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山东省近五年高考试题研究--三角函数_图文

三 角 函



? ——2009-2013年山东省高考数学试题分析





? 三角函数是高中数学一个重要的模块;是高中数学代数部 分中一大主要的支撑点; ? 三角函数部分在历年高考中都占有不少的比重,一般在选 择题、填空题和解答题中都有考题;选择填空题一般考查 三角函数的基本运算,考查三角函数的图像和性质或者是 解斜三角形;解答题一般是第17题,是解答题第一道题目, 属于容易题,一般考查三角函数的图形和性质以及斜三角 形的问题,经常与向量结合。 ? 三角函数部分以三角定义为主体,繁衍出一系列知识:诱 导公式、同角三角函数间的基本关系式、然后三角函数的 图形和性质,两角和与差的三角函数、二倍角公式等;形 成了三角函数定义式为根本,以三角函数图形和性质为主 干,以三角恒等变换为考查重点的系统体系。

09年
? 3.将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得 4 ? 图象的函数解析式是( ). ? 2x C. y ? 1 ? sin(2 x ? ) D.y=2sin2x ? A. y=cos2x B. y=2cos 4
?

? ? y ? sin 2( x ? ) ? 【解析】:将函数y=sin2x的图象向左平移 4 个单位,得到函数 4
? 即 y ? sin(2 x ? 2 ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函
?

y ? 1 ? cos 2 x ? 2sin 2 x,故选D. ? 数解析式为
? 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二 ? 倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.

17.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+

?
3

)+sinx.

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.

1 (2)设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB= , 3 1 C f( )=- 4 ,且C为锐角,求sinA.
3

? 解: ? ? ? 1 ? cos2 x 1 3 ? ? sin 2 x ? (1)f(x)=cos(2x+ )+sinx= cos2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3 2 2 2 ? 所以函数f(x)的最大值为 ? ?
1? 3 ,最小正周期π. 2 1 2C 3 3 2C C 1 sin ? ? sin (2)f( )= =- ,所以 ,因为C为锐角,所 4 3 2 3 2 2 3
? 2C ? 1 C ? ? 以 3 ,所以 ,所以sinA =cosB= . 2 3 3

? 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二
? 倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.

? 09年分析:
? 1、09年,三角函数部分在高考中仅考了2道试题,一道选择,一道 解 ? 答;题号分别为3、17;都处于同类别题型的前列,属于容易题; ? ? ? ? 2、考查的主要内容是:三角函数图像变换、诱导公式、两角和与差 公式以及二倍角公式等,主要体现在解答题中的三角恒等变换上,而 后,进一步考察三角函数的有关性质,比如:单调性、奇偶性、周期 性、最值等;

? 3、选择题考查的是三角图像变换,而解答题2个小题,第一问考察三 角恒等变换以及三角函数有关性质;第二问考查的是解三角形,是对 正余弦定理的运用。

10年
? (15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a、b、c,若 ? a ? 2 , b ? 2, sin B ? cos B ? 2 ,则角A的大小为_________. ? 解析:
?? ? sin B ? cos B ? 2 sin? B ? ? ? 2 ∵ 4? ?


4 ?

?? ? sin? B ? ? ? 1 即 4? ?

? 在 △ABC 中,? ? B ? ? ? 5? ,∴ B ?
4 4 4

?

?
2

,又∵a<b,所以A锐 。

?

a b ? 1 ? A? 角.由正弦定理 得: A ? ,得 sin sin A sin B 6 2

? 【说明】:本题考查了两角和与差的三角函数及利用正弦定理解三角 ? 形等基础知识以及运算能力.

? (17)(本小题满分12分) 1 1 ? ? 已知函数 f ( x) ? sin 2 x sin ? ? cos2 x cos? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,其图象过 2 2 2 ? 1 ? 点 ( , ).
? (Ⅰ)求 ? 的值
6 2

;

? ( Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 ? [0, ] 在上的最大值和最小 ? 不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x) 4 值。 1 1 ? 2 ? 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x sin ? ? cos x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ), 2 2 2 1 1 ? cos 2 x 1 f ( x) ? sin 2 x sin 2? ? cos ? ? cos ? ? 所以 2 2 2

1

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2
?

1 1 (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) ? cos(2 x ? ? ). 2 2

?

