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新会侨中1314学年第二学期高二年级期中数学理科试题

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新会侨中学年第二学期高二年级期中数学理科试卷

一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)

.已知()(),则实数,分别为( )

.,

.,

.,

.,

.函数 的导函数为( )

. y ? e2x . y ? 2e2x . y ? e x . y ? 2ex
.曲线 y ? cos x, x ? [0, 3 ? 与] 坐标所围成的面积( ) 2

. .. .

.若 (x ? 1)n 展开式的二项式系数之和为,则展开式的常数项为(



x

.

.

.

.

.设随机变量的分布列如下表,且 EX ?1.6 ,则 a ? b ? ( )

X

P . a b.





. ?0.2

. ?0.4

.将标号为,,,,,的张卡片放入个不同的信封中,若每个信封放张,其中标号为,的卡

片放入同一信封,则不同的方法共有( )

.种

.种

.种

.种

.已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6)x ?1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( )

.< a <

. <a<

. a <或 a >

. a <或 a >

.记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照,要求排成一排,位老人相邻但不排在两

端,不同的排法共有( )

.种 .种 .种 .种

? ? .设 2 ? x 10 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? ? ? ? a10 x10 ,则

来源:的值为( )



.

.

.

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.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,
记时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S ?t??S ?0? ? 0? ,则导函数
y ? S' ?t ? 的图像大致为( )









二、填空题(本大题共小题,每小题分,共分,把答案填在答题卡上).

? ? .函数 y ? x x2 ? x ?1 的单调增区间为



? ? . 2 ? x 8 展开式中不.含.x4 项的系数的和为



.一物体以() ()的速度运动,则其在前秒内的平均速度为().

.在次独立重复实验中,随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则

事件在一次实验中发生的概率的取值范围是



三、解答题(本大题共小题,共分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤)
.( 本小题分)甲、乙两人参加年广州亚运会志愿者的选拔。已知在备选的道试卷中, 甲能答对其中的题,乙能答对其中的题。规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测 试。求甲答对试卷数ξ 的概率分布。

.( 本小题分)从到的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
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①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
.( 本小题分) 已知函数 f (x) ? x3 ? 3x ()求函数 f (x) 在[?3, 3] 上的最大值和最小值.
2 ()过点()作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线的方程.

.( 本小题分) 某公司“咨询热线”电话共有路外线,经长期统计发现,在点到点这

段时间内,外线电话同时打入情况如下表所示:

电话同

时打入

[

个数 x

概率 P .













()若这段时间内,公司只安排了位接线员(一个接线员一次只能接一个电话)

①求至少一路电话不能一次接通的概率;

②在一周五个工作日中,如果至少有三个工作日的这段时间(点至点)内至少一路电话

不能一次接通,那么公司的形象将受到损害,现用至少一路电话不能一次接通的概率表

示公司形象的“损害度”,求上述情况下公司形象的“损害度”.

()求一周五个工作日的这段时间(点至点)内,电话同时打入数的均值.

.(

本小题分) 当n ? N*时,Sn

?1? 1 ? 1 ? 1 ? 234

? 1 ?1 2n ?1 2n

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Tn

?

1 n ?1

?

n

1 ?

2

?

n

1 ?

3

?

?1 2n

(1)求S1, S2 ,T1,T2.

(2)猜想 Sn 与Tn 的关系,并用数学归纳法证明.

.( 本小题分)设函数 f (x) ? x2ex?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ?1 为 f (x) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f (x) 的单调性; (Ⅲ)设 g(x) ? 2 x3 ? x2 ,试比较 f (x) 与 g(x) 的大小.
3
答案: 一、选择题
题号 4/7

答案 二、填空题

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、 、



? ??

52,1???

三、解答题

、解:依题意,甲答对试卷数ξ 的可能取值为、、、,则………分






ξ 的分布列如下:
ξ

………分

………分

、解:①分步完成:第一步在个偶数中取个,可有

C

3 4

种情况;

第二步在个奇数中取个,可有

C

4 5

种情况;

第三步个偶数,个奇数进行排列,可有 A77 种情况,

所以符合题意的七位数有

C

3 4

C

4 5

A77

? 100800个.………分

②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个.

C

3 4

C

4 5

A55

A33

? 14400……分

③述七位数中,偶数都不相邻,可先把个奇数排好,再将个偶数分别插入个空

档,共有

A54

C

3 4

A53

?

