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第27讲:高频考点分析之概率与统计探讨

【备战 2013 高考数学专题讲座】 第 27 讲:高频考点分析之概率与统计探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 讲对数 学解题方法进行了探讨,第 13 讲~第 28 讲我们对高频考点进行探讨。 概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等知识为工 具,以考查对概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档题, 概率应用题侧重于分布列与期望,应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势。 结合 2012 年全国各地高考的实例,我们从以下五方面探讨概率与统计问题的求解: 1. 传统概率的计算; 4. 独立事件概率的计算; 5. 离散型随机变量概率列和数学期望计算; 6. 样本抽样方法; 7. 统计量的分析和计算。

一、传统概率的计算: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
?0 ? x ? 2 例 1. (2012 年北京市理 5 分)设不等式组 ? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点。 ?0 ? y ? 2
则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是【 A. 】

? 4

B.

? ?2 2

C.

? 6

D.

4?? 4

【答案】 D。 【考点】几何概率。

?0 ? x ? 2 【解析】 不等式组 ? 表示的平面区域 D 是一个边长为 2 的正方形, ?0 ? y ? 2
如画图可知,区域内到坐标原点的距离大于 2 的点为红色区域,它的面积 为正方形的面积减四分之一圆的面积: 22 ?

1 ? ? ? 22 =4 ? ? 。 4 4?? ∴此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 。故选 D。 4

例 2. (2012 年安徽省文 5 分)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3

个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于【



( A)

1 5

( B)

2 5

(C )

3 5

(D)

4 5

【答案】 B 。 【考点】概率。 【解析】1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为红 1,白 1,白 2,黑 1,黑 2,黑 3。 画树状图如下:

从袋中任取两球,共有 15 种等可能结果,满足两球颜色为一白一黑有 6 种, ∴概率等于

6 2 ? 。故选 B 。 15 5

例 3. (2012 年广东省理 5 分)从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概 率是【 A. 】 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 B.

4 9

1 3

C.

2 9

D.

1 9

【答案】D。 【考点】分类讨论的思想,概率。 【解析】由题意知,个位数与十位数应该一奇一偶。 ①个位数为奇数,十位数为偶数共有 5× 5=25 个两位数; ②个位数为偶数,十位数为奇数共有 5× 4=20 个两位数。 两类共有 25+20=45 个数,其中个位数为 0,十位数为奇数的有 10,30,50,70,90 共 5 个数。 ∴概率位数为 0 的概率是

5 1 = 。故选 D。 45 9


例 4. (2012 年湖北省理 5 分)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半 圆。在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是【

A. 1 ?

2

?

B.

1 1 ? 2 ?

C.

2

?

D.

1

?

【答案】A。 【考点】概率,扇形面积,特殊元素法。 【解析】取大圆的半径为 2,则小圆半径为 1, 如图,两个半圆相交的阴影部分是两个弓形,连接 OC,取 OA 的中点 D,连接 CD。 ∴两个半圆相交的阴影部分面积为 2 ? ? ?1 ?
2

?1 ?4

1 ? 1 ? 1? 1 ? = ? ? 1 。 2 ? 2

又∵扇形 OAB 的面积为 S扇 = ∴阴影部分的面积为 ? ? ? 2 ?

1 ? ? 22 =? , 4
1 ?1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? + ? ? ? 1? =? ? 2 。 2 ?2 ?? ? 2 ?

? ?

在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率 P =

? ?2 2 =1 ? 。故选 A。 ? ?

例 5. (2012 年福建省理 5 分)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴 影部分的概率为【 】

1 A. 4 【答案】C。

1 B. 5

1 C. 6

1 D. 7

【考点】定积分的计算,几何概型的计算。 【解析】∵ S阴影 = ?
1

0

?

?2 3 1 ? 2 1 1 x ? x dx ? ? x 2 ? x 2 ? 1 ? ? ? , 0 2 ? 3 2 6 ?3

?

∴利用几何概型公式得: P =

S阴影 S 正方形

1 1 ? 6 ? 。故选 C。 1 6

例 6. (2012 年辽宁省理 5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为【 】

(A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C。 【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm。那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm2。 由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8。又 0 ? x ?12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为 选 C。 例 7. (2012 年辽宁省文 5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为【 :(A) 】 (D)

4+4 2 = 。故 12 3

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

4 5

【答案】C。 【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm2 ,由

x(12 ? x ) ? 20 ,解得 2 ? x ? 10 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积大于 20cm2 的概率为

8 2 = 。故选 C。 12 3

例 8. (2012 年上海市文 4 分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目, 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 【答案】 ▲ (结果用最简分数表示).

2 。 3

【考点】排列组合概率问题(古典概型)。 【解析】设概率 p ?

m 2 2 2 ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 。 n
2

求 k,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有 C3 种;②确定上述二人所选择的相同的项
1 2 1 1 1 目,有 C 3 种;③确定另一人所选的项目,有 C 2 种. 所以 k ? C3 ? C3 ? C2 ? 18 ,故 p ?

18 2 ? 。 27 3

f ? 例 9. (2012 年湖南省理 5 分)函数 (x) sin ?? x ? ? ? 的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图所示,其中,
P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为 ? 0,

? ? ?

3 3? ? ,则 ? ? 2 ? ?



;

(2)若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为



.

【答案】 (1)3; (2)

? 。 4

【考点】三角函数的图像与性质,定积分,几何概率。 【解析】 (1) y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ? ∴? ? 3。

?
6

,点 P 的坐标为 ? 0,

? ? ?

3 3? ? 3 3 , ? 时, ? cos ? ? 2 ? 6 2

2? 1 ? T ? ? (2)由图知 AC ? ? ? , S?ABC ? AC ? ? ? 。 2 2 2 2 ?
∵ y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,∴曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域面积为
3? ?? 2 ? 3? ?? 2 ??

?? ??
2

[? f ? ? x ?]dx= ? f ? x ? | ? ? ? ?sin
2

3? ? ? ? sin ) 2 。 ( ? 2 2

?

?

由几何概率知该点在△ABC 内的概率为 P ?

S?ABC 2 ? ? ? 。 S 2 4

?

例 10. (2012 年浙江省文 5 分)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则 该两点间的距离为

2 的概率是 2





【答案】

2 。 5

【考点】随机事件的概率。 【解析】从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点共有 C5 =10 种,若使两点间
2

的距离为

2 2 ,则为对角线一半,选择点必含中心,共有 4 种可能。故该两点间的距离为 的概率是 2 2

4 2 ? 。 10 5

例 11. (2012 年重庆市文 5 分)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三 门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 【答案】 ▲ (用数字作答) 。

1 。 5

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率,古典概型及其概率计算公式。
3 【分析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步,先把其它三门艺术课排列有 A3 种 3 排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中,有 A4 种排法, 3 3 ∴所有的排法种数为 A3 A4 =144。
3 3 A3 A4 6 A6

∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为

?

3 ? 2 ? 1? 4 ? 3 ? 2 ? 1 1 ? 。 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 5

例 12. (2012 年重庆市理 5 分)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三 门艺术课个 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 答). 【答案】 ▲ (用数字作

3 。 5

【考点】排列数公式及概率。
6 【分析】随意安排 6 节课的方法数为 A6 ? 720 ,

而“相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课”的对立事件为“相邻两节文化课之间排 3 节艺术课或
3 3 3 1 2 1 排 2 节艺术课”,共有 2 A3 A3 ? A2 A2 A3 A3 ? 288 。

∴其概率为 1 ?

