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2014届高考数学一轮复习课件:第五章第2课时等差数列及其前n项和(新人教A版)_图文

第2课时

等差数列及其前n项和

2014高考导航
考纲展示 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公 式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中 识别数列的等差关系, 并能用有关知识解决相 应的问题. 4.了解等差数列与一次函 数的关系. 备考指南 1.等差数列的通项公式与前 n项和公式是考查重点. 2.归纳法、累加法、倒序相 加法、方程思想、运用函数 的性质解决等差数列问题是 重点,也是难点. 3.题型以选择题、填空题为 主,与其他知识点结合则以 解答题的形式出现.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 _____________,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫 公差 作等差数列的_____,通常用字母_____表示,定义的表达式为 d an+1-an=d _____________ .

(2)等差中项 A 如果 a,A,b 成等差数列,那么_____叫作 a 与 b 的等差

a+b A= 2 中项且_______________.
思考探究 a+b A= 是 a,A,b 成等差数列的什么条件? 2
a+b 提示: 充要条件. A= ?2A=a+b?A-a=b-A?a, 2 A,b 成等差数列.反之,若 a,A,b 成等差数列,则 A a+b a+b = .故 A= 是 a,A,b 成等差数列的充要条件. 2 2

(3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an= a1+(n-1)d,n∈N* _____________________. 2.等差数列的前n项和
已知 条件 选用 公式 首项 a1,公差 d n(n-1) Sn=na1+ d 2 首项 a1,末项 an n(a1+an) Sn= 2

3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和. (n-m)d (1)通项公式的推广:an=am+_________ (n,m∈N*). ak+al=am+an (2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则________________.

2d (3)若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为_____.
(4)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.

课前热身
1.(2012· 高考重庆卷)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5, 则{an}的前5项和S5=( A.7 C.20 ) B.15 D.25

解析:选 B.∵{an}是等差数列,∴a2+a4=2a3=1+5,∴a3 5?a1+a5? 5×2a3 =3,∴S5= = =5a3=5×3=15. 2 2

2.在等差数列{an}中,a1+a2=4,a7+a8=28,则数列的

通项公式an为(
A.2n C.2n-1 答案:C

)
B.2n+1 D.2n+2

3.若数列{an}是等差数列,且 a1+a8+a15=π,则 tan(a4 +a12)=( A. 3 3 C. 3 ) B.- 3 3 D.- 3

π 解析:选 B.由 a1+a8+a15=π,得 3a8=π,∴a8= . 3 2π 2π 又 a4+a12=2a8= ,∴tan(a4+a12)=tan =- 3. 3 3

4.(2012· 高考北京卷)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 1 项和.若 a1= ,S2=a3,则 a2=________. 2
解析:设{an}的公差为 d, 由 S2=a3 知,a1+a2=a3,即 2a1+d=a1+2d. 1 1 又 a1= ,所以 d= ,故 a2=a1+d=1. 2 2

答案:1

5.在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是________.
解析:∵a1=40,d=37-40=-3, ∴an=40+(n-1)×(-3)=-3n+43, 43 令 an<0,即-3n+43<0,解得 n> , 3 故第一个负数项是第 15 项,即 a15=-3×15+43=-2.

答案:-2

考点探究讲练互动
考点突破
考点1 例1 等差数列的判断与证明 已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,

且p、q为常数).

(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?
(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.

【解】

(1)an + 1 -an =[p(n+1)2 +q(n+1)]-(pn2 +qn)=

2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与
n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0. 故当p=0时,数列{an}是等差数列. (2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. ∴{an+1-an}是等差数列. 【题后感悟】 判断或证明数列{an}为等差数列,可利用定 义,即证an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n∈N*,n≥2), 其中d为常数;也可利用等差中项,即证2an+1=an+an+2.

跟踪训练 Sn 1.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,bn= (n∈N*). n 求证:数列{bn}是等差数列.
证明:设等差数列{an}的公差为 d, 1 则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2 Sn 1 ∴bn= =a1+ (n-1)d. 2 n 1 1 d 法一:bn+1-bn=a1+ nd-a1- (n-1)d= (常数), 2 2 2 ∴数列{bn}是等差数列.

1 法二:bn+1=a1+ nd, 2 1 bn+2=a1+ (n+1)d, 2 1 1 ∴bn+ 2+bn=a1+ (n+1)d+a1+ (n-1)d 2 2 =2a1+nd=2bn+ 1. ∴数列{bn}是等差数列.

考点2 例2

等差数列的基本运算 (2013· 烟台调研)已知等差数列{an}中,a1 =1,

a3=-3.

