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湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2014-2015学年高二上学期期中联考数学理(平行班)试题 Word版含答案


鄂南高中 鄂州高中 黄石二中 2013 级高二上学期期中联考

数学(理科)试卷
命题学校:鄂南高中 命题教师:刘翔 审题教师:高二数学组
考试时间:2014 年 11 月 5 日下午 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 ? 0} ,则 A ? B ? ( 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2? , B ? {x | ) x ?1 [ ?2 , 2 ] [?2 , 1) (1 , 2] [?2 , ??) A. B. C. D.

2.在空间中,下列命题正确的是(



A.三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面 B 若平面 ? ? ? ,且 ? ? ? ? l ,则过 ? 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 ? C 若直线 m 与平面 ? 内的一条直线平行,则 m // ? D 若直线 a 与直线 b 平行,且直线 l ? a ,则 l ? b 3.直线 x ? 3 y ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( A 1
x

) D
2 3

B 2

C

3

? 2 x?4 4. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (1 ? log2 3) 的值为 f ( x ? 2 ) x ? 4 ? 6 A. B. 12 C. 24 D. 36
? x ? 1, ? 5.已知 a ? 0 ,x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z ? 2 x ? y 的最 ? y ? a ( x ? 3) ?
小值为 1 ,则 a ? ( ) 1 1 A. B. C. 1 D. 2 2 4 6.一个四面体的三视图如图所示, 则该四面体的表面积为( ) 3 3 A. 4 B. 2 C. 3 D.2 3

7、右图是用模拟方法估计圆周率 π 值的程序框图,P 表示估 计结果,则图中空白框内应填入( )

N 4N M 4M B、 P ? C、 P ? D、 P ? 1000 1000 1000 1000 8.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? k ?( )

A、 P ?

? a7 ,则

A. 22

B. 23

C. 24

D. 25

9.已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A,B 两点,且 OA+OB ? OA ? OB ,其 中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为( A. 2 B. -2 C. 2 或-2 ) D

6 或? 6

10.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行 中的偶数,得到如图乙的三角数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成 一列,得到数列 {an } ,若 an = 2013 ,则 n 的值为(
1 2 5 6 3 7 4 8 9 16 5 2 7


1 4 9

10 11 12 13 14 15 17 18 19 … … … …

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 … … … … … … … 图乙 …

20 21 22 23 24 25 … … … … … … 图甲

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

A.1029

B.1031

C.1033

D.1035

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对 应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. 甲乙二人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中 6 个选择题,4 个判断题。甲乙二人依次不放回各抽取一题。甲乙二人至少有一人抽到选择 题的概率为___ 12.已知 ___。
1 ? sin ? 1 cos ? =- ,则 的值___ ___。 cos ? 2 sin ?-1 1 1 ? 13.若正数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,则 的最小值为_____________。 3a ? 2 3b ? 2

14. 等 比 数 列 ?a n ? 中 , 公 比 q ? 2 , log2 a1 ? log2 a2 ? ... ? log2 a10 ? 35 , 则 a1 ? a2 ?

? a10 =___
15

___。
3 x 都相切的所有圆的半径之和为 4

过点(2,3)且与直线 l1 : y ? 0 和 l 2 : y ? ___ ___。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
16. (本题满分 10 分)

某学校共有 30 至 50 岁之间的(包括 30 与不包括 50)数学教师 15 人,其年龄 分布茎叶图如图所示,从中选取 3 人参加支教.

(Ⅰ)若教师年龄分布的极差为 15,求教师的平均年龄; (Ⅱ)若选出的 3 人中有 2 名男教师 1 名女教师,将他们分配到两所学校,每校 至少有一人,则 2 名男教师分在同一所学校的概率为多少?

17. (本题满分 12 分) 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , (I)求 sin A 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.
sin B ? 1 。 3

18. (本题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, S n?1 ? 4an ? 2 . (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式.

19(本题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,点 O 是 对角线 AC 与 BD 的交点, M 是 PD 的中点, AB ? 2, ?BAD ? 60 . (1)求证: OM / / 平面 PAB ; (2)平面 PBD ? 平面 PAC (3)当四棱锥 P ? ABCD 的体积等于 3 时,求 PB 的长.