288 3 ? 。 720 5

例 13. (2012 年江苏省 5 分)现有 10 个数 ,它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的 概率是 ▲ . 【答案】

3 。 5

【考点】等比数列,概率。 【解析】∵以 1 为首项, ? 3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,·其中有 5 个负数,1 个正数 · · 1 计 6 个数小于 8,

6 3 = 。 10 5 例 14. (2012 年山东省文 12 分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片
∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的 概率是 两张,标 号分别为 1,2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标 号之和小于 4 的概率. 【答案】解:(Ⅰ)画树状图:

∵图中可见,从五张卡片中任取两张的所有等可能情况有 10 种,其中两张卡片的颜色 不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况, ∴这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率为 P ? (Ⅱ) 画树状图:

3 。 10

∵图中可见,从六张卡片中任取两张的所有等可能情况有 15 种,其中两张卡片的 颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况, ∴这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率为 P ? 【考点】概率。 【解析】(Ⅰ)画树状图,找出从五张卡片中任取两张的所有等可能情况和其中两张卡片的颜色不同且标号

8 。 15

之和小于 4 的情况,即可求出概率。 (Ⅱ)画树状图,找出从六张卡片中任取两张的所有等可能情况和其中两张卡片的颜色不同且标号 之和小于 4 的情况,即可求出概率。 例 15. (2012 年江西省文 12 分)如图,从 A (1,0,0) , A2 (2,0,0) , B1 (0,1,0) , B2 (0,2,0) , C1 (0,0,1) , 1

C2 (0,0,2) 这 6 个点中随机选取 3 个点。

(1) 求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这 3 点与原点 O 共面的概率。 【答案】解: (1)∵总的结果数为 C 6 = 20 种,满足条件的种数为 2 种: O ? A BC1, O ? A2 B2C2 , 1 1
3

∴所求概率为

2 1 ? 。 20 10

(2)∵满足条件的情况为 ( A , A2 , B1 ) , ( A , A2 , B2 ) , ( A , A2 , C1 ) , ( A , A2 , C2 ) , ( B1, B2 , C1 ) , 1 1 1 1

( B1, B2 , C2 ) ,
∴所求概率为 【考点】概率。 【解析】根据概率的求法,找准两点:①全部等可能情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就 是其发生的概率。 例 16. (2012 年福建省文 12 分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (I)求 an 和 bn; (II)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的 概率. 10× 9 【答案】解: (I)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q.依题意得 S10=10+ d=55,b4=q3=8, 2 解得 d=1,q=2,所以 an=n,bn=2n 1。


6 3 ? 。 20 10

(II)分别从{an},{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有 9 个:(1,1),(1,2), (1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4). 符合题意的基本事件有 2 个:(1,1),(2,2), 2 故所求的概率 P= 。 9 【考点】等差、等比数列、古典概型。 【解析】 (I)根据已知求出公差和公比,即可求得 an 和 bn、 (II)根据概率的求法,找准两点:①全部等可能情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比 值就是其发生的概率。 例 17. (2012 年陕西省文 12 分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们 的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中, ,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率 【答案】解: (Ⅰ)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为:

5+20 1 = , 100 4 1 。 4

用频率估计概率,得甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为:

(Ⅱ)根据抽样结果寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品牌产品是 75 个,所 以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是

75 15 = , 145 29 15 。 29

用频率估计概率,得已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为: 【考点】用样本的频率分布估计总体分布,频率分布直方图。

【解析】 (Ⅰ)先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于 200 小时的个数,与总数相比求出频率,即可 得到概率。 (Ⅱ)先求出已使用了 200 小时的产品总数,再找到是甲品牌的个数,二者相比即可得到结论。

二、独立事件概率的计算: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国课标卷理 5 分)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,

且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布

N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为



【答案】

3 。 8

【考点】正态分布,概率。 【解析】∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) , ∴三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

1 。 2 3 。 4

∴超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P ? 1 ? (1 ? p)2 ? 1 ∴该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ?

3 。 8

例 2. (2012 年全国大纲卷文 12 分)乒乓球比赛规则规定,一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发 球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开球第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率. 【答案】解:记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则

P? A ? ? P ? A2 ? ? P A3 ? P A4 ? 0.6, P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P A ? P A2 ? 0.4 。 1 1
(1)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2”为 A A2 A3 ? A A2 A3 ? A A2 A3 ,由互 1 1 1 斥事件有一个发生的概率加法公式得

? ? ? ?

? ? ? ?

P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6? 0.4? 0.6 ? 0.4? 0.6? 0.6 ? 0.4? 0.4? 0.4 ? 0.352 。
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 。 (2)开始第 5 次发球时,甲得分领先的情况是 4 比 0,3 比 1。
4 甲得分是 4 比 0 的概率是 P ? A1 A2 A3 A4 ? ? 0.6 ? 0.0576 ;

甲得分是 3 比 1 的概率是

P A A2 A3 A4 ? A A2 A3 A4 ? A A2 A3 A4 ? A A2 A3 A4 ? 2 ? 0.63 ? 0.4 ? 2 ? 0.6 ? 0.43 ? 0.2476 。 1 1 1 1
∴开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率是 0.0576+0.2496=0.3072。 【考点】独立事件的概率。 【解析】首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论。 例 3.(2012 年四川省文 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为

?

?

1 和p。 10 49 ,求 p 的值; 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 【答案】解: (Ⅰ)设 “至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 ? P C)? 1 ? (

1 49 P? 10 50

,解得 P ?

1 。 5

(Ⅱ)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件 D,

1 1 1 972 243 。 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 3 ? ? 10 10 10 1000 250 243 答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 。 250
那么 P ? D? = C 3
2

【考点】相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、概率等概念。 【解析】 (Ⅰ)求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率,利用至少有一个系统不发生故障的 概率为

49 ,可求 p 的值。 50
(Ⅱ)根据相互独立的事件的概率的求法求解即可。

例 4. (2012 年重庆市文 13 分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一 直每人都已投球 3 次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为 篮互不影响。 (Ⅰ)求乙获胜的概率(7 分) ; (Ⅱ)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率(6 分) 。 【答案】解: (Ⅰ)记“乙获胜”为事件 C ,甲 3 次投篮投中为 A1,A2,A3 ,乙 3 次投篮投中为 B1,B2,B3 。

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投 3 2

1 1 ∵ p ( A1 )=p ( A2 )=p ( A3 )= ,p ( B1 )=p ( B2 )=p ( B3 )= , 3 2 2 1 ∴ p ( A1 )=p ( A2 )=p ( A3 )= , p ( B1 )=p( B2 )=p( B3 )= 。 3 2
由互斥事件由一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式得

p(C) ? p( A B1) ? p( A B1 A2 B2 ) ? p( A B1 A2 B2 A3B3 ) 1 1 1
? p( A1 ) p( B1 ) ? p( A1 ) p( B1 ) p( A2 ) p( B2 ) ? p( A1 ) p( B1 ) p( A2 ) p( B2 ) p( A3 ) p( B3 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 13 ? ? + ? ? ? + ? ? ? ? ? = 。 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 27
(Ⅱ)记“乙只投了 2 个球”为事件 D 。由于投篮结束时乙只投了 2 个球,说明第一次投球甲乙 都没有投中,第二次投球甲没有投中、乙投中,或第三次投球甲投中了。 ∴ p(D) ? p( A B1 A2 B2 ) ? p( A B1 A2 B2 A3 ) 1 1