? ?? . ; ? 又 0 ? ? ? ? ,所以 3
2

? 1 1 ? ? cos(2 ? ? ? ),即 cos( 又函数图象过点 ( , ) ,所以 2 2 6 3 6 2
? 1

? ? ) ? 1,

? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 1 cos(2 x ? ? ) ,将函数y=f(x)的图象上各点的
2

?

1 横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知 2

? 1 ? x ? [0, ] ,所以4x∈[0,π], ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ), , 因为 4 2 3 ? ? 2? 1 ? 4 x ? ? [? , ] ,故 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 , ? 因此 3 3 3 2 3 1 ? y ? g ( x)在[0, ] 上的最大值和最小值分别为 1 和 ? . ? 所以 4 4 2 ? 【分析】:本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质, 进行运算、变形、转换和求解的能力,满分12分。

?

? 10年分析:
? 1、10年三角函数模块,在高考试题中,也是考了2道题目,题号分 别 ? 为15、17,一道填空题,一道解答题,第17题解答题仍然居于解答 ? 题类别的第一题位次,属于容易题; ? 2、填空题考查了解三角形,解答题则考查了三角恒等变换、三角 ? 函数图像变换以及三角函数有关性质等; ? ? ? ? 3、试题考查的知识基本上同以往没什么变化,仍然是对诱导公式为 基础的,结合同角三角函数基本关系式与和差公式以及二倍角公式的 运用,兼而考查有关三角函数性质,而解三角形仍然是以正余弦定理 的运用为主要,题型不难,容易得分。

11年
? 6.若函数 f ( x) ? sin ? x(ω>0)在区间 ?
?? ? ? ? 3 , 2 ? 上单调递减,则ω= ? ?
? ? ? 上单调递增,在区间 ? 0, 3 ? ? ?

? A.3

B.2

3 C. 2

2 D. 3

? 【解】:由y=sinx的单调性和题意可知,当x=π/3 时,ωx=π/2,

3 ? 所以,ω= 2

? 【点评】:此题考查了三角函数的单调性。

17.(本小题满分12分) cos A-2cosC 2c-a 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知. = sin C cos B b (I)求 的值; sin A 1 (II)若cosB= 4 ,b=2, △ABC的面积S。
?
a b c ? ? 解:(I)由正弦定理,设sin A sin B sin C ? k ,

? 则

2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? ? , 所以 ? . b k sin B sin B cos B sin B

? 即 (cosA-2cosC)sinB= (2sinC-sinA)cosB,

? 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C);又A+B+C=π,所以sinC=2sinA
? 因此
sin C ? 2. sin A

?

sin C ? 2 得c=2a,由余弦定理可得: (II)由 sin A

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 ? 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4

?

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 所以sin B ? 15 . 解得a=1。因此c=2,又因为 4 4
1 2 1 2 15 15 ? . 4 4

? 因此 S ? ac sin B ? ?1? 2 ?

? 【点评】:本题是解三角形的题型,重点考察了正余弦定理在解三角 ? 形中的应用 ;突出了利用正余弦定理施行边角互化的作用,结合考 ? 查了三角恒等变换等知识。

? 11年分析:
? 1、2011年三角函数模块依然只是考查了2道题目,题号分别为6、17. ? 居于同类别之前列,属于简单题; ? 2、选择题第6题考查的是三角函数的基本性质—单调性,解答题第 ? 17题则是考查了解三角形;通过对解三角形问题的设计,考查了三角 ? 恒等变换和正余弦定理的运用; ? 3、比较与以前的考察,今年这2道题目,较之以前稍微增加了一点难 ? 度,单就总体而言,仍然属于容易题、送分题。

12年
?
3 7 ?? ? ? ? ? ? , ? , 2? = sin (7)若 ,则sin= 8 ?4 2?

3 ? (A) 5

4 (B) 5

7 (C) 4

3 (D) 4

?? ? ? 1 ? ? ? , ? 可得 2? ? [ ? , ? ] , 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , ? 解析:由 cos ?4 2? 2 8 1 ? cos 2? 3 ? sin ? ? ? 答案应选D。 2 4

? [点评]:本题主要考查了同角三角函数间的基本关系式和 ? 二倍角公式;属于中等题目。

? ? ? ?
?

(17)(本小题满分12分) 已知向量m=(sinx,1), ,函数f(x)=m· n的 最大值为6. ? (Ⅰ)求A;(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象像左平移 个单位,再将

12

1 所得图象各点的横坐标缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

? y=g(x)的图象。求g(x)在
? ? 则A=6;

上的值域。

A 3 A ?? ? f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ? cos 2 x ? A sin 2 x ? cos 2 x ? A sin? 2 x ? ? 解:(Ⅰ) 2 2 2 6? ?
? ? ? y ? 6 sin[2( x ? ) ? ] (Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12 个单位得到函数 12 6
3

?

