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2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直课件


第八章 立体几何与空间向量 §8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 内容索引 基础知识 题型分类 自主学习 深度剖析 课时作业 基础知识 自主学习 知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一非零 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为 ? a=0, ?n · 平面α的法向量,则求法向量的方程组为 ? ? b=0. ?n · 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)? v1∥v2 . (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量 v1和v2,则l∥α 或l?α? 存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2 . (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l?α?v⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β? u1 ∥u2 . 3.用向量证明空间中的垂直关系 v2=0 . (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2? v1⊥v2 ? v1· (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α? v∥u . u2=0 . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β? u1⊥u2 ? u1· 基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ ) (5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.( × ) (6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × ) 1 2 3 4 5 6 题组二 教材改编 2.[P104T2]设 u , v 分别是平面 α , β的法向量, u = ( - 2,2,5) ,当 v = (3 , α⊥β ;当v=(4,-4,-10)时,α与β的 -2,2)时,α与β的位置关系为______ α∥β 位置关系为_____. 解析 当v=(3,-2,2)时, u· v=(-2,2,5)· (3,-2,2)=0?α⊥β. 当v=(4,-4,-10)时,v=-2u?α∥β. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 3.[P111T3] 如图所示,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, O 是底面正方形 ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位 垂直 置关系是________. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 题组三 易错自纠 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是 A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) ? D.? ? ? √ ? C.? ?- ? 3 3 3? ? ,- ,- 3 3 3? ? 3 3 3? ? , ,- 3 3 3? ? 解析 设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量, ? → ?n· AB=0, 则? ? → AC=0, ?n· ? ?-x+y=0, 化简得? ? ?-x+z=0, ∴x=y=z.故选C. 1 2 3 4 5 6 解析 答案 5.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=

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