? p( A1 ) p( B1 ) p( A2 ) p( B2 ) ? p( A1 ) p( B1 ) p( A2 ) p( B2 ) p( A3 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 ? ? ? ? + ? ? ? ? = 。 3 2 3 2 3 2 3 2 3 27
【考点】相互独立事件的概率乘法公式,概率的基本性质。 【分析】 (Ⅰ)分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率, 相加即得所求。 (Ⅱ)由于投篮结束时乙只投了 2 个球,说明第一次投球甲乙都没有投中,第二次投球甲没有投 中、乙投中,或第三次投球甲投中了,把这两种情况的概率相加,即得所求。

三、离散型随机变量概率列和数学期望计算: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
5 4 x 例 1.(2012 年上海市理 5 分) 10 ? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 10 , 5 ? 10 , 设 随机变量 ?1 取值 x1、x2、x3、x4、x5

的概率均为 0.2 ,随机变量 ? 2 取值

x1 ? x2 x2 ? x3 x3 ? x4 x4 ? x5 x5 ? x1 的概率也均为 0.2 ,若 、 、 、 、 2 2 2 2 2


记 D?1、D? 2 分别为 ?1、? 2 的方差,则【 A. D?1 ? D? 2 C. D?1 ? D? 2 【答案】A。 【考点】离散型随机变量的期望和方差公式。

B. D?1 ? D? 2 D. D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关

【解析】由随机变量 ?1 , ? 2 的取值情况,它们的平均数分别为: 设 E?1 ? 0.2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )=t ,则 E? 2 ? 0.2(

x1 ? x2 x2 ? x3 x3 ? x4 x4 ? x5 x ? x ? ? ? ? 5 1 )=t 。 2 2 2 2 2

2 2 ∴ D?1 ? 0.2[(x1 ? t )2 + ( x2 ? t )2 + ( x3 ? t ) + ( x4 ? t )2 + ( x5 ? t ) ]

2 2 2 2 ? 0.2[( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ;



x ? x3 x ?x x1 ? x2 ? ? ? ? x1 , 2 ? x2 ,…, 5 1 ? x5 , 2 2 2

2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? 同理得, D? 2 ? 0.2[( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t ]

? ? ? ? ? ? 0.2[( x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ]。
2 2 2 2 2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ∴只要比较 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 与 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 有大小:

? ? ? ? ? ∵ x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ? [

x ? x3 2 x ?x ( x1 ? x2 2 ) ?( 2 ) ? ? ? ( 5 1 )2 ] 2 2 5

1 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ? ? ( x5 ? x1 ) 2 ] 4 1 2 2 2 2 2 ? [2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (2 x1 x2 ? 2 x2 x3 ? 2 x3 x4 ? 2 x4 x5 ? 2 x5 x1 )] 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 < [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( x12 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ( x4 ? x5 ) ? ( x5 ? x12 )] 4
2 2 2 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ,

∴ D?2 ? D?1 。故选 A。 例 2. (2012 年全国大纲卷理 12 分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发 球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立, 。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。 【答案】解:记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则 P( A ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.4 。 1 (1)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2”为 A A2 A3 ? A A2 A3 ? A A2 A3 ,由互 1 1 1 斥事件有一个发生的概率加法公式得

P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6? 0.4? 0.6 ? 0.4? 0.6? 0.6 ? 0.4? 0.4? 0.4 ? 0.352 。
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 。 (2)由题意 ? ? 0, 1, 2, 3 。

P(? ? 0) ? P( A A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.144 ; 1
P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.4? 0.6? 0.4 ? 0.6? 0.4? 0.4 ? 0.6? 0.6? 0.6 =0.408;

P(? ? 2) ? 0.352 ;

P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096 。
∴分布列为:

?
P ?? ?

0 0.144

1 0.108

2 0.352

3 0.096

∴ ? 的期望 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3 ? 0.096 ? 1.4 。 【考点】独立事件的概率,分布列和期望值。 【解析】首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论。 例 3. (2012 年全国课标卷理 12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝

10 元的 价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。
(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N ) 的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频 数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列,数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由。 【答案】解: (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 ; 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 。 ∴y??

?10n ? 80(n ? 15) (n ? N ) 。 (n ? 16) ? 80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80 , P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7 。

X 的分布列为: X

60
0.1

70
0.2

80
0.7

P

EX ? 60 ? 0.1? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 。 DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 。
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
∵ 76.4 ? 76 ,∴应购进 17 枝。 【考点】列函数关系式,概率,离散型随机变量及其分布列。 【解析】(1)根据题意,分 n ? 16 和 n ? 15 分别列式。 (2) X 取 60 , 70 , 80 ,求得概率,得到 X 的分布列,根据数学期望及方差公式求解;求出 购进 17 枝时,当天的利润与购进 16 枝时,当天的利润比较即可。 例 4. (2012 年四川省理 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系

统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1 和p。 10 49 ,求 p 的值; 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列及数学期望

E? 。
【答案】解: (Ⅰ)设 “至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 ? P C)? 1 ? (

1 49 P? 10 50

,解得 P ?

1 。 5

1 1 27 0 1 3 1 1 2 ( ? (Ⅱ)由题意, P ?? ? 0 ? ? C( ) ? , P ?? ? 1? ? C( ) 1 ? ) , 3 3 10 1000 10 10 1000 1 2 243 1 3 729 2 1 3 1 0 P ?? ? 2 ? ? C( ) 1 ? ) ? ( ( , P ? ? ? 3? ? C( ) 1 ? ) ? 3 3 10 10 1000 10 10 1000
∴随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

∴故随机变量 X 的数学期望为:

E? =0 0 ?

1 27 243 729 27 。 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1000 1000 1000 1000 10

【考点】相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、二项分布,随机变量的分布列、数学期望。 【解析】 (Ⅰ)求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率,利用至少有一个系统不发生故障的 概率为

49 ,可求 p 的值。 50

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,求出相应的概率,可得 ? 的分布列与数学期望。 例 5. (2012 年天津市理 13 分)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列与数 学期望 E? .【版权归锦元数学工作室,不得转载】

2 1 【答案】 (Ⅰ) 解: 依题意, 4 个人中, 每个人去参加甲游戏的概率为 , 去参加乙游戏的人数的概率为 。 3 3
( 1 设“这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏”为事件 Ai i ? 0, ,2,3,4) ,
i i ?1? 则 P Ai) C4 ? ? ( ?

? 2? ?? ? ? 3? ? 3?

4?i



∴这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P A2 ? C4 ? ? ? ? ? = ( ) 2

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

2

2

8 。 27

(Ⅱ)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B ,则 B ? A3 ? A4 。 ∵ A3 与 A4 互相排斥,∴ P B ? P A3 ? P A4 ? C4 ? ? ? () ( ) ( ) 3 (Ⅲ) ? 的所有可能取值为 0,2,4, ∵ A1 与 A3 互相排斥, A0 与 A4 互相排斥,

?1? ? 3?

