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高中数学北师大版选修2-1 3.3.2双曲线的简单性质 课件(35张)_图文

3.2 双曲线的简单性质 -1- 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等简单 几何性质. 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数 形结合思想. 2 双曲线2 ? 2=1(a>0,b>0)的简单性质 2 1.对称性 2 双曲线 2 ? 2 2=1(a>0,b>0)是以 x 轴和 y 轴为对称轴的轴对称图 形,以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的 中心. 2.范围 2 双曲线 2 ? 2 2=1(a>0,b>0)都在两条平行直线 x=a 和 x=-a 的两 侧,因此双曲线上点的横坐标满足 x≤-a 或 x≥a. -3- 3.顶点 我们把双曲线与它的对称轴的交点A1(-a,0),A2(a,0)叫作双曲线的 顶点.顶点是双曲线两支之间距离最近的点.两个顶点间的线段叫 作双曲线的实轴,它的长度等于2a. 设B1(0,-b),B2(0,b)为y轴上的两个点,我们把线段B1B2叫作双曲线 的虚轴,它的长度等于2b. a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长. -4- 【做一做 1】 2 2 A. ? =1 16 25 2 2 C. ? =1 16 9 2 2 已知双曲线 ? 2=1 的实轴的一个端点为 A 1, 16 虚轴的一个端点为 B1,且|A1B 1|=5,则双曲线的方程是 2 2 B. ? =-1 16 25 2 2 D. ? =-1 16 9 ( ) 解析 :由 a,b,c 之间的关系知 c=5, 则 b2=c2-a2=25-16=9. 答案 :C -5- 4.离心率 2 2 我们把 =e 叫作双曲线 2 ? 2=1(a>0,b>0)的离心率.因为 c>a>0,所以 e= >1. 决定双曲线的开口大小, 越大,双曲线的开口就越大.因为 2 -2 2 = = 2 -1 = 2 -1 ,所以 越大,e 也越大,从而离心率可以用 来表示双曲线开口的程度. -6- 【做一做 2】 2 已知双曲线 4 2 + =1 的离心率 e<2,则 k 的取值 范围是( ) A.k< 0 或 k> 3B.-3<k<0 C.-12<k<0 D.-8<k<3 解析 :由题设知 k<0 且焦点在 x 轴上 ,则 a =4,b =-k,故 1< 解得 -12<k<0. 答案 :C 2 2 4- 2 <2, -7- 5.渐近线 我们把直线 y= x 和 y=- x 叫作双曲线的渐近线. 说明 :(1)要注意双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的相同点 和不同点.尤其是椭圆有 4 个顶点 ,双曲线只有 2 个顶点;椭圆有长轴、 短轴,双曲线有实轴、 虚轴; 椭圆的离心率 e∈(0,1),双曲线的离心率 e ∈(1,+∞);渐近线是双曲线特有的. 2 2 2 2 (2)①双曲线 2 ? 2=1 的渐近线为 y=± x,双曲线 2 ? 2 =1 的渐 近线为 y=± x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成 “0”,然后 因式分解即得渐近线方程,这样就避免出错了. -8- ②双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交. ③若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线的方程.双曲线的焦 点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决. 方法1:分两种情况设出方程进行讨论. 方法2:依据渐近线方程,设出双曲线方程为m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出 λ即可. 2 ④与2 2 ? 2 =1 共渐近线的双曲线的方程可设为 2 2 ? 2 2=λ(λ≠0). -9- 2 2 【做一做 3-1】 双曲线 ? =1 的渐近线方程是( 9 16 3 4 A.y=± x B.y=± x 4 3 5 3 C.y=± x D.y=± x 3 5 3 解析 :渐近线方程为 ± =0,即 y=± x. 3 4 4 ) 答案 :A 【做一做 3-2】 双曲线的离心率为 2,则双曲线的两条渐近线 的夹角是 . 解析 :由 = 2, 2 2 2 + = , 故两条渐近线的夹角为 90° . 答案 :90° 得 a=b,则渐近线方程为 y=± x. -10- 【做一做 3-3】 求双曲线 16x2- 9y2=-144 的实半轴长和虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程. 解 :把方程 16x -9y =-144 化为标准方程 e= 2 2 2 42 ? 2 32 =1,由此可知 ,实 半轴长 a=4,虚半轴长 b=3,则 c= 2 + 2 =5. 所以焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率 5 = ; 4 4 y=± x. 3 顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为 -11- 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 根据双曲线的方程求性质 【例1】 求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、 虚半轴长、离心率和渐近线方程. 分析:先将双曲线的形式化为标准方程,再根据其性质的定义依 次求解. -12- 题型一 题型二 题型三 题型四 解 :将 4x -y =4 变形为 x 即 2 1 2 2 2 2 ? 2 2 2 - =1, 4 2 =1. 所以 a=1,b=2,c= 5. 故顶点坐标为 (-1,0)和 (1,0); 焦点坐标为 (- 5,0)和 ( 5,0); 实半轴长是 a=1,虚半轴长是 b=2; 离心率 e= = 5 1 = 5; 渐近线方程为 y=± x=± 2x. -13- 题型一 题型二 题型三 题型四 反思由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤 :先将双 2 曲线方程化为标准形式 2 ? 2 2 =1 2 或 2 ? 2 2

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