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2017版高考数学一轮复习练习2.4二次函数与幂函数.doc


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分层限时跟踪练(七)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.若函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数,则 α 可能取的值为( A.-1 B.1 C.2 1 D. 2 )

【解析】 只有 α=1 时,幂函数 y=x 满足要求. 【答案】 B 2.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )

c 【解析】 由 a+b+c=0,a>b>c 知 a>0,c<0,则 <0,排除 B,C.又 f(0)=c<0,则排 a 除 A,故选 D. 【答案】 D 3.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0 )

【解析】 因为 f(0)=f(4)>f(1),所以函数图象应开口向上,即 a>0,且其对称轴为 x b =2,即- =2,所以 4a+b=0,故选 A. 2a 【答案】 A 4.(2015· 山东省实验中学模拟)已知函数 f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且 x1<x2,x1+x2 =1-a,则下列说法正确的是( A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定 【解析】 函数图象的对称轴为 x=-1,而(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=3-a>0,因 为 x1<x2,故 x2 到对称轴的距离大,所以 f(x2)较大. 【答案】 A )

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a 5.(2015· 运城模拟)已知 x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+ >0 恒成立,则实数 a 的取值范 2 围是( ) B.(2,+∞) C.(0,+∞) D.(0,4)

A.(0,2)

a 【解析】 二次函数图象开口向上,对称轴为 x= , 2 a 又 x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+ >0 恒成立, 2 即 f(x)最小值>0. a a 2 ①当 ≤-1,即 a≤-2 时,f(-1)=1+a+ >0,解得 a>- ,与 a≤-2 矛盾; 2 2 3 a a ②当 ≥1,即 a≥2 时,f(1)=1-a+ >0,解得 a<2,与 a≥2 矛盾; 2 2 a a ③当-1< <1,即-2<a<2 时,Δ=(-a)2-4· <0,解得 0<a<2. 2 2 综上得实数 a 的取值范围是(0,2). 【答案】 A 二、填空题 6 . (2015· 广州模拟 ) 已知幂函数 f (x) = x - m2 - 2m + 3(m ∈ Z) 为偶函数,且在区间

(0,+∞)上是单调增函数,则 f(2)的值为________.
【解析】 因为幂函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,所以-m2-2m+3>0,解 得-3<m<1,又因为 m∈Z,所以 m=-2 或-1 或 0.因为幂函数 f(x)为偶函数,所以-m2 -2m+3 是偶数,当 m=-2 时,-m2-2m+3=3,不符合,舍去;当 m=-1 时,-m2 -2m+3=4;当 m=0 时,-m2-2m+3=3,不符合,舍去.所以 f(x)=x4,故 f(2)=24 =16. 【答案】 16 7 .已知函数 f(x) = ax2 + 2ax + 1 在区间 [ - 1,2] 上有最大值 4 ,则实数 a 的值为 ______________. 【解析】 若 a=0,则 f(x)=1,不满足题意.若 a≠0,f(x)的对称轴方程为 x=-1,当 3 a>0 时,f(x)在[-1,2]上递增,f(x)max=f(2)=4a+4a+1=4,∴a= ; 8 当 a<0 时,f(x)在[-1,2]上递减,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=4,∴a=-3. 【答案】 3 或-3 8

?x2+2x+2,x≤0, ? 8.(2014· 浙江高考)设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a))=2,则 a=________. ?-x ,x>0. ?

【解析】 若 a>0,则 f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得 a= 2.
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若 a≤0,则 f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解. 【答案】 三、解答题 9.已知二次函数 y=f(x)满足 f(-2)=-16,f(4)=-16,且函数 f(x)的最大值为 2. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)在[t,t+1]上的最大值. 【解】 (1)因为 f(-2)=f(4),f(x)max=2, 所以设 f(x)=a(x-1)2+2,a<0. 由 f(-2)=a(-2-1)2+2=-16 得 a=-2, 所以 f(x)=-2(x-1)2+2=-2x2+4x, 即所求函数 y=f(x)的解析式为 f(x)=-2x2+4x. (2)①当 t+1≤1 即 t≤0 时,y=f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以 f(x)max=f(t+1)=-2(t +1-1)2+2 =-2t2+2; ②当 t≥1 时,y=f(x)在[t,t+1]上单调递减, 所以 f(x)max=f(t)=-2(t-1)2+2=-2t2+4t; ③当 t<1<t+1 即 0<t<1 时, y=f(x)在[t,1]上单调递增, 在[1, t+1]上单调递减, 所以 f(x)max =f(1) =-2(1-1)2+2=2. 综上所述, -2t +2,t≤0, ? ? f(x)max=?2,0<t<1, ? ?-2t2+4t,t≥1. 10.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解】 (1)由 f(0)=1,得 c=1. 因此 f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x.∴2ax+a+b=2x(x∈R).
?2a=2, ?a=1, ? ? 因此? ∴? ? ? ?a+b=0, ?b=-1.
2