3

2 1 4 ?1? ? C4 ? ? ? 3 ? 3? 9

4

( ) ( ∴ P ? ? 0 ? P A2)?

8 40 17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ? ( ? , , P ? ? 2 ? P A1 ? P A3 ? ,P ? ? 4 ? P A0) P A4) 27 81 81

∴随机变量 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

8 27

40 81

17 81

随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? ? 0 ?

8 40 17 148 。 ? 2? ? 4? ? 27 81 40 81

【考点】离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列。 【分析】 (Ⅰ)依题意,求出这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率和去参加乙游戏的人数的概率,即

可求得这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率。 (Ⅱ)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B ,则 B 包括这 4 个人中去 参加甲游戏的人数有 3 人和 4 人两种情况,利用互斥事件的概率公式可求这 4 个人中去参加甲游戏的人数 大于去参加乙游戏的人数的概率。 (Ⅲ) ? 的所有可能取值为 0,2,4,由于 A1 与 A3 互相排斥, A0 与 A4 互相排斥,求出相应的概 率,可得 ? 的分布列与数学期望。 例 6. (2012 年安徽省理 12 分)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型 试题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库 ,此次调题工作结束;若调用 的是 B 类型试题, 则使用后该试题回库, 此次调题工作结束。 试题库中现共有 n ? m 道试题, 其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类试题的数量。 (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。 【答案】解: (I)根据题意, X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2 则 P( X ? n) ? (1 ? p)2 ?

n n ?1 。 ? m?n m?n?2

1 2

1 1 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , 4 2

1 P( X ? n ? 2) ? p 2 ? 。 4 ∴ X 的分布列如下:
X P

n

n ?1

n?2
1 4

1 1 4 2 1 1 1 ∴ EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 。 4 2 4
【考点】概率,离散型随机变量及其分布列。

【解析】 (I)根据题意, X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,第一次调题为 A 类型试题的概率为

n n ?1 ;第二次调题时试题总量为 m ? n ? 2 , A 类型试题为 n ? 1,概率为 。所以两次调题均为 m?n m?n?2 n n ?1 A 类型试题的概率为 。 ? m?n m?n?2
(Ⅱ)随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2 ,求出 X 的分布列和均值(数学期望) 。

例 7. (2012 年山东省理 12 分) 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

3 ,命中得 4

2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分。该 3

射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX 【答案】解: (Ⅰ)∵该射手恰好命中一次的情况包括向甲靶射击命中向乙靶射击没中,向甲靶射击没中 向乙靶射击命中一次两种情况,P ∴该射手恰好命中一次的概率为 P ? (Ⅱ)取 X ? 0,1,2,3,4, 5

3 1 2 1 1 1 2 7 ? ( ) ? ? C2 ? ? ? 。 4 3 4 3 3 36

P(X ? 0) ? P(X ? 3) ?

1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 ? ( ) ? , P(X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P(X ? 2) ? C1 ? ? , 2 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 11 2 1 1 2 1 3 2 1 C 2 ? ? , P( X ? 4) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 。 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3

∴该射手的总得分 X 的分布列如下: X P 0 1 2 3 4 5

1 36

1 12

1 9

1 3

1 9

1 3

求该射手的总得分 X 的数学期望 EX=0×

1 1 1 1 41 1 1 5 +1× +2× +3× +4× +5× = ?3 。 9 3 9 3 12 36 12 12

【考点】概率,分布列及数学期望。 【解析】 (Ⅰ)找出该射手恰好命中一次的所有情况,求出概率即可。 (Ⅱ)直接根据分布列及数学期望的计算方法解题即可。 例 8.(2012 年广东省理 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分 组区间是: ?40,50? , ?50,60? , ?60,70 ? , ?70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100? (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望。

【答案】解: (1)图中学生期中考试数学成绩在 [80,90)的频率 f5=1-10(0.054+0.01+0.006× 3)=1-0.82=0.18 ,∴ x =0.18÷ 10=0.018。 (2)学生成绩不低于 80 分的频率 f=10(0.018+0.006)=0.24, 成绩不低于 80 分的学生人数为 50f=50× 0.24=12。 成绩不低于 90 分的学生人数为 50× 0.006=3。 10× ∴随机变量 x 的取值为 0,1,2,期中考试数学成绩在 [80,90)的学生数为 12-3=9。

p (x = 0) =

C92 C1 ? C1 C2 6 9 1 = , p (x = 1) = 9 2 3 = , p (x = 2) = 3 = 。 2 2 C12 11 C12 22 C12 22

随机变量 x 的分布列为

x
P

0

1

2

9 1 22 22 0? 12 1? 9 2 1 11 1 随机变量 x 的数学期望 E (x ) = = = 。 22 22 2
【考点】频率分布直方图,离散型随机变量的期望。 【解析】 (1)根据频率分布直方图,由频率和为 1 可求。 (2)求出分布列即可求得随机变量 x 的数学期望。 例 9.. (2012 年江西省理 12 分)如图,从 A (1,0,0) , A2 (2,0,0) , B1 (0,1,0) , B2 (0,2,0) , C1 (0,0,1) , 1

6 12 = 11 22

C2 (0,0,2) 这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体
积为随机变量 V (如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V ? 0 ) 。 (1)求 V ? 0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望 EV 。

z C2 C1 O A1 A2 x
【答案】解: (1)从 6 个点中随机取 3 个点总共有 C3=20 种取法,选取的 3 个点与原点在同一个平面内 6 12 3 的取法有 C1C3=12 种,因此 V=0 的概率为 P(V=0)= = 。 3 4 20 5 1 1 2 4 (2)V 的所有可能取值为 0, , , , ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 V P 0 3 5 1 6 1 20 1 3 3 20 2 3 3 20 4 3 1 20

B1

B2 y

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 由 V 的分布列可得 EV=0× + × + × + × + × = 。 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40 【考点】组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望。 【解析】 (1)应用组合知识求出从 6 个点中随机取 3 个点的总数和选取的 3 个点与原点在同一个平面内的 取法,根据概率的求法即可。 (2)求出 V 的所有可能取值和概率,即可得到分布列和期望。 例 10. (2012 年浙江省理 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取 出一个黑球得 1 分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) . 【答案】解:(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6。
P( X ? 3) ?
3 C5 5 ; ? 3 C9 42 1 2 C5C4 15 ; ? 3 42 C9

P( X ? 4) ?

1 C52C4 20 ; ? 3 42 C9 3 C4 2 . ? 3 C9 42

P( X ? 5) ?

P( X ? 6) ?

