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2013高中数学高考题详细分类考点9 函数与方程、函数模型及其应用

考点 9 函数与方程、函数模型及其应用
一、选择题 1.( 2013 ·四川高考理科·T 10)设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对 数的底数).若曲线 y ? sin x 上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围 是( A. [1, e] ) B. [e?1 , -11] , C. [1, e ? 1] D. [e?1 -1,e ? 1]

【解题指南】本题综合考查了函数的图象以及转化化归能力 ,本题中的 f(f(y 0))=y0 是解题的突破口 . 【解析】选 A. 由于曲线 y ? sin x 上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,可知 y0 ??0,1? , 并且由 f ( f ( y0 )) ? y0 可得 f ( y0 ) ? y0 (推导过程可以用反证法证明),即
e y0 ? y0 ? a ? y0 , 整理得 e y0 ? a ? y02 ? y0 , 结合二者的图象以及 y0 ??0,1? , 可得 a 的

取值范围是 [1, e] ,故选 A. 2. ( 2013 ·四川高考文科·T 10 )设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然 对数的底数)。若存在 b ?[0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是( A. [1, e] B. [1,1? e ] C. [e,1? e ] D. [0,1] )

【解题指南】根据题意,分析的关键是存在 b ?[0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,将这一 条件进行转化为 f (b) ? b ,进行求解即可 . 【解析】选 A,由题 b ??0,1? ,并且由 f ( f (b)) ? b 可得 f (b) ? b (推导过程可以用 反证法证明),即 eb ? b ? a ? b ,整理得 eb ? a ? b2 ? b,结合二者的图象以及
b ??0,1? ,可以分析 a 的取值范围是 [1, e] ,故选 A.

3.(2013 · 天津高考理科· T7) 函数 f(x)=2 x|log0.5x|-1 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

(

)

【解题指南】利用数形结合的方法求解 ,图象交点的个数即为零点的个数 . 【解析】选 B.函数 f(x)=2 x|log 0.5x|-1 的零点即 2x|log 0.5x|-1=0 的解 ,即

1 | log0.5 x |? ( ) x 2

的 解 , 作 出 函 数 g(x)=|log 0.5x| 和 函 数

h( x ) ?

1 x ( 的 ) 2

图象,

由图象可知 ,两函数共有两个交点 , 故函数 f(x)=2x|log 0.5x|-1 有 2 个零点 . 4. ( 2013 ·重庆高考理科·T 6) 若 a<b<c, 则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) 两个零点分别 位于区间 ( ) B.(- ∞ ,a)和 (a,b) 内 D.(- ∞ ,a) 和 (c,+∞ ) 内

A.(a,b) 和 (b,c) 内 C.(b,c) 和 (c,+ ∞ )内

【解题指南】直接根据零点存在定理求出函数零点所在的区间 . 【解析】选 A.因为 a<b<c, 所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以 f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0, 即函数的两个零点分别 位于区间 (a,b)和 (b,c)内 . 5.( 2013 ·江西高考文科·T 10 )如图 .已知 l1⊥ l 2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动, 圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx ,则 y 与时间 t( 0≤ t≤ 1, 单位: s)的函数 y=f ( t)的图像大致为

【解题指南】借助弧长与圆心角的关系,得出函数关系式,再选择图像 . 【解析】选 B.因为圆弧长为 x,半径为 1,所以圆心角的弧度数为 x,由题
2 意得 cos x ? 1? t,根据二倍角公式得 cos x ? 2(1 ? t)2 ? 1 ,即 y ? 2(1? t )

2

,化简 ?1

得 y ? 2t 2 ? 4t ? 1 ,结合二次函数图像知 B 正确 . 二、填空题 6.(2013 ·江苏高考数学科· T11) 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数 .当 x>0 时 ,f(x)=x 2-4x, 则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 .

【解题指南】画出 x>0 时 ,f(x) 的图象 ,根据函数的奇偶性 ,画出整个定义 R 上函数的图象 ;画出 y=x 的图象 ,结合图象求解 . 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 ,故图象关于原点对称 . 又当 x>0 时 ,f(x)=x 2-4x, 故图象如图 .

由图可得当 x∈ (-5,0)∪ (5,+ ∞ )时不等式 f(x)>x 成立 . 【答案】 (-5,0)∪ (5,+∞ ) 7. ( 2013 ·湖北高考文科·T17 )在平面直角坐标系中,若点 P( x, y) 的坐标 x ,
y 均为整数,则称点 P 为格点 .

