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2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第六章 第2讲 一元二次不等式及其解法


第2讲

一元二次不等式及其解法

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、
一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设

计求解的程序框图.

1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的 不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0).

(2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式
的解集.

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关 系如下表:

判别式Δ=

b -4ac
二次函数 y =ax 2+bx +c(a>0)的 图象

2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

(续表) 判别式Δ=b2-4ac

Δ>0
有两相异实根

Δ=0
有两相同实

Δ<0
没有

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
一元 ax2+bx+ 二次 c>0(a>0) 不等

-b± b2-4ac b 实根 x1,2= 根 x1,2=- 2a _________________ 2a

{x|x<x1 或 x>x2}

? ? ? b ?x?x≠- 2a ? ? ?

? ? ? ? ?

R

ax2+bx+ 式的 c<0(a>0) 解集

{x|x1<x<x2}

?

? ____

若 a<0 时,可以先将二次项系数 a 化成正数,对照上表求解.

1.(2015 年广东广州第一次调研)不等式 x2-2x-3<0 的解
(-1,3) . 集是________
2.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( B ) A.{x|x>1} B.{x|x≥1 或 x=-2} C.{x|x≥1} D.{x|x≥-2,且 x≠1}

3.下列四个不等式中,解集为 R 的是( C )
A.-x2+x+1≥0 C.x2+6x+10>0 B.x2-2 5x+ 5>0

D.2x2-3x+4<0

4.(2014 年四川)已知集合 A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B=( A.{-1,0} C.{-2,-1,0,1} D ) B.{0,1} D.{-1,0,1,2}

解析:A={x|-1≤x≤2},集合B 为整数集,则A∩B= {- 1,0,1,2}.故选 D.

考点 1 解一元二次、分式不等式

例1:(1)(2013 年广东)不等式 x2+x-2<0 的解集为_______.
解析:x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,-2<x<1. 答案:(-2,1)

x (2)(2013 年上海)不等式 <0 的解集为________. 2x-1 ? 1? x 解析: <0?x(2x-1)<0?x∈?0,2?. 2x-1 ? ?
? 1? 答案:?0,2? ? ?

【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标 准形式,即不等式的右边为零,左边的二次项系数为正;②确

定判别式Δ的符号;③若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方
程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根;④结合二次函数的

图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二
次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.

【互动探究】
1.(2014 年广东广州水平测试)关于 x 的不等式 2x2+ax- a2>0 的解集中的一个元素为 1,则实数 a 的取值范围是( B ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
?1 ? C.(-∞,-1)∪?2,+∞? ? ?

B.(-1,2)
? 1? D.?-1,2? ? ?

解析:不等式2x2+ax-a2>0 的解集中的一个元素为1,则 有2+a-a2>0,即a2-a-2<0,解得-1<a<2.故选 B.

考点 2 含参数不等式的解法 例 2:解关于 x 的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.

解:原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0. (1)当 a=0 时,x>1; 1 (2)当 a<0 时,x< 或 x>1; a (3)当 a>0
? 1? 时,上面不等式可化为?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 ①当 0<a<1 时,1<x< ; a ②当 a=1 时,解集为?;

1 ③当 a>1 时,a<x<1. 综上所述,当 a<0
? ? ? 1 时,不等式的解集为?x?x<a或x>1 ? ? ?
? ? ? ? ? ?

? ? ?; ? ?

? ?; x >1 当 a=0 时,不等式的解集为 x ?

当 0<a<1

? ? ? 1 ? ? 时,不等式的解集为 x 1<x<a ? ? ?

? ? ?; ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?; 当 a>1
? ? ?1 时,不等式的解集为?x?a<x<1 ? ? ? ? ? ?. ? ?

【规律方法】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨 论: ①根据二次项系数讨论(大于 0,小于 0,等于 0); ②根据根的判别式讨论(Δ>0,Δ=0,Δ<0); ③根据根的大小讨论(x1>x2,x1=x2,x1<x2).

【互动探究】

2.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}.
(1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.

解:(1)∵不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, ∴x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根, b>1, 且 a>0.由根与系数的关系, 3 ? ?1+b=a, 得? ?1×b=2, a ?
? ?a=1, 解得? ? ?b=2.

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 综上所述,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集 为{x|2<x<c};

当 c<2 时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?.