∴所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21
6 i?4

5
15 5 ? 42 14
13 。 3

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:E(X)= ? i ? P ( X ? i ) ? 【考点】离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望。

【解析】 (1) X 的可能取值有:3,4,5,6,求出相应的概率可得所求 X 的分布列。 (2)利用 X 的数学期望公式,即可得到结论。 例 11. (2012 年湖北省理 12 分)根据以往的经验,某工程施工期间的将数量 X(单位:mm)对工期的影 响如下表: 降水量 X 工期延误天 数Y 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9,求: (I)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率。 【答案】解: (Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

P( X ? 300) ? 0.3,

P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 , P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1? P( X ? 900) ? 1? 0.9 ? 0.1.
∴ Y 的分布列为:

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

∴ E(Y) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ?10? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 .
∴工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 。 (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ?
P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? 。 P( X ? 300) 0.7 7

∴在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是

6 。 7

【考点】离散型条件概率分布列的期望与方差,条件概率。 【解析】 (I)应用概率的加法公式,求出 Y 的分布列即可求得工期延误天数 Y 的均值与方差。 (Ⅱ)应用概率的加法公式,求出 P(X≥300)和 P(300≤X<900) ,由条件概率即可求得在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率。 例 12. (2012 年湖南省理 12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次性购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 x 1 1至4件 5至8件 30 1.5 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 13 至 16 件 17 件及以上 10 3 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;
[&%中国教育出~版 网*#]

(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等 候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... (注:将频率视为概率)
[中%#国教*育^ 出版网 ~]

【答案】解: (Ⅰ)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 解得 x ? 15, y ? 20 。 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物 的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? 。 100 5 100 10 ∴ X 的分布为 p( X ? 1) ?
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 。 20 10 4 5 10

(Ⅱ) A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”,Xi (i ? 1,2) 为该顾客前面第 i 记 位顾客的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) 。
由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以,

P( A) ? P( X1 ? 1) ? P X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1) (
? 3 3 3 3 3 3 9 。 ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80 9 。 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 【考点】分布列及数学期望的计算,概率。

【解析】Ⅰ) ( 根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知 25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%,

x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望。
(Ⅱ)通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的 ... 概率。 例 13. (2012 年福建省理 13 分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该 轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售 出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 首次出现故 障时间 x(年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润 为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从 经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由. 【答案】解: (I)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A. 2+3 1 则 P(A)= = . 50 10 0<x≤1 2 1 1<x≤2 3 2 x>2 45 3 0<x≤2 5 1.8 x>2 45 2.9 甲 乙

(II)依题意得,X1 的分布列为 X1 P X2 的分布列为 X2 P 1.8 1 10 2.9 9 10 1 1 25 2 3 50 3 9 10

1 3 9 143 (III)由(2)得,E(X1)=1× +2× +3× = =2.86(万元), 25 50 10 50 1 9 E(X2)=1.8× +2.9× =2.79(万元). 10 10 因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车。 【考点】等可能事件的概率,离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列。 【解析】 (I)根据保修期为 2 年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为 2+3,由此 可求其功率。 (II)求出概率,可得 X1,X2 的分布列。 (III)由(II) ,计算二者期望,比较期望可得结论。 例 14. (2012 年辽宁省理 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随 机抽取了 100 名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方 图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

10

55

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X。若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) 。

P X 2 ? k) (

0.05 3.841

0.01 6.635

k
附: ? ?
2

n( n11n22 ? n12 n21 ) 2 , n1? n2 ? n?1n?2

【答案】解: (I)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2× 列联表如下: 2 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2× 列联表中的数据代入公式计算,得 2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15? 100 2 ? ? ? ? ? 3.03 。 n1? n2? n?1n?2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
2

∵3.03<3.841,∴没有理由认为“体育迷”与性别有关, (II)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取到一名 “体育迷”的概率是

1 。 4 1 ) ,从而分布列为 4

由题意 X∽B(3,

X P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

( ? 所以 E X) np ? 3 ?

1 3 1 3 9 ? , D X) npq ? 3 ? ? ? ( ? 。 4 4 4 4 16

【考点】统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望和方差。 【解析】 (I)根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表,再代入公式计算得出 ? 2 ,与 3.841 比较即 可得出结论。 (II) 由题意, 用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 从而给出分布列,再由公式计算出期望与方差即可。 例 15. (2012 年重庆市理 13 分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投中者获胜,一直到 有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; 分) (5 (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望(8 分) 【答案】解: (Ⅰ)记“甲获胜”为事件 C ,甲 3 次投篮投中为 A1,A2,A3 ,乙 3 次投篮投中为 B1,B2,B3 。

1 1 , 由于 X∽B (3, ) , 4 4

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 , 3 2

1 1 ∵ p ( A1 )=p ( A2 )=p ( A3 )= ,p ( B1 )=p ( B2 )=p ( B3 )= , 3 2 2 1 ∴ p ( A1 )=p ( A2 )=p ( A3 )= , p ( B1 )=p( B2 )=p( B3 )= 。 3 2
由互斥事件由一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式得

p(C ) ? p( A1 ) ? p( A1 B1 A2 ) ? p( A1 B1 A2 B2 A3 )
? p( A1 ) ? p ( A1 ) p ( B1 ) p ( A2 ) ? p ( A1 ) p ( B1 ) p ( A2 ) p ( B2 ) p ( A3 ) ?
(Ⅱ) ? 的可能取值为 1,2,3,则

13 。 27

2 p(? ? 1) ? p( A1 ) ? p( A1B1 ) ? , 3 2 p(? ? 2) ? p( A1 B1 A2 ) ? p( A1 B1 A2 B2 ) ? , 9 1 p(? ? 3) ? p( A1 B1 A2 B2 ) ? 。 9
∴篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列如下:

?
P

1

2

3

2 3

2 9

1 9 2 2 2 13 ? 2 ? ? 3? ? 。 3 9 9 9

∴篮结束时甲的投篮次数 ? 的期望 E (? ) ? 1 ?

【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列和期望。 【分析】记“甲获胜”为事件 C ,甲 3 次投篮投中为 A1,A2,A3 ,乙 3 次投篮投中为 B1,B2,B3 。则 (Ⅰ) p(C ) ? p( A1 ) ? p( A1 B1 A2 ) ? p( A1 B1 A2 B2 A3 ) ,利用互斥事件的概率公式求解即可。 (Ⅱ) 投篮结束时甲的投篮次数 ? 的可能值为 1,2,3,求出相应的概率,即可得到 ? 的分布列 与期望。 例 16. (2012 年陕西省理 13 分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 【答案】解:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。 ∴ P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3? 0.1? 0.4? 0.4 ? 0.22 。
(2) X 所有可能的取值为 0,1, 2 。

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,

∴ P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 。

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1
分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, ∴ P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) ? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 。

X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
∴ P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 ∴ X 的分布列为:

X
P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ?1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51。
【考点】用频率估计概率,离散型随机变量的概率分布与期望。 【解析】 (1)用频率估计概率的方法估计出第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率。 (2 根据 X 所有可能的取值为 0,1, 2 ,求出 X 的分布列即可求得 X 的的数学期望。 例 17. (2012 年江苏省 10 分) ? 为随机变量, 设 从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条, 当两条棱相交时,

? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1.
(1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E(? ) . 【答案】解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,
2 ∴共有 8C3 对相交棱。

∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴ P(? ? 2)=

4 1 6 6 6 1 ? ? , P (? ? 1)=1 ? P (? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = 。 2 11 11 11 C12 66 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P(? )

0

1

2

4 11

6 11

1 11

∴其数学期望 E (? )=1?

6 1 6? 2 。 ? 2? = 11 11 11

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。 【解析】 (1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) 。 (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出 P(? ? 1)(两条棱平 行且距离为 1 和两条棱异面) ,因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数学期望。

四、样本抽样方法: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年四川省文 5 分)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 N ,其中甲社区有驾驶员 96 人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数

N 为【

】 B、808 C、1212 D、2012

A、101 【答案】B。

【考点】分层抽样问题。 【解析】 N = 96 ? 21?