? 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变, ? 2 得到函数 g ( x) ? 6 sin(4 x ? )

?

当 x ? [0,

5? g ] 时, x ? ? ? [ ? , 7? ], sin(4 x ? ? ) ? [? 1 ,1] , ( x) ? [?3,6] . 4 24 3 3 6 3 2

? 故函数g(x)在

上的值域为[-3,6] .

? [点评]:
? 此题是三家函数与向量的结合问题。此类问题一般是由向量知识(一 ? 般是数量积)进入,然后转化成三角恒等变换问题;再加上对其他问 ? 题的考查----图像变换、求三角函数性质、解三角形等。属于高考常 见 ? 形式的考题,属于容易题。

? 12年分析:
? 1、12年的高考,对三角函数模块的考查,出乎意料地没有考查解三 ? 角形;不过依旧只是考查了2道题目,题号分别为7、17,; ? ? ? ? ? ? 2、选择题第7题考查的是基本的三角函数求值,涉及知识主要有同角 三角函数基本关系式、二倍角公式;而解答题第17题则是与向量结 合,由向量的知识给出,转化为对三角恒等变换的考查,涉及到的主 要知识有:向量的数量积、三角函数图像变换,两角和与差公式、二 倍角公式等的综合运用,并继续对三角函数给定x的范围而求值进行 了考查;

? 3、这2道题目都不难,属于容易题,送分题。

13年
? y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿轴向左平移 个单位后,得到一 ? 5.将函数 8 ? 的一个可能取值为 个偶函数的图象,则
? (A) 4
3?

(B) 4

?

(C)0

(D) ?

?
4

? 【解析】将函数y=sin(2x +? )的图像沿x轴向左平移 8 个单位,得 ?

?

? ? y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,因为此时函数为偶函数,所 到函数 8 4
? ? ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,即 ? ? ? k? , k ? Z ,所以选B. 以 4 2 4

?

? 【点评】:此题考查了三角函数图像变换和奇偶性,属于容易题。

? ? ? ?

17.(本小题满分12分) 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a+c=6,b=2, cosB=7/9. (1)求a、c的值; (2)求sin(A-B)的值

? 解析: ? (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB), ? 又a+c=6, b=2,cosB=7/9,所以,ac=9,解得:a=c=3; ?
?
a sin B 2 2 4 2 sin A ? ? (2)在△ABC中, sin B ? 1 ? cos B ? ,由正弦定理得: b 3 9
2

cos A ? 1 ? sin 2 A ? 因为a=c,所以为锐角,所以

? 10 2 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? 因此 27

1 3

? 【点评】:此题考查的题型是解三角形,运用正余弦定理 ? 仍然是主体;同时,依然穿插了对三角变换以及求值方面 ? 的考查。 ? 此题难度较低,属于容易题。

? 13年分析:
? 1、13年的高考,三角函数模块又按照“正常规律”出题,仍然是2 道 ? 题目,一道选择题,一道解答题;题号分别是5、17; ? ? ? ? 2、选择题考查的是三角函数图像变换,结合了三角函数的奇偶性进 行了综合考查;解答题则完全是一道解三角形的题目,很中规中矩地 考查了正余弦定理在解三角形中的运用,同时结合考查了两角差的正 弦公式。

? 3、两道题目都比较简单,容易题,送分题。

年份
选择题号

2009
3
图像变换

2010

2011
6
三角函数 性质

2012
7
三角求值

2013
5
图像变换 性质

分析
填空题号

15
解三角形

分析
解答题号 17
三角恒等变 换、求性质 解三角形

17
三角恒等变 换、图像变 换、求性质

17
解三角形

17
三角恒等变 换、图像变 换、求性质

17
解三角形 三角求值

分析
总 析

1、每年2道 2、多为选 题目,解答 择题+解答 是17题 题

3、选择(填空)题若是三角函数,则解答 题是解三角形,反之,亦然;并且按年交替 出现(12年除外)

14年预测

1、考查2道题目,选择+解答; 2、选择题一般是解三角形,解答题一般是三角恒等变换和图像变换以及求 解三角函数有关性质的问题,会有给定区间求值域或者最值的问题


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