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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.1 映射、函数及反函数


第二章

函数

2014高考导航
考纲解读 1.了解映射的概念,理解函数的概念. 2.了解函数单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函 数的单调性和奇偶性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系, 会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质, 掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数 的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数与对数函数的性质解决 某些简单的实际问题.

目录

§2.1 映射、函数及反函数

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.映射 (1)定义:设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f, 唯一 对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有_______的元素 和它对应,那么,这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到 映射 集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的_____,记作f:A→B.

(2)象和原象:给定一个集合A到集合B的映射,且a∈A,b∈B,
如果元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的 象 原象 ____,元素a叫做元素b的______.

目录

2.函数 (1)函数的定义 设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于 任意 唯一 集合A中的_____一个数x,在集合B中都有____确定的数f(x)和 它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记 定义域 作y=f(x),x∈A,x的取值集合A叫做函数的______,函数值

的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_______. 值域 (2)函数的三要素 定义域 值域 ________、______和对应法则. (3)函数的表示法 图象法 列表法 表示函数的常用方法有:________、解析法、_________.

目录

3.反函数的定义 设式子y=f(x)表示y是x的函数,定义域为A,值域为C,从式 x=φ(y) 子y=f(x)中解出x,得到式子________,如果对于y在C中的任 何一个值,通过式子x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它 对应,那么式子x=φ(y)就表示x是y的函数,这样的函数,叫 做函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),即x=φ(y)=f-1(y), 一般对调x=f-1(y)中的字母x,y把它改写成 y=f-1(x) __________.

目录

4.反函数四个引申性质
原象与象的唯 一互对性 定义域与值域 的互换性 图象的对称性 反函数的单调 性 原函数 反函数 f(a)=b? f-1(b)=a ____________ 原函数 反函数 f(x)的定义域为 A,值域为 C; - f 1(x)的定义域为___,值域为_____ C A y=f(x)的图象←――――→ y=x对称 - y=f 1(x)的图象 f(x)是单调函数 - 单调 相同 f 1(x)是____函数且与 f(x)单调性_____
关于直线

目录

思考探究 1.映射f:A→B与映射f:B→A是同一个映射吗? 提示:不一定.映射f:A→B必须满足:(1)A中元素无剩余, 即A中任何元素必须有象且唯一;(2)B中元素可以有剩余,即B中 元素不一定有原象;(3)若集合A中有m个元素,集合B中有n个 元素,则可构成映射f:A→B有nm个,映射f:B→A有mn个. 2.映射与函数有什么区别?

提示:映射不一定是函数,但函数一定是某一个映射;映射的两
个集合可以是任意非空集合,函数的集合一定是非空数集.

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课前热身 1.在映射f:A→B中,下列判断正确的是( A.A中的元素a的象可能不只一个 )

B.A中的两个元素a1和a2的象必不同
C.B中的元素b的原象可能不只一个

D.B中的两个不同元素b1和b2的原象可能相同
答案:C
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2.下列四组中的函数 f(x),g(x)表示同一个函数的是( A.f(x)=x0,g(x)=x′
5

)

B.f(x)= x5,g(x)= x2 x2 C.f(x)=x,g(x)= x D.f(x)=ex,g(x)=f′(x)

答案:D

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3.若函数 f(x)满足 f( x)=x,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=x2(x∈R) B.f(x)=x(x≥0) C.f(x)= x(x≥0) D.f(x)=x2(x≥0)

)

答案:D

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4.(2011· 高考大纲全国卷改编)函数 y=2 x(x≥0)的反函数是 ________.

x2 答案:y= (x≥0) 4

5.点(x,y)在映射f作用下的象是(2x,log2y),则在f作用下,

点(1,1)的原象是________.
答案:(0,2)

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考点探究讲练互动
考点突破
考点1 映射的概念

映射是一种特殊的对应,判断对应是否为映射,关键有两点: 一是A中元素必须都有象且唯一;二是B中元素不一定有原象,

且A中不同的元素在B中可以有相同的象.一般地,
“一对一”“多对一”的对应关系可构成映射, “一对多”不是映射.

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例1

设A={1,2,3,4,5},B={1,3,7,15,31,33},下列的对应法
)

则f能构成从A到B的映射的是( A.f:x→x2+x+1 B.f:x→x+(x-1)2 C.f:x→2x-1-1 D.f:x→2x-1 【思路分析】

根据映射定义,判断对于集合A中的任何元素,

按照对应法则f,在集合B中是否有唯一的元素与它对应.

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【解析】

∵当x=4时,x2+x+1=21?B;

当x=4时,x+(x-1)2=13?B; 当x=1时,2x-1-1=20-1=0?B, ∴A、B、C都不构成从A到B的映射.