96 96 96 ? 25? ? 43? ? 808。故选 B。 12 12 12

例 2. (2012 年山东省理 5 分)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号 为 1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9。抽到的 32 人中,编号落入 区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C。则抽到的人中, 做问卷 B 的人数为【 A 7 【答案】C。 【考点】系统抽样方法。 【解析】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人。 第 k 组的号码为 (k ?1)30 ? 9 , 令 451 ? (k ?1)30 ? 9 ? 750,且 k ? z ,解得 16 ? k ? 25 。 ∵满足 16 ? k ? 25 的整数 k 有 10 个,∴编号落入区间[451,750]的人的 10 人。故选 C。 例 3. (2012 年天津市理 5 分)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从 这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査, 应从小学中抽取 学校. ▲ 所学校, 中学中抽取 ▲ 所 B 9 】 C 10 D 15

【答案】18,9。 【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算。 【分析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所, ∴应从小学中抽取

150 75 ? 30=18 ,中学中抽取 ? 30=9 。 250 250


例 4. (2012 年浙江省文 4 分)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学 生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为 【答案】160。 【考点】分层抽样。 【解析】根据男生和女生的人数做出年纪大总人数,用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概 率,用男生人数乘以概率,得到结果: ∵有男生 560 人,女生 420 人,∴年级共有 560+420=980。 ∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本, ∴每个个体被抽到的概率是 .

280 2 ? 。 980 7

2 ∴要从男生中抽取 560× =160。 7
例 5. (2012 年湖北省文 5 分)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人。现用分层抽样的方法 抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有 【答案】6。 【考点】分层抽样的性质。 【解析】设抽取的女运动员的人数为 a ,则根据分层抽样的特性,有 动员为 6 人。 例 6. (2012 年福建省文 4 分) 一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人,按男女比例用分 层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是 【答案】12。 【考点】分层抽样。 98-56 42 【解析】根据分层抽样中最基本的比例关系,抽取女运动员的人数是:28× =28× =12。 98 98 例 7. (2012 年江苏省 5 分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从 该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. ▲ . ▲ 人。

a 8 ? ,解得 a ? 6 。故抽取的女运 42 56

【答案】15。 【考点】分层抽样。 【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或 机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影 响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由 50 ? 名学生。 例 8. (2012 年天津市文 13 分)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这 些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。 (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。 (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果; (2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率。 【答案】解: (I)∵抽样比为

3 =15 知应从高二年级抽取 15 3?3? 4

6 1 ? , 21 ? 14 ? 7 7

∴应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为

1 1 1 21× =3,14× =2,7× =1。 7 7 7
(II) (1)在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 a,b, c ,两所中学分别记为 x , y ,大学 记为 D , 则抽取 2 所学校的所有可能结果为{ a , b },{ a , c },{ a , x },{ a , y },{ a , D }, { b , c },{ b , x },{ b , y },{ b , D },{ c , x },{ c , y },{ c , D },{ x , y },{ x , D }, { y , D },共 15 种 (2)设 B ={抽取的 2 所学校均为小学},事件 B 的所有可能结果为{ a , b },{ a , c }, { b , c }共 3 种, ∴ P ? B? ?

3 1 ? 。 15 5

【考点】分层抽样,列举法计算基本事件数及事件发生的概率。 【分析】 (I)利用分层抽样的意义,先确定抽样比,在确定每层中抽取的学校数目。
2 (II) (1)从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校,所有结果共有 C6 ? 15 种,按规律列举即可。

(2)先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数,再利用古典概型概率的计算公式即可 得结果。

五、统计量的分析和计算: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国课标卷文 5 分)在一组样本数据(x1,y1)(x2,y2) , ,…, n,yn) (x (n≥2,x1,x2,…,xn 1 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本 2 相关系数为【 (A)-1 【答案】D。 【考点】样本相关系数。 1 【解析】根据样本相关系数的概念,因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,即两变量 2 为完全线性相关,且完全正相关,因此这组样本数据的样本相关系数为 1。故选 D。 例 2. 2012 年安徽省理 5 分) ( 甲、 乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次, 两人成绩的条形统计图如图所示, 则【 】 】 (B)0 1 (C) 2 (D)1

( A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ( B ) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C ) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
【答案】 C 。 【考点】平均数,中位数,方差,极差。 【解析】∵ x甲 ?

( D ) 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

1 1 (4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? 6, x乙 ? (5 ? 3 ? 6 ? 9) ? 6 , 5 5

∴甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数。 ∵甲的成绩的中位数=6,乙的成绩的中位数=5,∴甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数。 ∵甲的成绩的方差为 (2 ? 2 ? 1 ? 2) ? 2 ,乙的成绩的方差为 (1 ? 3 ? 3 ?1) ? 2.4 ,
2 2 2 2

1 5

1 5

∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。 ∵甲的成绩的极差=8-4=4,乙的成绩的极差=9-5=4, ∴甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差。 因此,正确的表述是:甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。故选 C 。 例 3. (2012 年山东省文 5 分)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88, 88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的 是【 】 B 平均数 C 中位数 D 标准差

A 众数 【答案】D。

【考点】统计量的特征。 【解析】设 A 样本数据为变量 X,B 样本数据为变量 Y,则依题意,Y=X+2。根据方差公式可得 DY=D(X+2)=DX。 ∴A 样本数据和 B 样本数据的方差相同,从而标准差也相同。故选 D。 例 4.(2012 年江西省理 5 分) ( x1, x2 ,?, xn ) 样本 的平均数为 x , ( y1, y2 ,? ym ) 样本 的平均数为 y ( x ? y ) , 若样本( x1, x2 ,?, xn , y1, y2 ,? ym )的平均数 z ? ? x ? (1 ? ? ) y ,其中 0 ? ? ? 为【 】 B. n ? m C. n ? m D.不能确定

1 ,则 n, m 的大小关系 2

A. n ? m 【答案】A。

【考点】作差法比较大小以及整体思想,统计中的平均数。 【解析】由统计学知识,可得 x1 ? x2 ? ? ? xn ? nx, y1 ? y2 ? ? ? ym ? my ,

x1 ? x2 ? ? ? xn ? y1 ? y2 ? ? ? ym ? ? m ? n ? z ? ? m ? n ? ?? x ? ?1? ? ? y ? ? ?

? ? m ? n?? x ? ? m ? n??1? ? ? y ,
∴ nx ? my ? ? m ? n ?? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y 。∴ ?

?n ? ? m ? n ? ? ? 。 ?m ? ? m ? n ??1 ? ? ? ?

∴ n ? m ? (m ? n)[? ? (1 ? ? )] ? (m ? n)(2? ? 1) 。 ∵0 ?? ?