若一个多边形的顶点全是格点,则称该

多边形为格点多边形 . 格点多边形的面积记为 S ,其内部的格点数记为 边界上的格点数记为 L . N,
N ? 0 , L ? 4.

例如图中△ ABC 是格点三角形, 对应的 S ? 1 ,

(Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别 是 ;

(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为
S ? aN ? bL ? c ,其中

a, b, c 为常数 .

若某格点多边形对应的 N ? 71 , L ? 18 , 则S? (用数值作答) .

【解题指南】(Ⅰ )理解新概念 .(Ⅱ )可以再取长方形 S=2,N=0,L=6, 待定系数 法求出 a,b,c 的值 ,再代入求值 . 【解析】( I)由图可知:四边形 DEFG 对应的 S=3,N=1,L=6 ( II)分别将 S=1,N=0,L=4;S=2,N=0,L=6;S=3,N=1,L=6 代入 ,
?a ? 1 ?0 ? a ? 4 ? b ? c ?1 ? ? 1 由此得 ?1? a ? 6 ? b ? c ? 3 ,解得 ? ?b ? 2 ?0 ? a ? 6 ? b ? c ? 2 ? ? ? ?c ? ?1

所以若某格点对应的 N=71 , L=18,则 S= 71? 1 ? 18? ? (? 1) ? 79. 【答案】 3, 1, 6 ; 79 8.( 2013 ·上海高考理科· T14 )对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记
g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x? I } ,已知定义域为 [0,3] 的函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f ?1 ( x) ,

1 2

且 f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____ 【解析】根据反函数定义知,当 x ? [0,1) 时, f ( x ) ? (2, 4] ;x ? [1, 2) 时, f ( x ) ? [0,1),

而 y ? f ( x) 的定义域为 [0,3] ,故当 x ? [2,3] 时, f ( x) 的取值应在集合
(??,0) ? [1, 2] ? (4, ??) ,故若 f ( x0 ) ? x0 ,只有 x0 ? 2 .

【答案】 2 三、解答题 9.( 2013 ·上海高考理科·T20)甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种产 品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元 . (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产 速度?并求最大利润 . 【解析】 (1)生产该产品 2 小时的利润为 100 错误!未找到引用源。×2=200 错误!未找到引用源。 由题意得 ,200 错误!未找到引用源。≥ 3000,解得 x≥ 3 或 x≤ -错误!未找 到引用源。 . 又因为 1≤ x≤ 10, 所以 3≤ x≤ 10. (2)生产 900 千克该产品 ,所用时间是 小时 ,
3 x

获得的利润为 100 错误!未找到引用源。· =90000 错误!未找到引用源。 ,1 ≤ x≤ 10, 记 f(x)=-错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 +5,1 ≤ x≤ 10, 则 f(x)=-3 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+5,当且仅当 x=6 时 ,f(x)取到最大值 f(6)=错误!未找到引用源。 . 最大利润为 90000×错误!未找到引用源。 =457 500( 元 ). 因此甲厂应以 6 千克 /小时的速度生产 ,可获得最大利润 457500 元 . 10.( 2013 ·上海高考文科· T20 )甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种

3? 产品(生产条件要求 1≤ x≤ 10),每小时可获得的利润是 100 ? ? 5x ? 1 ? ? 元 . ? x?

( 1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a ? ?5 ? ?
? 1 x

3 ? ? 元; x2 ?

( 2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生 产速度?并求此最大利润 . 【解析】 (1)生产 a 千克该产品 ,所用的时间是错误!未找到引用源。小时 , 所获得的利润为 100 错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。 . 所以 ,生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a 错误!未找到引用源。元 . (2)生产 900 千克该产品 ,所用的时间是 未找到引用源。 ,1≤ x≤ 10. 记 f(x)=-错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 +5,1 ≤ x≤ 10, 则 f(x)=-3 错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 +5, 当且仅当 x=6 时 ,f(x) 取到最大值 f(6)= 获得最大利润 90000 × =457500( 元 ). . 小时 ,获得的利润为 90000 错误!

因此甲厂应以 6 千克 /小时的速度生产 ,可获得最大利润 457500 元 .


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