综合题. 18. (13 分)如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥ 平面 ABCD,AF∥ DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (Ⅰ )求证:AC⊥ 平面 BDE; (Ⅱ )求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值; (Ⅲ )设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥ 平面 BEF,并证明你的结论.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;向量方法证明线、面的位置关系定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)由已知中 DE⊥ 平面 ABCD,ABCD 是边长为 3 的正方形,我们可得 DE⊥ AC,AC⊥ BD,结合线面垂直 的判定定理可得 AC⊥ 平面 BDE; (Ⅱ )以 D 为坐标原点,DA,DC,DE 方向为 x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面 BEF 和平面 BDE 的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值; (Ⅲ )由已知中 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0) .根据 AM∥ 平面 BEF,则直线 AM 的方向向量 与平面 BEF 法向量垂直,数量积为 0,构造关于 t 的方程,解方程,即可确定 M 点的位置. 解答: 证明: )因为 DE⊥ (Ⅰ 平面 ABCD,所以 DE⊥ AC. 因为 ABCD 是正方形,所以 AC⊥ BD, 从而 AC⊥ 平面 BDE.…(4 分) 解: )因为 DA,DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示. (Ⅱ 0 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ,即∠ DBE=60°,
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所以

. , . , , . ,B(3,3,0) ,C(0,3,0) ,

由 AD=3,可知 则 A(3,0,0) , 所以

设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 令 ,则 n= .

,即



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www.jyeoo.com 因为 AC⊥ 平面 BDE,所以 为平面 BDE 的法向量, .

所以



因为二面角为锐角,所以二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值为 (Ⅲ )点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0) . 则 因为 AM∥ 平面 BEF, 所以 =0,即 4(t﹣3)+2t=0,解得 t=2. .

.…(8 分)

此时,点 M 坐标为(2,2,0) , 即当 时,AM∥ 平面 BEF.…(12 分)

点评: 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与平面垂直的判定,向量法确定直线与平面 的位置关系,其中(I)的关键是证得 DE⊥ AC,AC⊥ BD,熟练掌握线面垂直的判定定理, (II)的关键是建 立空间坐标系,求出两个半平面的法向量,将二面角问题转化为向量夹角问题, (III)的关键是根据 AM∥ 平面 BEF,则直线 AM 的方向向量与平面 BEF 法向量垂直,数量积为 0,构造关于 t 的方程. 19. (12 分)设数列{an}的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,已知对任意 n∈N ,Sn 是 (Ⅰ )证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )证明 .
*

和 an 的等差中项.

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www.jyeoo.com 考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )由 Sn 是 和 an 的等差中项,知 2Sn=
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,且 an>0,由此能够证明数列{an}为等差数列,并能

求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ )由 an=n,则 解答: 解: )∵ 是 (Ⅰ Sn ∴ n= 2S ,故 =2( ) ,由此能够证明 .

和 an 的等差中项,

,且 an>0, +a1,解得 a1=1, +an﹣1, , , =an+an﹣1,

当 n=1 时,2a1=

当 n≥2 时,有 2Sn﹣1= ∴ n﹣2Sn﹣1= 2S 即 ∴

即(an+an﹣1) n﹣an﹣1)=an+an﹣1, (a ∵n+an﹣1>0, a ∴n﹣an﹣1=1,n≥2, a ∴ 数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,且 an=n. (Ⅱ an=n, )∵ 则 ∴ ∴ =2[(1﹣ )+( =2(1﹣ ∴ )<2. . )+…+( )] , =2( ) ,

点评: 本题考查等差数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明.解题时要认真审题,仔细解 答,注意裂项求和法的合理运用. 20. (12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0,﹣1) ,且其右焦点到直线 距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2) 是否存在斜率为 k (k≠0) 且过定点 , 的

的直线 l, l 与椭圆交于两个不同的点 M、 且|BM|=|BN|? 使 N,

若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
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www.jyeoo.com 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题. 分析: (1) 设椭圆的方程为 由此能求出椭圆的方程. (2) 直线 l 的方程 y=kx+ , 代入椭圆方程, (1+3k ) +9kx+ 得 x
2 2

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, 由已知得 b=1. 设右焦点为 (c, , 0) 由题意得



=0. =81k ﹣15 1+3k ) 得 由△ ( >0

2

2



设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则

,设 M、N 的中点为 P,则点 P 的坐标为

.由此入手能够导出直线 l 的方程. 解答: 解: (1)设椭圆的方程为 ,由已知得 b=1.

设右焦点为(c,0) ,由题意得 ∴ =b +c =3. a ∴ 椭圆的方程为 .
2 2 2

,∴



(2)直线 l 的方程 y=kx+ ,代入椭圆方程,得 (1+3k )x +9kx+
2 2 2

=0.
2

由△ =81k ﹣15(1+3k )>0 得 设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 ,



设 M、N 的中点为 P,则点 P 的坐标为 ∵ |BM|=|BN|,∴ B 在线段 MN 的中垂线上. 点



,化简,得





,∴



所以,存在直线 l 满足题意,直线 l 的方程为 或 .

点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含
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www.jyeoo.com 条件. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x(1nx+1) (x>0) . (I)求函数 f(x)的最小值; (II)设 F(x)=ax +f′ (x) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性; (III)若斜率为 k 的直线与曲线 y=f′ (x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 1<x2)两点,求证: (x .
2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (I)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数 f(x)的最小值; (II)确定函数的定义域,求导函数,对 a 讨论,利用导数的正负,考查函数的单调区间; (III)确定 y=f′ (x)的定义域,求导函数,确定 y=f′ (x)在(0,+∞)上为增函数,从而可得结论. 解答: (I)解:求导函数可得:f′ (x)=lnx+2(x>0)
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令 f′ (x)>0 可得 x>e ;令 f′ (x)<0 可得 0<x<e , ﹣2 ﹣2 ∴ 函数在(0,e )上单调减,在(e ,+∞)上单调增 ﹣2 ﹣2 ∴ x=e 时,函数 f(x)取到最小值,最小值为﹣e ; (II)解:设 F(x)=ax +f′ (x)=ax +lnx+2,则 F′ (x)=2ax+ =
2 2

﹣2

﹣2

(x>0)

当 a≥0 时,∵ x>0,∴ (x)>0 恒成立,∴ F′ 函数 F(x)单调增区间为(0,+∞) ; 当 a<0 时,∵ x>0,令 F′ (x)>0,可得 ∴ 函数 F(x)单调增区间为 ;令 F′ (x)>0,可得 ,单调减区间为 ;

(III)证明:y=f′ (x)的定义域为(0,+∞) ∵ (x)= >0,∴ (x)在(0,+∞)上为增函数 f″ y=f′ ∴ 0<f′ 2)<k<f′ 1) (x (x ∴ ∴ .

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查导数的几何意义,属于中档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:翔宇老师;minqi5;zlzhan;qiss;caoqz;吕静;刘长柏;涨停;孙佑中;wsj1012; wodeqing;haichuan;lincy(排名不分先后)
菁优网 2013 年 6 月 9 日

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