20. (本题满分 14 分) 已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,且被 y 轴截得的弦长为 2 3 ,圆 C 的面积小于 13. (1) 求圆 C 的标准方程; (2) 设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作 平行四边形 OADB。 是否存在这样的直线 l, 使得直线 OD 与 MC 恰好平行? 如果存在,求出 l 的方程;如果不存在,请说明理由。

21. (本题满分 14 分) β 为函数 h( x) ? 2 x 2 ? mx? 2 的两个零点,m ? R且?<?, 设 α、 函数 f ( x ) ? (1)求 f (? ) ? f ( ? ) 的值; (2)判断 f ( x) 在区间 ?? , ? ? 上的单调性,并证明; (3)是否存在实数 m,使得函数 f ( x) 在 ?? , ? ? 的最大值与最小值之差最小?若 存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。
4x ? m 。 x2 ?1

参考答案 CDBCA DDACA

11.

13 15

12.

1 2

13.

4 7

14.

1023 2

15. 42

16.解:(1)极差为 15,所以 40 ? x ? 30 ? 15 ? x ? 5

----------------2 分

X=

30+ 32+ 32+ 34+ 34+35+36+36+37+37+40+41+42+44+45 15

= 37
-----4 分

(2)基本事件为:总数为 6 个 学校甲 男 1男 2 女 男 1女 男2 男 2女 男1
2 1 ? 6 3

- --------------5 分 学校乙 女 男 1男 2 男2 男 1女 男1 男 2女 ----------------8 分 ----------------10 分

2 名男教师分在同一所学校所包含的基本事件的个数为 2 个 2 名男教师分在同一所学校的概率 p ?

? ? B 17. 解: (Ⅰ)由 C ? A ? ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? , 2 4 2

? B 2 B B ∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 4 2 2 2 2
1 1 3 ∴ sin 2 A ? (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3

∴ S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3
? 4an ? 2 , Sn ? 4an?1 ? 2, n ? 2

。 。 。 。 。 。 。 。12 分

18、 【解答】(1)因为 Sn?1

所以 Sn?1 ? Sn ? (4an ? 2) ? (4an?1 ? 2), n ? 2 ,

即 an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) ,即

bn ? 2bn?1 ,又 b1 ? a2 ? 2a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? 4a1 ? 2? 3a1 ? a1 ? 2? 3 ,所以 数列 {bn } 是
等比数列. 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

(2)因为数列 {bn } 是首项为 3,公比为 2 等比数列所以, bn ? 3 ? 2n?1
an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,

, 即有

an?1 an 3 ? ? , 2n?1 2n 4



a1 1 ? , 2 2

所以 {

an 1 } 是首项为 ,公 n 2 2

3 差为 的等差数列, 4

an 1 3 3n ? 1 (3n ?1)2n ? ? ( n ? 1) ? ? 所以, n , 故 an ? . 2 2 4 4 4

。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 19 解:(1)? 在 ?PBD 中, O 、 M 分别是 BD 、 PD 的中点,
? OM 是 ?PBD 的中位线,? OM // PB , OM ? 面 PBD , PB ? 面 PBD

? OM // 面 PBD

。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 (2) 底面 ABCD 是菱形,? BD ? AC ,
PA ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD , ? PA ? BD AC ? 面 PAC , PA ? 面 PAC , AC ? BD ? 面 PAC BD ? 面 PBD ,

PA ? A ,

? 面 PBD ? 面 PAC

。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分

(3)因为底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60 ,所以 S ABCD ? 2 3
1 3 四棱锥 P ? ABCD 的高为 PA ,? ? 2 3 ? PA ? 3 ,得 PA ? 3 2
PA ? 面 ABCD , AB ? 面 ABCD ,? PA ? AB

5 ?3? 在 Rt ?PAB 中, PB ? PA ? AB ? ? ? ? 2 2 ? . 2 ?2?
2 2

2

。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分

20、解: (1)

设圆C : ?x - a ? ? y 2 ? R 2 ?a ? 0?
2

? 3a ? 7 ? R2 13 ? 2 2 由题意知? 3 ? 4 , 解得a ? 1或a ? .......... ...?3分? 8 ? a2 ? 3 ? R ?
又 ? s ? ?R 2 ? 13 ?a ? 1

?6分? ?x ? 1? ? y 2 ? 4.......... ?圆C的标准方程为: ........
2

(2)当斜率不存在时,直线 L 为:x=0 不满足题意 当斜率存在时,设直线 L: y ? kx ? 3, A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?

