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高中数学选修4-4新课标高考题


数学选修 4-4 高考题
2014 年新课标 2 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 . ? ? 2cos ? , ? ? ? 0, ? ? ? ? 2? ?

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标.

(1)C 的普通方程为 + =1(0 可得 C 的参数方程 ) (t 为参数,0

(Ⅱ)设 D(1+cost,sint).由(Ⅰ)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半 圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 I 垂直,所以直线 GD 与 I 的斜率相同。 tant= ,t=π /3. /2).

故 D 的直角坐标为(1+cosπ /3,sinπ /3),即(3/2,
2013 年新课标 2 (23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t, ( t 为参数)上,对应参数分别为 t =? 与 t =2? ? y ? 2sin t

( 0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(2)M 点到坐标原点的距离
2 2 d= x ? y ? 2 ? 2cos? (0<α <2π ). 当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

2012 年新课标 (23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,
2 2 2 2

?
3

)

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 32 ? 20sin 2 ? ?[32,52]
2011 年新课标 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,M 为 C1 上的动点, (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

?
3

与 C1 的异于极点的交点

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 cos ?, ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为 ?



s ? ?x ? 4 c o ? ? ? ?? ?y ? 4 ? 4s i n

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ )曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ?

?
3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4 sin

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C 2 的交点 B 的极径为

? ? 2 ? 8 sin 。
3
所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . 2014 年新课标 1

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程已知曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 4 9

?x ? 2 ? t ( t 为参数). ? y ? 2 ? 2 t ?
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值.
o

2013 年新课标 1 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程式 ?

? x ? 4 ? 5 c o ts ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,以坐标原点 y ? 5 ? 5 s i n t ?

?. 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 s i n
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2 π )

2014 年辽宁 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标 建立极坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 解: (Ⅰ )在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,由题意可得点(x, )在圆 x +y =1 上,
2 2

∴ x+ 数) .

2

=1,即曲线 C 的方程为 x +

2

=1,化为参数方程为

(0≤θ<2π,θ 为参

(Ⅱ )由

,可得



,不妨设 P1(1,0) 、P2(0,2) ,

则线段 P1P2 的中点坐标为( ,1) , 再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ,故所求的直线的方程为 y﹣1= (x﹣ ) ,即 x﹣2y+ =0. 再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为 ρcosα﹣2ρsinα+ =0, 即 ρ= 2014 年江苏 [选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) .

? ?x ? 1? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2? ? ?
物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点,求线段 AB 的长。
2

2 t, 2 ( 为参数) ,直线 l 与抛 t 2 t 2

? ?x ? 1? ? 解:将直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2? ? ?
2

2 t, 2 代入抛物线方程 y 2 ? 4x , 2 t 2

? ? 2 ? 2 ? t ? 4 1 ? t ? ,解得 t1 ? 0, t2 ? ?8 2 得?2? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
所以 AB ?| t1 ? t2 |? 8 2 2014 年福建

(2 ) (本小题满分 7 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

? x ? a ? 2t 已知直线 l 的参数方程为 ? , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 y ? ? 4 t ? ? x ? 4 cos? , ( ? 为常数). ? ? y ? 4 sin ?
(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.


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