考点 3 一元二次不等式的应用 例 3:(2014 年大纲)函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在区间(1,2)上是增函数,求 a 的取值范围.
解:(1)f′(x)=3ax2+6x+3, 令 f′(x)=3ax2+6x+3=0,其判别式 Δ=36(1-a), 当 a≥1 时,Δ≤0,f′(x)≥0 恒成立, 故 f(x)在 R 上是增函数; 由于 a≠0,当 a<1 时,Δ>0,f′(x)=0 有两个根, -1- 1-a -1+ 1-a 即 x1= ,x2= . a a

当 0<a<1 时,函数
?-1+ ? ? a ?

? -1- ? f(x)在区间?-∞, a ?

1-a? ?

?和 ?

? 1-a ? ,+∞?上单调递增, ?

?-1- 在区间? ? a ?

1-a

-1+ 1-a? ? 上单调递减; , ? a
?

当 a<0 时,函数
?-1- ? ? a ?

? -1+ ? f(x)在区间?-∞, a ?

1-a? ?

?和 ?

? 1-a ? ,+∞?上单调递减, ?

?-1+ 在区间? ? a ?

1-a

-1- 1-a? ? 上单调递增. , ? a
?

(2)当 a>0,x∈(1,2)时, f′(x)=3ax2+6x+3>0 显然成立, 所以函数 f(x)在区间(1,2)上是增函数; 当 a<0 时,函数 f(x)在区间(1,2)是增函数,
? ?f′?1?≥0, 当且仅当? ? ?f′?2?≥0, ? ?3a+6+3≥0, 即? ? ?12a+12+3≥0.

a≥-3, ? ? ? 5 ? 解得? 即 a∈?-4,0?. 5 ? ? a≥- , ? 4 ? 综上所述,a
? 5 ? 的取值范围为?-4,0?∪(0,+∞). ? ?

【规律方法】含参数问题的分类讨论,其主要形式最终都 转化成二次问题的分类讨论,分类讨论的一般情形为:

①讨论二次项系数的正负?a>0,a=0,a<0?;
②讨论有根还是没有根?Δ>0,Δ=0,Δ<0?; ③讨论两根的大小?x1>x2,x1=x2,x1<x2?; ④讨论两根是否在定义域内.

【互动探究】

3.(2013 年江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,
(-5,0)∪(5,+∞) f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为______________.

解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数. ?x2-4x,x>0, ? f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0. ? 当 x>0 时,f(x)=x2-4x>x,得 x<0(舍)或 x>5; 当 x=0 时,f(x)=0>0,不成立; 当 x<0 时,f(x)=-x2-4x>x,x2+5x<0,-5<x<0.

综上所述,x∈(-5,0)∪(5,+∞).

●思想与方法● ⊙利用转化与化归思想求参数的范围

x2+2x+a 例题:已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x
(1)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取

值范围;
(2)若对任意 a∈[-1,1],f(x)>4 恒成立,求实数 x 的取值范 围.

解:(1)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立, x2+2x+a 即 >0,x∈[1,+∞)恒成立. x 亦即 x2+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立. 即 a>-x2-2x,x∈[1,+∞)恒成立. 即 a>(-x2-2x)max,x∈[1,+∞). 又∵-x2-2x=-(x+1)2+1, 当 x=1 时,(-x2-2x)max=-3,x∈[1,+∞),∴a>-3. ∴对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,实数 a 的取值范围 为{a|a>-3}.

(2)要使当 a∈[-1,1]时,f(x)>4 恒成立. x2+2x+a 即 >4,x∈[1,+∞)恒成立. x ∴x2-2x+a>0 对 a∈[-1,1]恒成立. 把 g(a)=a+(x2-2x)看成 a 的一次函数, 则使 g(a)>0 对 a∈[-1,1]恒成立的条件是
? ?g?1?>0, ? ? ?g?-1?>0.
2 ? x ? -2x+1>0, 即? 2 ? ?x -2x-1>0.

解得 x<1- 2或 x> 2+1. 又 x≥1,∴x> 2+1. 故所求 x 的取值范围是( 2+1,+∞).

【规律方法】在含有多个变量的数学问题中,选准“主元” 往往是解题的关键.即需要确定合适的变量或参数,能使函数关

系更加清晰明朗.一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范
围的量为参数.如第?1?小问中 x 为变量?关于 x 的二次函数?,a

为参数.第?2?小问中 a 为变量?关于 a 的一次函数?,x 为参数.


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