2

所以 f(x)=x2-x+1. (2)由题意,x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.
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则 m<x2-3x+1 在[-1,1]上恒成立, 令 g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1], 易知 g(x)在 x∈[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=-1,应有 m<-1. 即 m 的取值范围为(-∞,-1). [能 力 练] 扫盲区 提素能 1.(2015· 泉州模拟)已知函数 f(x)=x2-2ax+1,其中 a∈R,则“a>1”是“f(-2 013) > f(2 015)”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 函数 f(x)的图象的对称轴是 x=a, 当 a>1 时,|a-(-2 013)|>|a-2 015|, 则 f(-2 013) >f(2 015);反之,若 f(-2 013)>f(2 015),则 a-(-2 013)>2 015-a, 得 a>1,故选 C. 【答案】 C 2. (文)若定义在 R 上的二次函数 f(x)=ax2-4ax+b 在区间[0,2]上是增函数, 且 f(m)≥f(0), 则实数 m 的取值范围是( A.0≤m≤4 C.m≤0 ) B.0≤m≤2 D.m≤0 或 m≥4

【解析】 ∵f(x)=a(x-2)2+b-4a,对称轴为 x=2, ∴由已知得 a<0,结合二次函数图象知,

要使 f(m)≥f(0),需满足 0≤m≤4. 【答案】 A 3.(2015· 青岛模拟)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x) -g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a, b]称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取 值范围为______________.
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【解析】 由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同 一直角坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示, 9 ? 结合图象可知,当 x∈[2,3]时, y=x2-5x+4∈? ?-4,-2?, 9 2 ? 故当 m∈? ?-4,-2?时,函数 y=m 与 y=x -5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点. 9 ? 【答案】 ? ?-4,-2? 4.已知函数 f(x)=x2-2ax+5 在(-∞,2]上是减函数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+1], 总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 f(x)=(x-a)2+5-a2, 根据 f(x)在区间(-∞, 2]上是减函数知, a≥2, 则 f(1)≥f(a +1), 从而|f(x1)-f(x2)|max=f(1)-f(a)=a2-2a+1, 由 a2-2a+1≤4,解得-1≤a≤3,又 a≥2,所以 2≤a≤3. 【答案】 [2,3] 5.已知二次函数 f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R). (1)若 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤1},求实数 b,c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(-3, -2),(0,1)内,求实数 b 的取值范围. 【解】 (1)x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根. 由韦达定理,得? ∴b=0,c=-1. (2)由题意知,f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b. 记 g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c =x2+(2b+1)x-b-1, g?-3?=5-7b>0, ? ?g?-2?=1-5b<0, 则? g? 0? =-1-b<0, ? ?g? 1?=b+1>0
? ?x1+x2=-2b, ?x1x2=c. ? ? ?-2b=0, 即? ?c=-1. ?

1 5 ? <b< , 5 7

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1 5? 即 b 的取值范围为? ?5,7?. 6.(2015· 杭州七校联考)已知函数 f(x)=x2+(x-1)|x-a|. (1)若 a=-1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x)在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<1 且不等式 f(x)≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围.
?2x2-1,x≥-1, ? 【解】 (1)当 a=-1 时,有 f(x)=? ? ?1,x<-1.

当 x≥-1 时,2x2-1=1,解得 x=1 或 x=-1. 当 x<-1 时,f(x)=1 恒成立, ∴方程的解集为{x|x≤-1 或 x=1}.
2 ? +1? x +a,x≥a, ?2x -? a (2)f(x)=? ?? a +1? x -a,x<a, ?

a+1 ? ? ≤a, 1 若 f(x)在 R 上单调递增,则有? 4 解得 a≥ . 3 ? ?a+1>0, (3)设 g(x)=f(x)-(2x-3),
?2x2-? a +3? x +a+3,x≥a, ? 则 g(x)=? ? -1? x -a+3,x<a, ?? a

即不等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立. ∵a<1,∴当 x<a 时,g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞), ∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0 恒成立, a+3 当 x≥a 时,∵a<1,∴a< , 4 ∴g(x)min=g? ?a +3?2 a+3? =a+3- ≥0, 8 ? 4 ?

得-3≤a≤5,∵a<1,∴-3≤a<1, 综上知 a 的取值范围为[-3,1).

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