1 ,∴ 2? ?1 ? 0 。∴ n ? m ? 0 ,即 n ? m 。故选 A。 2

例 5. (2012 年江西省文 5 分)小波一星期的 总开支分布图如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,

则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为【



A.30% 【答案】C。

B.10%

C.3%

D.不能确定

【考点】分布的意义。 【解析】计算鸡蛋占食品开支的百分比,利用一星期的食品开支占总开支的百分比,即可求得一星期的鸡 蛋开支占总开支的百分比: 根据一星期的食品开支图,可知鸡蛋占食品开支的百分比为 ∵一星期的食品开支占总开支的百分比为 30%, ∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 30%× 10%=3%。故选 C。 例 6. (2012 年湖北省文 5 分) 容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 [10, 20) 频数 2 [20, 30) 3 】 0.65 [30, 40) 4 [40, 50) 5 [50, 60) 4 [60, 70) 2

30 ? 10% 。 30 ? 40 ? 100 ? 80 ? 50

则样 本数据落在区间[10,40]的频率为【 A 0.35 【答案】B。 【考点】频数、频率和总量的关系。 B 0.45 C 0.55 D

【解析】由频率分布表可知:样本数据落在区间 [10, 40) 内的頻数为 2+3+4=9, 样本总数为 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? 2 ? 20 , ∴样本数据落在区间 [10, 40) 内频率为

9 ? 0.45 。故选 B。 20

例 7. (2012 年湖南省理 5 分)设某大学的女生体重 y (单位: kg )与身高 x (单位: cm )具有线性相

y 关关系,根据一组样本数据 ? xi , yi ??i ? 1, 2, , n? ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? ? 0.85x ? 85.71 , ???

则下列结论中不正确的是【



A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 x, y

?

?

C.若该大学某女生身高增加 1 cm ,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm ,则可断定其体重比为 58.79 kg 【答案】D。 【考点】两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念。 【解析】对于 A,∵0.85>0,∴ y 与 x 具有正的线性相关关系,故正确;

? 对于 B, ∵由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y ? bx ? a ? bx ? y ? bx (a ? y ? bx ) , ∴回归
直线过样本点的中心 x, y ,故正确;

?

?

y 对于 C, ∵回归方程为 ? ? 0.85x ? 85.71 , ∴该大学某女生身高增加 1 cm , 则其体重约增加 0.85 kg ,
故正确;

y 对于 D,x =170 cm 时,? ? 0.85 ? 170 ? 85.71=58.79 , 但这是预测值, 不可断定其体重为 58.79 kg ,
故不正确。 故选 D。【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 8. (2012 年陕西省理 5 分)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统 计数据用茎叶图表示(如图所示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 , 则【 】

A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 【答案】B。

B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

【考点】茎叶图,平均数,中位数。

【解析】直接求出甲与乙的平均数,以及甲与乙的中位数,即可得到选项:

5 ? 6 ? 8 ? 10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 30 ? 38 ? 41 ? 43 345 , ? 16 16 10 ? 12 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 23 ? 27 ? 31 ? 32 ? 34 ? 34 ? 38 ? 42 ? 43 ? 48 456 乙的平均数 x乙= , ? 16 16
甲的平均数 x甲 ? ∴ x甲 ? x乙 。 甲的中位数为 故选 B。 例 9. (2012 年陕西省文 5 分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图 所示) ,则该样本的中位数、众数、极差分别是【 】
18 ? 22 27 ? 31 ? 20,乙的中位数为 ? 29,∴ m甲 ? 2 2

m乙。

A.46,45,56 【答案】A。

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

【考点】茎叶图,中位数,众数,极差。 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数,即

45+47 =46 ,众数是 45,极差为 68-12=56。故选 A。 2

例 10. (2012 年山东省文 4 分)下图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频 率分布直方图, 其中平均气温的范围是 [20.5, 26.5]样本数据的分组为 [20.5,21.5) , , [21.5,22.5) , [22.5,23.5) ,

[23.5,24.5) , [24.5,25.5) , [25.5,26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气
温不低于 25.5℃的城市个数为 ▲

【答案】9。

【考点】频率分布直方图,频数、频率和总量的关系。 【解析】∵从频率分布直方图可知,样本中平均气温低于 22.5℃的城市的频率为 0.10+0.12=0.22,城市个 数为 11, ∴根据频数、频率和总量的关系,调查的城市个数为为

11 =50 。 0.22

又∵从频率分布直方图可知,样本中平均气温不低于 25.5℃的城市的频率为 0.18, ∴本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 50× 0.18=9。 例 11. (2012 年广东省文 5 分)由正整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准 差等于 1,则这组数据为 【答案】1,1,3,3。 【考点】分类思想的应用,平均数,中位数,标准差。 【解析】应用分析法,结合分类思想的应用,由题意,可设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , x1 , x2 , x3 , x4 ? N ? 。 由题设条件, x1 , x2 , x3 , x4 的中位数是 2,根据中位数的概念, ∴由 x2 , x3 ? N ? 得 x2 =x3 =2 或 x2 =1, x3 =3 。 若 x2 =x3 =2 ,由 x1 , x2 , x3 , x4 平均数是 2,得 x1 =1, x4 =3 ,而此时标准差 不符; 若 x2 =1, x3 =3 ,由 x1 , x2 , x3 , x4 平均数是 2,得 x1 =1, x4 =3 ,而此时标准差 1,与题意标准差等于 1 相符。 ∴这组数据为 1,1,3,3。 例 12. (2012 年湖南省文 5 分)图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员 在这五场比赛中得分的方差为 (注:方差 ▲ ..
[来



.(从小到大排列)

x2 +x3 =2 , 2

2 ,与题意标准差等于 1 2

s2 ?

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ? ,其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平均数) ? n?

【答案】6.8。 【考点】茎叶图,方差。 【解析】∵ x ?

1 (8 ? 9 ? 10 ? 13 ? 15) ? 11 , 5

∴ s2 ?

1 ?(8 ? 11)2 ? (9 ? 11)2 ? (10 ? 11)2 ? (13 ? 11)2 ? (15 ? 11)2 ? ? 6.8 。 ? 5?

例 13. (2012 年全国课标卷文 12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每 枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的 函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利 润不少于 75 元的概率。 【答案】解:(Ⅰ)当 n ? 17 时, y ? 17 ? (10 ? 5) ? 85 ; 当 n ? 16 时, y ? 5n ? 5(17 ? n) ? 10n ? 85 。 ∴y ? ?

?10n ? 80(n ? 16) (n ? N) 。 (n ? 17) ? 80

(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)和所给表,得 日需求量 n 频数 日利润 y 14 10 55 15 20 65 16 16 75 17 16 18 15 85 19 13 20 10

∴这 100 天的日利润的平均数为:

1 0 ? 5 5? 1 ? 100

6 5 ? 0 ? 7 5 1? ? 2 ? 6

8 ?5

5 (元)。 4 4 =76.

(2)这 100 天中,当天的利润不少于 75 元有(16+16+15+13+10)=70 天, ∴以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,当天的利润不少于 75 元的概率为:P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.10=0.7。 【考点】列函数关系式,平均数,概率。 【解析】(1)根据题意,分 n ? 17 和 n ? 17 分别列式。 (2)根据平均数和概率的计算方法解题。 例 14. (2012 年北京市理 13 分)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、

可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取 了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) ; “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a,b,c,其中 a﹥0,

a ? b ? c ? 600 。当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s2 的

1 值。 (求: s 2 = ? x1 ? x n? ?

?

? ? ? x2 ? x ?
2

2

2 ? ??? ? x n ? x ? ,其中 x 为数据 x1,x2,…, x n 的平均数) ? ?

?

?