对于D,经验证,x=1,2,3,4,5时2x-1的值分别为1,3,7,15,31.又
映射并不要求B中的任何元素都有原象, ∴应选D. 【答案】 D 判断从A到B的映射,务必用A中的任何元素 【领悟归纳】

在B中找对应的象,切不可颠倒.
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考点2

求函数解析式

此类问题有时是单独的一个小题,有时作为解答题的某一过
程.但考查的都是常见函数的通法,待定系数法、换元法、

消元法等.如果已知函数解析式的类型,可用待定系数法;
已知复合函数的表达式时,可用换元法,这时要注意“元”的范

围;当已知表达式比较简单时,也可以用配方法;若已知抽象
函数的表达式,则常用解方程组,消元的方法求出解析式.
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例2 求下列函数的解析式 1 1 3 (1)已知 f(x+ )=x + 3,求 f(x); x x 2 (2)已知 f( +1)=lg x,求 f(x); x 1 (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f( )=3x,求 f(x). x 【思路分析】 (1)可用配凑法;

(2)可用换元法;
(3)可用方程组法.

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1 1 1 2 1 3 【解】 (1)f(x+ )=x + 3=(x+ )(x -1+ 2) x x x x 1 12 =(x+ )[(x+ ) -3]. x x 1 若令 x+ =t,则有 f(t)=t(t2-3)=t3-3t,t≥2 或 t≤-2. x ∴f(x)=x3-3x,(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)). 2 2 (2)设 +1=t.∴x= (t>1). x t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,∴f(x)=lg (x>1). t-1 x-1

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? (3)对于 x≠0 来说,? 1 3 ?2f?x?+f?x?=x
3 ①×2-②得 3f(x)=6x- , x 1 ∴f(x)=2x- (x≠0). x

1 2f?x?+f? ?=3x x

, ①



【误区警示】

对于(1)(2)中的换元,易丢掉对“新元”的取

值范围的判定,即丢掉所求解析式的定义域.

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跟踪训练
1 1 2 (1)已知 f(x- )=x + 2,求 f(x); x x (2)若 f(x)满足 2f(x)+f(-x)=3x,求 f(x).

1 12 解:(1)f(x- )=(x- ) +2, x x ∴f(x)=x2+2.
?2f?x?+f?-x?=3x ? (2)? , ① ? ?2f?-x?+f?x?=-3x ②

①×2-②得 3f(x)=9x,∴f(x)=3x.

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考点3

求反函数解析式

求反函数解析式的三步曲:“一解”、“二换”、“三定
义”.所谓一解,即首先由给出的原函数的解析式y=f(x),反 解出用y表示x的式子x=f-1(y);二换,即将x=f-1(y)中的x,y 两个字母互换,得到y=f-1(x)即为所求的反函数(即先解后换); 三定义,即求出反函数的定义域(即原函数的值域).

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求下列函数的反函数: 1 2 (1)y=x +x-1(x≥- ); 2 (2)y= 25-x2(2≤x≤3);
?x2-1?0≤x≤1? ? (3)y=? 2 . ? ?-1≤x<0? ?x

例3

【思路分析】求原函数值域→反解x→交换x、y→得反函数.

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12 5 【解】 (1)y=x +x-1=(x+ ) - ; 2 4 1 5 当 x≥- 时,y≥- ; 2 4 5 1 1 5 ∴y+ =(x+ )2,∴x+ = y+ . 4 2 2 4 5 1 5 ∴x= y+ - (y≥- ), 4 2 4 5 1 5 -1 ∴反函数为 f (x)= x+ - (x≥- ). 4 2 4
2

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(2)∵2≤x≤3,又∵y= 25-x2. ∴4≤y≤ 21,∴y2=25-x2,∴x2=25-y2, ∴x= 25-y2, - ∴反函数 f 1(x)= 25-x2(4≤x≤ 21). (3)当 0≤x≤1 时,y=x2-1∈[-1,0], x2=1+y,∴x= 1+y, 当-1≤x<0 时,y=x2∈(0,1],∴x=- y.

? 1+x x∈[-1,0], ∴反函数为 f (x)=? ? - x x∈?0,1].
-1

【领悟归纳】

本题求反函数的过程中,要注意开方时,是

取“正”还是取“负”.
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考点4

抽象函数问题

这种问题没有给出具体的函数解析式,只是借用抽象的函数
意义,来转化其中的变量关系,往往结合恒等式或不等式转 化为自变量的关系.