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d,

由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] ∴Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35 得 2k-k2=-35. 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7.

【题后感悟】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,

共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外 两个,体现了用方程解决问题的思想. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示

已知和未知是常用方法.

跟踪训练 2.(2013· 温州调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足:a2+a4=14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求该 n 项的值.

?2a1+4d=14 ? 解:(1)设公差为 d,则有? , ? ?7a1+21d=70 ?2a1+4d=14 ?a1=1 ? ? 即? ,解得? , ?a1+3d=10 ?d=3 ? ?

所以 an=3n-2. 3n2-n n (2)Sn= [1+(3n-2)]= , 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3n+ -1≥2 n n 48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号, n

48 3n· -1=23, n

故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23.

考点3 例3

等差数列的性质

(1)等差数列{an}前17项和S17=51,则a5-a7+
) B.6 D.51

a9-a11+a13等于( A.3 C.17

(2)已知等差数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6= 20,则前9项之和等于__________.

【解析】

a1+a17 (1)由于 S17= ×17=17a9=51,所以 a9 2

=3.根据等差数列的性质 a5+a13=a7+a11,所以 a5-a7+ a9-a11+a13=a9=3.故选 A. (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列, 且 S3=40,S6-S3=20. ∴S9-S6=20+(-20)=0,∴S9=S6=60.

【答案】

(1)A

(2)60

【题后感悟】

(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q=

2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质,本例第(1)题
用到了这个性质,在应用此性质时,一定要观察好每一 项的下标规律,不要犯a2+a5=a7的错误. (2)本例第(2)题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如 用性质简单.

跟踪训练 3.(1)(2013· 济南市模拟)在等差数列{an}中,a1=-2 013, S12 S10 其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2 013 的值等于( 12 10 A.-2 011 C.-2 010 B.-2 012 D.-2 013 )

(2)设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn = 324, 最后 6 项和为 180(n>6),则 数列 的 项数 n 为 ________,a9+a10=__________.

Sn 解析:(1)根据等差数列的性质,得数列{ }也是等差数列,根 n S1 据已知可得这个数列的首项 =a1=-2 013,公差 d=1,故 1 S2 013 =-2 013+(2 013-1)×1=-1,所以 S2 013=-2 013. 2 013 (2)由题意可知 a1+a2+…+a6=36,① an+an- 1+an- 2+…+an- 5=180,② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an- 5) =6(a1+an)=216,∴a1+an=36. n?a1+an? 又 Sn= =324, 2 ∴18n=324,∴n=18,∴a1+a18=36. ∴a9+a10=a1+a18=36.

答案:(1)D (2)18

36

方法感悟
1.等差数列的判断方法 (1)定义法:an+ 1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+ 2(n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等 差数列. 2.等差数列{an} (1)am,am+ k,am+ 2k,am + 3k,…仍是等差数列,公差为 kd. (2)S2n- 1=(2n-1)an. n (3)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= d. 2 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中 (中间项).

3.等差数列的最值问题 若{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时,
?an≥0, ? (1)若 a1>0,d<0,且满足? 前 n 项和 Sn 最大; ? ?an+1≤0, ?an≤0, ? (2)若 a1<0,d>0,且满足? 前 n 项和 Sn 最小; ?an+1≥0, ?

(3)除上面方法外,还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配 方法求解,注意 n∈N*.

名师讲坛精彩呈现
数学思想


方程思想求解等差数列中的问题

(2012· 高考重庆卷)已知{an}为等差数列,且a1+a3

=8,a2+a4=12.

(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求 正整数k的值.

【解】

(1)设数列{an}的公差为 d,

?2a1+2d=8, ?a1=2, ? ? 由题意知? 解得? ? ? ?2a1+4d=12, ?d=2.

所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. n?a1+an? n?2+2n? (2)由(1)可得 Sn= = =n(n+1). 2 2 因为 a1,ak,Sk+ 2 成等比数列,所以 a2=a1Sk+ 2. k 从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0, 解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6.

【感悟提高】

解决有关等差(比)数列的此类问题,一般

通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程
或方程组解决,本题两问都利用了方程思想,这是解决此

类问题最常用的思路.

跟踪训练 4.(2013· 荆州模拟)已知数列{an}的通项公式为an=2n.若a3, a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通 项公式及前n项和Sn.
解:a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32. 设{bn}的公差为 d, ?b1+2d=8, ?b1=-16. ? ? 则有? 解得? ?b1+4d=32, ?d=12. ? ? 从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前 n 项和 n?-16+12n-28? Sn = =6n2-22n. 2

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