【答案】解: (1)∵厨余垃圾计 400+100+100=600,投放正确的 400, ∴厨余垃圾投放正确的概率为

400 2 = 。 600 3

(2)∵生活垃圾投放错误的为 50+120+130=300, ∴生活垃圾投放错误的概率为 (3)由题意可知:

300 3 = 。 1000 10

1 1 2 2 2 s 2 = ?? a ? 200 ? ? ? b ? 200 ? ? ? c ? 200 ? ? = ?a 2 +b 2 +c 2 ? 400 ? a+b+c ? ? 120000 ? ? ? ? 3? 3 1 1 = ?a 2 +b 2 +c 2 ? 400 ? 600 ? 120000 ? = a 2 +b 2 +c 2 ? 120000 ? ? 3 3

?

?

数据 a,b,c 的方差 s2 最大时, a=600,b=0,c=0 ,最大方差为:

s 2 max =
【考点】概率,方差。

1 600 2 ? 120000 =80000 。 3

?

?

【解析】(1)用投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾除以投放到“厨余垃圾”箱的生活垃圾即可。 (2)生活垃圾投放错误的数量除以生活垃圾总量即可。 (3)由已知和方差公式求出 s 2 =

1 2 2 2 a +b +c ? 120000 ,要使 s2 最大,即要 a 2 +b 2 +c 2 最大。 3

?

?

下面讨论 a 2 +b 2 +c 2 最大时,a,b,c 的值: ∵ a 2 +b2 +c2 = ? a+b+c? ? 2 ? ab ? ac ? bc ?
2

∴要使 a 2 +b 2 +c 2 最大,即要 ab ? ac ? bc 最小,即 ab ? ac ? bc=0 。 又∵a﹥0,∴ b=c=0 。 ∴数据 a,b,c 的方差 s2 最大时, a=600,b=0,c=0 。代入即可求得最大方差。 例 15. (2012 年安徽省文 13 分)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视为合格 品,否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行 检测,结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm), 将所得数 据分组, 得到如下频率分布表:

分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数

频率 0.1

8 0.5 10

50

1

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批产品中的合格 品的件数。 【答案】解: (I)填表如下:

分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数

频率 0.1

5
8

0.16
0.5

25
10
2

0.2
0.4
1

50

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5 ? 0.2 ? 0.7 。

(Ⅲ)∵合格品的件数为 20 ?

5000 , ? 20 ? 1980 (件) 50

∴估算这批产品中的合格品的件数为 1980 件。 【考点】频数、频率和总量的关系,概率,用样本估计总体。 【解析】 (I)根据频数=总量× 频率,总量=各分量频数之和计算即可。 (Ⅱ)根据概率的意义求解即可。 (Ⅲ)根据用样本估计总体的方法求解即可。 例 16. (2012 年广东省文 13 分)某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中 成绩分组区间是: ?50,60 ? , ?60,70 ? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100 ? .

(1)求图中 a 的值 (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示, 求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数. 分数段 x :y

?50,60? ?60,70?
1:1 2:1

?70,80?
3:4

?80,90?
4:5

【答案】解: (1)依题意得, 10(2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 1 ,解得 a ? 0.005 。 (2)这 100 名学生语文成绩的平均分为: 。 55? 0.05 ? 65? 0.4 ? 75? 0.3 ? 85? 0.2 ? 95? 0.05 ? 73(分) (3)数学成绩在 [50,60) 的人数为: 100 ? 0.05 ? 5 ,

1 ? 20 , 2 4 数学成绩在 [70,80) 的人数为: 100 ? 0.3 ? ? 40 , 3 5 数学成绩在 [80,90) 的人数为: 100 ? 0.2 ? ? 25 , 4
数学成绩在 [60,70) 的人数为: 100 ? 0.4 ? ∴数学成绩在 [50,90) 之外的人数为: 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10 (人) 。 【考点】频率分布直方图,平均数。 【解析】 (1)由频率分布直方图中各个矩形的面积等于 1 列式求解。 (2)根据平均数的求法求解。 (3)根据比例求出这 100 名学生在 ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80? 、 ?80,90? 分数段的人数,即可求 得数学成绩在 ?50,90? 之外的人数。 例 17. (2012 年湖南省文 12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) ... 【答案】解: (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35 ,解得 x ? 15, y ? 20 。 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计, 其估计值为:

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟)。 100
(Ⅱ) A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A , A2 , A3 分别表示事件“该 记 1

顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”, “该顾客一次购物的结算 时间为 2 分钟”,将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? 。 100 20 100 10 100 4

∵ A ? A ? A2 ? A3 , 且A , A2 , A3 是互斥事件, 1 1

3 3 1 7 ? ? ? 。 20 10 4 10 7 ∴一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 。 10
∴ P( A) ? P( A ? A2 ? A3 ) ? P( A ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 1 1 【考点】概率统计的基础知识,互斥事件的并集。 【 解 析 】 Ⅰ ) 根 据 统 计 表 和 100 位 顾 客 中 的 一 次 购 物 量 超 过 8 件 的 顾 客 占 55 % , 知 (

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的
平均值的估计值。 (Ⅱ)通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 ... 分钟的概率。 例 18. (2012 年福建省文 12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的 价格进行试销,得到如下数据:

单价 x(元) 销量 y(件)

8 90

8.2 84

8.4 83

8.6 80

8.8 75

9 68

y (I)求回归直线方程 ? =bx+a 其中 b= ? 20 a= y ? bx ; ,
(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂 获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) - 1 - 1 【答案】解: (I)由于 x = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, y = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80, 6 6

y 所以 a= y ? bx =80+20× 8.5=250,从而回归直线方程为 ? = ? 20x+250 。
(II)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得

L ? x( ? 20x+250) ? 4( ? 20x+250)= ? 20x2 +330x ? 1000=20 ? x ? 8.25? +361.25 ,
2

当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值。 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润。 【考点】回归分析的初步应用,线性回归方程。 【解析】 (I)计算平均数,利用 b= ? 20 a= y ? bx ,即可求得回归直线方程。 , (II)设工厂获得的利润为 L 元,利用利润=销售收入-成本,建立函数,利用配方法可求工厂获 得的利润最大。 例 19.(2012 年辽宁省文 12 分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机 抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时 间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性, 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率。 体育迷 合计

P X 2 ? k) (

0.05 3.841

0.01 6.635

k
附? ?
2

n( n11n22 ? n12 n21 ) 2 , n1? n2 ? n?1n?2

【答案】解: (I)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2× 列联表如下: 2 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2× 列联表中的数据代入公式计算,得 2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15? 100 ? ? ? ? ? 3.03 。 n1? n2? n?1n?2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
2 2

∵3.03<3.841,∴没有理由认为“体育迷”与性别有关,
2 (Ⅱ)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从中任意选取 2 人的等可能事件有 C5 ? 10 种。 1 1 2 用 A 表示“任意选取 2 人,至少有 1 名女性”这一事件,则 A=C3 ? C2 +C2 ? 7 。

∴ P ? A? ?

7 。 10

【考点】频率分布直方图、独立性检验、古典概型。 【解析】 (I)根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表,再代入公式计算得出 ? 2 ,与 3.841 比较即 可得出结论。 (II)根据概率的求法,找准两点:①全部等可能情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比 值就是其发生的概率。


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