又 ? L与圆C相交于不同的两点, y ? kx ? 3 ? ?9分? 联立? , 消去y得: 1 ? k 2 x 2 ? ?6k ? 2 ?x ? 6 ? 0,...... 2 2 ? ? x ? 1 ? y ? 4 ?

?

?

? ? ? ?6k ? 2 ? ? 24 1 ? k 2 ? 3k 2 ? 6k ? 5 ? 0
2

?

?

解得k ? 1 ?

2 6 2 6 或k ? 1 ? 3 3

6k ? 2 2k ? 6 , y1 ? y2 ? k ?x1 ? x2 ? ? 6 ? , 2 1? k 1? k 2 1 1 OD ? OA ? OB ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, MC ? ?1,?3?, 2 2 x1 ? x2 ? ?

?

?

假设OD//MC,则-3 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 , 6k ? 2 2k ? 6 ? , 1? k 2 1? k 2 ? 3 ? 2 6? ? 2 6 解得k ? ? ? ?? ,1 ? 1 ? , ?? ? ? ? ? ? ? , 假设不成立. 4 ? 3 3 ? ? ? ? ? 不存在这样的直线L........................?14分 ? ?3?
21、解:

m ? ?? ? ? ? ?1?由题意可得? 2, ? ?? ? ? 1 ? 4? ? m 4? ? m 16?? ? 4m?? ? ? ? ? m 2 ?4分? 故f ?? ? ? f ?? ? ? 2 ? 2 ? ? ?4.......... ? ? 1 ? ? 1 ??? ?2 ? ?? ? ? ?2 ? 2?? ? 1

? 2 ? ?x1 , x2 ? ?? , ? ? , x1 ? x2 , 可得 ? x2 ? x1 ? ? ? 4 x1 x2 ? 4 ? m ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 2

?x

1

? 1?? x2 ? 1?

? x1 ? ? ?? x2 ? ? ? ? 0, ? x1 ? ? ?? x2 ? ? ? ? 0, 两式相加可得2x1 x2 ? ?? ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 2?? ? 0
m , ?? ? ?1,? ? x2 ? x1 ? ? ? 4 x1 x2 ? 4 ? m ? x 1 ? x2 ? ? ??0 2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,?函数f ? x ? 在?? , ? ? 上为增函数..........(5分)

? ?? ?

【法二】

?x1 , x2 ? ?? , ? ? , x1 ? x2 , 可得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
2

? x1 ? x2 ? ? ? 4 x1 x2 ? 4 ? m ? x1 ? x2 ? ? ?

?x

2 1

2 ? 1?? x2 ? 1?

又∵ h ? x1 ? ? 2x1 ? mx1 ? 2 ? 0,h ? x2 ? ? 2x2 ? mx2 ? 2 ? 0
2
2 2 相加得 2 x1 ? x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 2 2 又 2 x1 ? x2 ? 4 x1 x2 ,∴ 4x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0

?

?

?

?

又 x2 ? x1 ? 0 ,∴? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,?函数f ? x ? 在?? , ? ? 上为增函数 。

? 3?函数f ? x ? 在?? , ? ? 上的最大值与最小值之差为f ?? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ?
当且仅当f ? ? ? ? f ?? ? 4 时,等号成立,此时,f ? ? ? ? 2

f ?? ?

4

? 4,

? 4? ? m ?2 ?2? 2 ? 4? ? m ? 2 ? 0 (1) ? 2 ? 即 ? ? ?1 ?? 2 (2) ?2? ? m? ? 2 ? 0 ?2? 2 ? m? ? 2 ? 0 ? ?
(1)-(2)得 m ?

4 ? ? ? 1? ? ?1
2

代入(1)得 2? ? 4? ?

4 ? ? ? 1? 2 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? 0 ? ? ? ? 1? ? ?0 ? ?1 ? ?1

? ? ? ? 1? ?

? 2 ?1 ,∴ m ? 0 。 ? 0? ? ? 1 ? ?1

综上可得,存在实数m ? 0,满足条件.......................(5分)


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