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秭归二中2012年春季高一期中考试数学试卷


秭归二中 2012 年春季高一期中考试数学试卷
命卷人:陈腊玲
(时间:120 分钟
一、选择题: 1、 a ? (?3, 4), b ? ? 6, x ? , 若 a || b ,则 x 的值为( A、-8 B、-7 C、8 D、7 ) C.4 ) D.6

审卷人:杜海柱
满分:150 分)


?

?

? ?

2、若 tan ? =3,则 A.2 3、化简

sin 2? 的值等于( cos 2 ?
B.3

3 1 cos x ? sin x 为( 2 2

A、 sin( x ?

?
3

)

B、 sin(

?
3

? x)

C、 cos(

?
3

? x)
)

D、 cos( x ?

?
3

)

4、平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. (4,2) 5、 sin( B. (?4,?2) C. (6,?3)

D. (4,2) 或 (?4,?2)

1 ) ? ? ) ? ,则 sin 2? =( 4 3 1 7 1 7 A、 ? B. C. D. ? 9 9 9 9 6、在△ABC 中, a =10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( )
A. 10 ? 3 B. 10

?

?

3 ?1

?

C. 3 ? 1

D. 10 3 )

7、△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A. 外心 B. 内心
? 2

C. 重心

D.

垂心 ) D. 等边三角形

8、 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则△ABC 一定是( A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形

9、设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? , OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? , 向量 P1 P2 长度的最大值是( A. 2 B. 3 ) C. 3 2 D. 2 3

10、 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题目,把 100 个 面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 问最小的一份为( A、 )

1 是较小的两份之和, 7

5 3
?

B、

10 3
?

C、

5 6
?

D、

11 6

二、填空题: 11、已知 a ? (1, 0), b ? (1,1) ,若 a ? ? b 与 b 垂直,则 ? = 12、已知 tan( x ?

?

?

?
4

) ?2 则

tan x ? __________ tan 2 x
2

13、 △ABC 中,已知 tan A, tan B 是 x 的方程 x ? p( x ? 1) ? 1 ? 0 的两个实根,

则 ?C = 14、一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 6 0 ? ,行驶4
h 后, 船到达 C 处, 看到这个灯塔在北偏东 1 5 ? , 这时船与灯塔的距离为
7 2

km.

15、 △ABC 中, 在 已知角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c , c ? , C ? 60? , 边 且 又 △ABC 的面积为
三、解答题: 16、 (本大题满分 12 分)已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?
3 3 ,则 a ? b ? ________________ 2

?

?

?

?

?

?

?

17、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a? ,b?2 o C? 1 ,c s (I) 求 ?ABC 的周长; (II)求 cos(A?C 的值 )

1 4

18、已知数列 an ? 的前 n 项和为 Sn ?

?

1 2 2n n ? ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 4 3

19、(本小题共 12) 一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正 以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间
?

?

? 内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45? 的方向去追,.求追及所需的时间和 ? 角的正弦
?

值. C

北 东 B A

20、已知 OP = ( 2,1) ,OA = (1,7) ,OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点,O 是坐标原点, (1) 求使 MA? MB 取最小值时的 OM ; (2) 对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

21、 (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? sin( x ? (1)求常数 a 的值及 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?0,

?

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a 的最大值为 1, 6 6

?

? ?? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最大值时的 x 的值; ? 2? ?

(3)求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合;

参考答案
一、选择题:1---5 ADBDD 11、 ? 6---10 13、 BDDCA 14、 30 2 15、

1 2
?

12、

4 9

3? 4

11 2

16.解: ka ? b ? k (1, 2) ? ( ?3, 2) ? ( k ? 3, 2 k ? 2) , a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) (1) ( k a ? b ) ? ( a ? 3b ) , 得 (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 ; (2) (ka ? b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? , 此时 ka ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

17、本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能 力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)? c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

? c ? 2. ??ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
(Ⅱ)? cos C ?

1 ?4 4

1 1 15 ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,
? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? ( 15 2 7 ) ? . 8 8

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

18、解:当 n=1 时, S1 ? a1 ?

1 2 47 ? ?3? 4 3 12 1 2 2 1 2 6n ? 5 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? = 4 3 4 3 12 11 此时 a1 ? ? S1 12

? 47 ? 12 (n ? 1) ? 所以,数列 ? an ? 的通项人公式为 an ? ? ? 6n ? 5 (n ? 2) ? 12 ?
19、解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有

? 2 AB ?? ? x2 x x? 14 x x 120?120 , 10 ( ? ) cos BC 142 , ? ACB 240 . ) ? ?( 12 10 ,

? 20 5 sin3 120 ? ? ? x, ? 28 , ? 2 AB 20 , BC sin ?. 28 14

?

所以所需时间 2 小时, sin ? ?

5 3 . 14

20、解: (1)设 M ( x, y ) ,则 OM ? ( x, y ) , 由题意可知 OM // OP 又 OP ? ( 2,1) 。

所以 x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,所以 M (2 y, y) , 则 MA ? MB ? (1 ? 2 y, 7 ? y ) ? (5 ? 2 y,1 ? y ) = 5 y ? 20 y ? 12 ? 5( y ? 2) ? 2 ,
2 2

???? ????

当 y ? 2 时, MA? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM ? (4,2) 。 (2)因为 cos ?AMB ?

MA ? MB | MA || MB |

?

(?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2

??

4 17 。 17

21、解: (1) f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? a ? 2sin( x ? 所以 f ( x) 的最大值为 2+ a =1,得 a =-1 所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2)当 x ? ?0,

?
6

)?a

?
6

) ? 1 , f ( x) 最小正周期为 T ? 2?

? ? 2? 1 ? ? ?? ? 时, 6 ? x ? 6 ? 3 , 2 ? sin( x ? 6 ) ? 1 ? 2?
?
3

所以 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f ( x) max ? 1 ,此时 x ? (3) f ( x) ? 0 ? 2sin( x ? 所以

?

?
6

6 2? 即 2 k? ? x ? ? 2k? 3

? 2k? ? x ?

?

?

5? ? 2k? 6

? 1 ) ? 1 ? sin( x ? ) ? 6 6 2

所以使 f ( x) ? 0 的 x 的取值集合为 ? 2k? ,

? ?

2? ? ? 2 k? ? , k ? Z 3 ?


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