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高一数学必修二课件1.2.3空间几何体的直观图


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下面是一个几何体的三视图,想象它 的空间结构,给出它的名字.
正 视 图 侧 视 图 长方体

俯 视 图

观察
我们已经学习了三视图的画法,那这个图又是 怎么画出来的呢?它和三视图比较各有什么特点?

这节课将会解答这些问题。

1.2.3 空间几何体的直观图

教学目标
知识与能力
? 掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图. ? 采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与 在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

过程与方法
? 学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空
间几何体的直观图。

情感态度与价值观
? 提高空间想象力与直观感受。 ?体会对比在学习中的作用。 ?感受几何作图在生产活动中的应用。

教学重难点
重点
? 用斜二测画法画空间几何值的直观图。

难点
? 用斜二测画法画空间几何值的直观图。

下图是相应几何体的直观图。

棱柱

圆柱

棱锥

圆锥

棱台

圆台

球体

空间几何体的直观图通常是在平行投影 下画的空间图形。 要画空间几何体的直视图,首先要学会水 平放置的平面图形的画法。 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法, 常用它来画空间几何体的直观图.我们先学习用 斜二测画法来画水平放置的平面图形的直观图。

例一 画水平放置边长为2cm的正六角形的直观图。 (1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴, 对称轴MN所在直线为y轴,两轴交与点O.画对应的 x‘轴和y’轴,两轴交与点O',使∠ x'o'y'=45°。

y

F

M

E

y?
D

A
B

O

x

O'

x?

N

C

(2)以O '为中心,在x '上取A ' D ' =AD,在y ' 轴上取M ' N ' =1/2MN.以点N '为中心,画B ' C ' 平行于x '轴,并且等于BC:再以M '为中心,画 E ' F '平行于x '轴,并且等于EF。

y
y?

F

M

E
A?

F? M ? E?
N?

A
B

O

D
C

x

B?

O?

D?

C?

x?

N

(3)连接A ' B ' ,C ' D ' ,E ' F ' ,F ' A ' ,并 擦去辅助线x '轴和y '轴,便获得正六边形 ABCDEF水平放置的直观图A ' B ' C ' D ' E ' F ' 。

y
F
M

E
A?

y?

F? M ? E?
N?

A
B

O

D
C

x

B?

O?

D?

C?

x?

N

例一画直观图的方法叫做斜二测画法。
基本步骤:

(1)画轴。
y?

450或1350
O'

x?

(2)确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴。

平行y轴的线段平行于y’ 轴。
y?
A?
B?

F? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

(3)确定线段长度.

平行x轴的线段的长度保持不变。
平行y轴的线段的长度变为原来的一半。
y?
A?
B?

F? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

扩 展

画水平放置的圆的直观图。
y′

O′

x′

接下来学习空间几何体的直观图的画法。

例二 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方 体的直观图。
z

y

y
C1

D1

A1

3
M

D

Q

B1 C N B

x
A P

o

x

4

基本步骤:

(1)画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使 ∠ xoy=45°,∠ xoz=90°。

Z

y
O

x

(2)画底面。以O为中心,在x轴上取线段MN, 使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,是PQ=2/3cm.分 别过M和N作y轴的平行线,过P河Q作x轴的平行 线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是长方形的地面ABCD。 Z

y
M

D
O

Q

C

N

A

x

P

B

(3)画侧棱。过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线, 并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA ',BB ',CC ',DD ' 。

D?

Z

C?

A?

M

D
P

O

B? C Q N

y

x

A

B

(4)成图。顺次连接A ',B ',C ',D ',并加以整理 (去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线), 就得到长方体的直观图。

D?

C?

A?

D

B?

C

A

B

小结 空间几何图形的直观图画法。
1. 画轴:增加z轴,∠xOz=900。 2. 画底面。 3. 画侧棱(直棱柱的侧棱和z轴平行,长度保持不变)。 4. 成图.注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线。

试一试自己来画直六棱柱的直观图。
E’ F’ A’ z’ B’ y’ E F A O’ C x’ B D D’ C’

例三

已知几何体的三视图如下,用斜二测 画法画出它的直观图。
正视图 侧视图

俯视图

z

y

y
C1

D1 A1 3 B1

D M

Q

C N B

x
A 4

o
P

x

探 三视图与直视图的关系 究
可以由三视图得到直观图。

c
a b

c 侧视图

正视图
b a

俯视图

可以由直观图得到三视图。

正 视 图 俯 视 图

侧 视 图

三视图从细节上刻画了空间几何体的结 构,根据三视图,我们可以得到一个精确的 空间几何体,由于三视图的这个特点,使它 在生产活动中得到广泛应用(零件图纸、建 筑图纸等都是三视图)。

直观图是对空间几何体的整体刻画, 人们可以根据直观图的结构想象。

课堂小结
空间几何体的直观图通常是在平行投影下 画的空间图形。 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法, 常用它来画几何体的直观图。

画平面几何体的基本步骤: 1. 画轴 确定平行线段 2. 画底面 确定线段长度 3. 成图

画空间几何体的基本步骤: 1. 画轴 确定平行线段

2. 画底面
3. 画侧棱 4. 成图

确定线段长度

高考链接
1.(2008 宁夏、海南)如下的三个图中,上面 的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位: cm)。(1)在正视图下面,按照画三视图的 要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出 的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直 观图中连结,证明: ?∥面EFG BC

1.解: (Ⅰ)如图

(Ⅱ)所求多面体体积

V ? V长方体 ? V正三棱锥
284 1 ?1 ? ? (cm 2 ) ? 4? 4? 6 ? ? ? ? 2? 2?? 2 3 3 ?2 ?

课堂练习
1. 下面的说法正确吗? (1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形。 (2)两条相交直线的直观图可能平行。 (3)互相垂直的两条直线的直观图仍互相垂直。

(1)错;(2)错; (3)错

2. 如图为水平放置的正方形ABCO,它在直 角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2),则在 用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶 点B‘到x’轴的距离为( 2 )。

y
A B (2,2)

2

O

C

x

3. 已知一四边形ABCD的水平放置的直观 图是一个边长为2的正方形,请画出这个图 形的真实图形.

y
D A C B D C

x

A

B

4. 右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平 放置的直观图ΔA'B'C',其中A'B'∥y'轴, B'C'∥x'轴,若ΔA'B'C'的面积是3,则 ΔABC的面积是( 3 2 ).
y?

A’

B’

C'

x?

5. 正棱锥的直观图的画法。
S z’

y’ D E A O’ B C x’

习题答案
2.(1)√; (2)×; (3)×; (4)√。 3.A


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