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必修一§1.1.3集合的基本运算(2)


1.1.3 集合的基本运算(第二课时) 一、课标要求 (1)了解全集的意义. (2)理解补集的含义和性质,会求给定集合的补集. 二、知识要点 (1)全集的定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,称这个集合 为全集,记作 U. (2)补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中________集合 A 的所有元素组成的集合称为 集合 A 相对于全集 U 的补集. 补集的符号语言描述:CUA =________________________, 对应的 Venn 图如右. 补集的性质: CU ? ? U ; CUU ? ?; CU (CU A) ? A ; 【答案】不属于,{x|x∈U,且 x ? A } 三、典型例题 例 1、已知 A={0,2,4,6},?UA={-3,-1,1,3},?UB={-1,0,2},用列举法写出集合 B. 解由 A = {0,2,4,6},?U A ={-3,-1, 1,3}知:U=A∪(?UA)={-3,-1,0,1,2,3,4,6},又因为 ?U B={-1,0,2},得:B={-3,1, 3,4,6}. 变式 1、全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}(?UA)∪(?UB)={2,3,4,6,7,8}(?UA)∩B={3,7} , , , (?UA)∪B={1,3,5,6,7,8,9}.求 A、B. 解由(?UA)∪(?UB)={2,3,4,6,7,8}知 A∩B={1,5,9},3∈B,7∈B, (?UA)∪B={1,3,6,7,8,9} ,∴A={1,2,4,5,9} ,B={1,3,5,7,9}. 例 2、集合 A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|a≤x≤b},若 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x ≤3}.求 a、b 的值. 解在数轴上画出 A 的范围及 B 的范围. 若使 A∪B={x|x>-2},则应有-2<a≤-1,b≥1. 若使 A∩B={x|1<x≤3=,则-1≤a≤1,b=3.所以 a=-1,b=3. 2 变式 2、已知全集 U= {1,3,x + x},A = {1,|2x-1|},如果?UA={0},则这样的实数 x 是否 存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理由. 2 解由?UA={0}得 x +x=0,解之得:x=0 或-1. 当 x=0 时,|2x-1|=1,不满足集合的互异性,故 x≠0. 当 x=-1 时, |2x-1|=3,此时 A= {1,3 }. 综上所述,x=-1. 例 3、如图,U 是全集, M , P , S 是 U 的三个子集,则阴影部分所表 示的集合是( ) A. ( M ? P) ? S B. ( M ? P) ? S C. (M ? P) ? CU S D. (M ? P) ? CU S 解图中阴影部分的元素 x ? M 且 x ? P 但 x ? S ,故选 C . 变式 3、设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中 I 错误的是 ( ) .. A. (CI A) ? B ? I C. A ? (CI B) ? ? B. (CI A) ? (CI B) ? I D. (CI A) ? (CI B) ? CI B

A ? (CU A) ? ?; A ? (CU A) ? U .

B

A

解画出 Venn 图,知选 B. 四、备选例题 2 2 2 1、已知 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|x -5x+6=0},是否存在 a,使 A、B 满足下列三个条件:

①A≠B;②A∪B=B;③ ? (A∩B)?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解假设存在 a 使得满足条件,由已知得 B={2,3},∵A∪B=B,∴A ? B. 又∵ ? (A∩B) ,∴A≠ ? ,即 A={2}或{3}. 2 当 A={2}时,代入得 a -2a-15=0,即 a=-3 或 a=5.经检验,a=-3 时,A={2,-5}≠{2}矛 盾,a=5 时,A={2,3}≠{2}矛盾; 2 当 A={3}时,代入得 a -3a-10=0,即 a=5 或 a=-2,经检验,a=-2 时,A={3,-5}≠{3} 矛盾;a=5 时,A={2,3}≠{3},矛盾. 综上所述,不存在实数 a,使得满足条件. 2 2、已知集合 A={x|x -4ax+2a+6=0},B={x|x<0},若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围.