28800

个.…………………………………分

、解:() f '(x) ? 3(x ?1)(x ?1) ,

………………分

当 x ?[?3, ?1) 或 x ? (1, 3] 时, f '(x) ? 0 , 2

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?[?3, ?1],[1, 3] 为函数 f (x) 的单调增区间 2
当 x ?(?1,1) 时, f '(x) ? 0 ,
?[?1,1] 为函数 f (x) 的单调减区间

…………分

又因为 f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f ( 3) ? ? 9 …………分 28

所以当 x ? ?3 时, f (x)min ? ?18

当 x ? ?1 时, f (x)max ? 2

…………分

()当(,)是切点时,′()()()

……………分

所求切线方程为()即 …………分 当(,)不是切点时,因为(),且是极值点,所以直线也是所求的切线。…………分
、解:()① P1 ? 0.14 ? 0.08 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.25;………分



P

?

C53·

? ??

1 4

???3·

? ??

3 4

?2 ??

?

45 512

.………分

() EX ? 0?0.13?1?0.35 ? 2?0.27 ? 3?0.14 ? 4?0.08 ? 5?0.02 ? 6?0.01 ?1.79 ,………分

∴5EX ? 5?1.79 ? 8.95 .………分

、解:()

S1

?1?

1 2

?

1 2



S2

?1?

1 2

?

1 3

?

1 4

?

7 12

T1

?

1 1?1

?

1 2

, T2

?

1? 2 ?1

1 2?

2

?

7 12

………………分

()猜想: Sn ? Tn (n ? N *) 即:

1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 . (∈*)……分

234

2n ?1 2n n ?1 n ? 2 n ? 3

2n

下面用数学归纳法证明

① 当时,已证 …………分

② 假设当(≥,∈*)时,猜想成立,即: Sk ? Tk ,即

1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

234

2k ?1 2k k ?1 k ? 2 k ? 3



Sk ?1

?

Sk

?

1 2k ?1

?

1 2(k ?1)

? 1 . …………分 2k

?

Tk

?

1 2k ?1

?

1 2(k ?1)

…………分

? 1 ? 1 ? 1 ? ?1? 1 ? 1

……………分

k ?1 k ? 2 k ?3

2k 2k ?1 2(k ?1)

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? 1?1? k?2 k?3

?

1 2k ?1

?

? ? ?

k

1 ?1

?

1 2(k ?1)

? ? ?

? 1 ? 1 ? ?1? 1 ? 1

(k ?1) ?1 (k ?1) ? 2

2k 2k ?1 2(k ?1)

? Tk ?1

故当 n ? k ?1时,猜想成立。

由①,②可知,对任意∈*,都成立. ……………分

、解:(Ⅰ )因为 f ?(x) ? ex?1(2x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1(x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,…………分

又 x ? ?2 和 x ?1为 f (x) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此

??6a ? ??3 ? 3a

2b ? ? 2b

0, ………………分 ? 0,

解方程组得 a ? ? 1 , b ? ?1.………………分 3

(Ⅱ )因为 a ? ? 1 , b ? ?1, 3

所以 f ?(x) ? x(x ? 2)(ex?1 ?1) ,

令 f ?(x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .………………分 因为当 x ?(??,? 2) (0,1) 时, f ?(x) ? 0 ;………………分 当 x ?(?2,0) (1,? ?) 时, f ?(x) ? 0 .………………分

所以 f (x) 在 (?2,0) 和 (1,? ?) 上是单调递增的;………………分 在 (??,? 2) 和 (0,1) 上是单调递减的.………………分

(Ⅲ )由(Ⅰ )可知 f (x) ? x2ex?1 ? 1 x3 ? x2 , 3
故 f (x) ? g(x) ? x2ex?1 ? x3 ? x2 (ex?1 ? x) ,

令 h(x) ? ex?1 ? x ,………………分

则 h?(x) ? ex?1 ?1 .令 h?(x) ? 0 ,得 x ?1 ,
因为 x ????,1? 时, h?(x) ≤ 0 ,所以 h(x) 在 x ????,1? 上单调递减.………分

故 x ????,1? 时, h(x)≥ h(1) ? 0 ;

因为 x??1,? ?? 时, h?(x)≥ 0 ,

所以 h(x) 在 x ??1,? ?? 上单调递增.………………分

故 x ??1,? ?? 时, h(x)≥ h(1) ? 0 .………………分

所以对任意 x ? (??,? ?) ,恒有 h(x)≥ 0 ,又 x2 ≥ 0 , 因此 f (x) ? g(x)≥ 0 , 故对任意 x ?(??,? ?) ,恒有 f (x)≥ g(x) .………………分

7/7