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例4 设函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且满足 x,y>0 时
有 f(xy)=f(x)+f(y). 1 (1)求 f(1)的值;(2)求证:f( )=-f(x); x (3)如果 x>1 时,f(x)>0,求关于 x 的不等式 f(x-2)+f(x)>0 的解集. 【思路分析】

(1)令x=y=1再求解可得.

(2)中赋值时注意应用(1)的结论. (3)用定义法确定f(x)的单调性,从而转化为关于x的不等 式求解.
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【解】 (1)令 x=y=1 得 f(1)=f(1)+f(1), 解得 f(1)=0; 1 1 1 (2)证明:令 y= ,得 f(1)=f( )+f(x),则 f( )=-f(x). x x x x2 (3)设 x2>x1>0,则 >1, x1 1 x2 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( )>0, x1 x1 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为增函数.∵f(x-2)+f(x)>0,

?x-2>0 ? ∴?x>0 ?f?x?x-2??>0=f?1? ?

?x>2 ? ,即? 2 , ?x -2x-1>0 ?

∴x>1+ 2.∴原不等式的解集为{x|x>1+ 2}.
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【思维升华】

本题是抽象函数问题,尽管题中没有给出具

体的解析式,但我们仍可以通过不断地赋值去探索其特殊自 变量的函数值.常用的赋值有:x=y=0;x=y=1;x=0,y

=1;x=y;y=-x;?.当然具体在实际操作时的赋值还要根
据题设的条件进一步确定取值情况.

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方法感悟
方法技巧 1.若两个函数的对应关系一致,并且定义域相同,则两个函 数为同一函数. 2.函数的三种表示方法:列表法、图象法和解析法,三者之间 是可以互相转化的;求函数解析式比较常见的方法有代入法、 换元法、待定系数法和解函数方程等,特别要注意将实际问题

化归为函数问题,通过设自变量,写出函数的解析式并明确定义
域,还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法. 3.分段函数的反函数仍是分段函数,要分段来求,一般地是

把各分段上的函数看作独立函数,分别求出它们的反函数,
然后再拼合到一起,求得的反函数一定要标明其定义域.
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失误防范
1.映射是一种特殊的集合之间的对应关系.只能是一对一, 多对一,绝不是一对多. 2.用换元法求函数解析式时,一定要注明新“元”的范围. 3.反函数的定义域是原函数的值域.从反函数解析式中求其 定义域,未必正确. 4.求 f 1[g(x)]时,应先求 f 1(x),再求 f 1[g(x)],切不可先 求 f[g(x)],再求 f 1[g(x)].
- - - -

目录

考向瞭望把脉高考
命题预测

高考中主要考查映射与函数的基本概念,例如求象、原象以
及映射的个数等,映射的内容可与其它知识点结合. 在高考中常以函数作为背景,结合不等式、方程、数列等知识,

考查学生处理综合问题的能力.往往以综合题形式出现.
分段函数在高考命题上以考查基本概念与基本计算为主,题型 主要是选择题和填空题,也有的把定义一种新运算作为考查的 目的.如2012年高考江西卷、江苏卷都对分段函数进行了考查.

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在2011年的高考中,大多数省市的高考题是与具体函数的性质 结合起来考查,如大纲全国卷对函数的周期性、奇偶性进行 了考查. 从近两年的高考试题来看,对反函数的考查主要是认识反函 数的定义,会求反函数.能用互为反函数的图象的对称关系 解决问题.以选择题、填空题为主,考查基本知识,基本技 能,解答题很少涉及.在2012年高考中,大纲全国卷及上海 卷就考了反函数. 预测2014年的高考中,以分段函数求函数值,求具体函数的反函

数,结合函数的奇偶性,极值等求函数解析式为主来考查.
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典例透析
1+ln?x-1? 例 函数 y= (x>1)的反函数是( 2 A.y=e2x 1-1(x>0) B.y=e2x 1+1(x>0) C.y=e2x 1-1(x∈R) D.y=e2x 1+1(x∈R)
- + - +

)

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【解析】

1+ln?x-1? ∵y= (x>1),∴y∈R. 2


∴ln(x-1)=2y-1,∴x-1=e2y 1, ∴x=e2y 1+1,∴f 1(x)=e2x 1+1. 1+ln?x-1? - ∴y= 的反函数为 y=e2x 1+1(x∈R). 2
- - -

【答案】

D

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【探究溯源】通过指数函数与对数函数之间的关系及运算求
反函数,考查反函数的求法及其定义域与值域之间的关系.

本题难度适中,易错的地方是在变形过程中“+”与
“-”的变化.

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知能演练轻松闯关

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本部分内容讲解结束
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