3 3 )≥0}={a|a≤-1 或 a≥ }. 2 2 ?a ? U , 3 ? 2 若方程 x -4ax+2a+6=0 的两根 x1、x2 均为非负数,则 ? x1 ? x2 ? 0, 解得 a≥ . 2 ? x ? x ? 0. 2 ? 1 3 在全集 U 中,集合{a|a≥ }的补集为{a|a≤-1}.∴所求实数 a 的取值范围是 a≤-1. 2
解设全集 U={a|Δ =(-4a) -4(2a+6)≥0}={a|(a+1) (a2

五、小结与反思 关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化为最简形式,再进行运算,对于补集问 题,一定不要忘了全集这一前提;对于不同的集合(数集、点集、图形集) ,可用数形结合 的思想,借助数轴或是 Venn 图来解决问题. 六、练习 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},且 A={2,3,4},B={1,2},则 A∩(?UB)等于( ) A.{2} B.{5}C.{3,4} D.{2,3,4,5} 解选 C.?UB={3,4,5},∴A∩(?UB)={3,4}. 2 2.已知全集 U=Z,集合 A={x|x =x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影 部分所表示的集合等于( ) A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1} D.{1,2} 解选 A.依题意知 A={0,1},(?UA)∩B 表示全集 U 中不在集合 A 中,但在集合 B 中的所有元 素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2}. 3.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解选 A.U=A∪B={3,4,5,7,8,9}, A∩B={4,7,9},∴?U(A∩B)={3,5,8}. 4.已知集合 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则( ) A.M∩N={4,6}B.M∪N=UC.(?UN)∪M=UD.(?UM)∩N=N 解选 B.由 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},得 M∩N={4,5},(?UN)∪M ={3,4,5,7},(?UM)∩N={2,6},M∪N={2,3,4,5,6,7}=U,选 B. 2 5.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合 ?U(A∪B)中元素个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解选 B.∵A={1,2},∴B={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴?U(A∪B)={3,5}. 6.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素,若 A∩B 非空,则 A∩B 的 元素个数为( )新课标第一网 A.mn B.m+nC.n-mD.m-n 解选 D.U=A∪B 中有 m 个元素, UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素, ∵(? ∴A∩B 中有 m-n 个元素,故选 D. 7.设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ∪B)∩(?UC)=________.

答案:{2,5}.∵A∪B={2,3,4,5},?UC={1,2,5},∴(A∪B)∩(?UC)={2,3,4,5}∩{1,2,5} ={2,5}. 2 8.已知全集 U={2,3,a -a-1},A={2,3},若?UA={1},则实数 a 的值是________. 2 2 2 答案:-1 或 2.∵U={2,3,a -a-1},A={2,3},?UA={1},∴a -a-1=1,即 a -a-2=0, 解得 a=-1 或 a=2. 9.设集合 A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集 U=R,且(?UA)∩B= ? ,求实数 m 的 取值范围为________. 答案: {m|m≥2}.由已知 A={x|x≥-m}, UA={x|x<-m}, ∴? ∵B={x|-2<x<4}, UA)∩B (? = ? ,∴-m≤-2,即 m≥2,∴m 的取值范围是 m≥2. 5 10. 已知全集 U=R, A={x|-4≤x<2}, B={x|-1<x≤3}, P={x|x≤0 或 x≥ }, A∩B, 求 2 (?UB)∪P,(A∩B)∩(?UP). 解将集合 A、B、P 表示在数轴上,如图。 ∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}, ∴A∩B={x|-1<x<2}. 5 ∵?UB={x|x≤-1 或 x>3},∴(?UB)∪P={x|x≤0 或 x≥ }, 2 5 (A∩B)∩(?UP)={x|-1<x<2}∩{x|0<x< }={x|0<x<2}. 2 2 2 11. 已知集合 A={x|x +ax+12b=0}和 B={x|x -ax+b=0}, 满足 B∩(?UA)={2}, A∩(?UB)={4}, 且 其中 U=R,求实数 a、b 的值. 解∵B∩(?UA)={2},∴2∈B,但 2?A.∵A∩(?UB)={4},∴4∈A,但 4?B.
? ?4 +4a+12b=0 ∴? 2 ?2 -2a+b=0 ?
2

?a=8 ? 7 ,解得? 12 ?b= 7 ?

8 12 .∴a,b 的值为 ,- . 7 7
2 2

12、已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x -5x+m=0},B={x|x +nx+12=0},且(?UA)∪B= {1,3,4,5},求 m+n 的值。 2 解∵U={1,2,3,4,5},(?UA)∪B={1,3,4,5},∴2∈A.又 A={x|x -5x+m=0}, 2 ∴2 是关于 x 的方程 x -5x+m=0 的一个根,得 m=6 且 A={2,3}.∴?UA={1,4,5}. 2 2 ∴3∈B 且 B={x|x +nx+12=0}.∴3 一定是关于 x 的方程 x +nx+12=0 的一个根. ∴n=-7 且 B={3,4}.∴m+n=-1.


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