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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-3:第一章 计数原理 2.1《排列》


1.2.1 排 列

首先通过2015年北京田径世锦赛在男子 4 ×100米接力决 赛中,由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌组成的中国队创 历史的以38秒01的成绩获得亚军,他们四人上颁奖台有多少 种站法引入本课内容,然后通过教材“从甲、乙、丙3名同学 中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,其中 1名参加下午的活动,有多少种不同的方法? ”引出课题。接着 引出排列,排列数,排列数公式,阶乘等重难点内容,最后 进行例题总结及练习。 知识掌握上,很多学生原有的知识储备不够,所以该课的 内容应予以简单明白,深入浅出的分析,使学生更易理解知 识.积极采用形象生动,形式多样的教学方法和学生广泛的积 极主动参与的学习方式,定能激发学生兴趣,有效地培养学 生能力,促进学生个性发展.

2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中,由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军,这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩!

讨论:莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法?

问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下

午的活动,有多少种不同的选法?
问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 上面两个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学 模型来刻画

问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下

午的活动,有多少种不同的选法?
分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名,

按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的
顺序排列,求一共有多少种不同的排法?

第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法. 第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6
上午 下午 乙

即共6种方法。
相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙


乙 丙


甲 丙 甲 乙

把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题1

就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一

定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?

ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三 位数,共可得到多少个不同的三位数?
第1步,确定百位上的数字,有4种方法

第2步,确定十位上的数字,有3种方法
第3步,确定个位上的数字,有2种方法 根据分步乘法计数原理,共有 4×3×2=24 种不同的排法。 如下图所示
2 1 3 4
3

1

2 3 41 41

4
3

1 2

3 2

4 2 2

1
3 1

4 2
3 1

3

3 42 42 3

41 4 1

2

有此可写出所有的三位数: 123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

同样,问题2可以归结为:

从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个,然后按照
一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?

abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

思考?上述两个问题的共同特点是?能否推广到一般?
(1)有顺序的

(2)不论是排列之前,还是之后,所有的元素都不相等

推广到一般 排列:一般的,从n个不同的元素中取出m
(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列问题实际包含两个过程:
(1)先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 (2)再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。

注意:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个

问题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完
全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏, 最好采用“树形图”。

例1.下列问题中哪些是排列问题?

(1)10名学生中抽2名学生开会
(2)10名学生中选2名做正、副组长 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 (4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 (5)20位同学互通一次电话 (6)20位同学互通一封信 (7)以圆上的10个点为端点作弦

√ √



哪些是全排列?

(10)安排5个学生为班里的5个班干部,每人一个职位?
www.jkzyw.com

√ √ √

(8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的射线 (9)有10个车站,共需要多少种车票?

2、排列数: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有

排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素
的排列数。用符号 A
m n

表示。

“排列”和“排列数”有什么区别和联系? “一个排列”是指:从 n个不同元素中,任取 m 个元素 按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素的
m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示 排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排

列数,记为

A

2 3

,

A ? 3? 2 ? 6
2 3

问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
3 排列数,记为 A4 ,已经算出

A ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
3 4

探究:从n个不同元素中取出2个元素的排
m 3 列数 A 是多少?An ,An (n ? m) 又各是多少?
2 n

第1位

第2位

A
第3位

2 n

? n ( n ? 1)

n 第1位

n-1 第2位

A
n n-1 n-2

3 n

? n (n ? 1)(n ? 2)

第 1位 第 2位 第 3位

第 m位

······
n n-1
m n

n-2

n-(m-1)
n ? ( m ? 1) ? n ? m ? 1

A

? n ( n ? 1) ( n ? 2)?( n ? m ? 1)

排列数公式(1):

A ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)(m, n ? N*, m ? n)
m n

观察排列数公式有何特征: (1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一 个因数少1.

(2)最后一个因数是n-m+1.
(3)共有m个因数.

n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元 素的一个全排列,这时公式中的m=n,即有
n An ? n( n ? 1)( n ? 2)?? 3 ? 2 ? 1

就是说,n个不同元素全部取出的排列数,
等于正整数1到n的连乘积,

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,
用n!表示, 所以n个不同元素的全排列数公式可以写成

A ?n !
n n

另外,我们规定 0!=1

排列数公式(2):

A

m n

? n (n ? 1) (n ? 2) ? (n ? m ? 1)
n (n ? 1) ?(n ? m ? 1)(n ? m) ??? 2 ?1 ? (n ? m) ??? 2 ?1

n! ? (n ? m)!
说明:

1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。 2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件。

小结:
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定

的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)

2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数

A ? n(n ? 1)(n ? 2)...(n ? m ? 1)
m n

n! A = (n- m)!
m n

排列数公式:

A
m n

m n

? n (n ? 1) (n ? 2) ? ( n ? m ? 1)

常用于计算含有数字的排列 数的值
?

(m ? n,m,n ? N )

n! A ? (n ? m)!

常用于对含有字母的排列数的 式子进行变形和论证

(m ? n,m,n ? N )

?

规定: 0 ! ?1

例2. 计算:

(1)A ? 16 ? 15 ? 14 ? 3360
3 16

(2) A =6!=6×5×4×3×2×1=720
8!?7! ( 3) 7 ? 5!

6 6

m !? (m ? 1)! (4) m?2 Am?2
m ? 2m ? 1
2

42

例3.解方程:

(1) A

4 2 n ?1

? 140 A

3 n

(2)3A ? 4 A
m 8

m?1 9

(1)n=3

(2)m=6

例4. 求证下列各式:

(1) A ? n ? A
m n m n k n

m ?1 n ?1 m?k n?k

(2) A ? A ? A

(k ? m ? n)

你能用学过的方法,举一实际的例子说明(1)、
(2)吗?

例如: (1) A ? 5 ? A ; (2) A ? A ? A
4 5 3 4 4 5 2 5

2 3

课堂练习:
3 2 1.计算:(1) 5 A5 ? 4 A4

? 348

5 A ? 4 A ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
3 5 2 4
1 2 ( 2) A4 ? A4
1 4 2 4 3 4

?A ?A
3 4
4 4

4 4

? 64

A ? A ? A ? A ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64
2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的

3块土地上进行试验,有
3 4

24

种不同的种植方法?

A ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进

行某场比赛,并排定他们的出场顺序,有
的方法?

60

种不同

A ? 5 ? 4 ? 3 ? 60
3 5

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,

最多能打出不同的信号有(
A.1种 B.3种
3 3

C


D.27种

C.6种

A ? 3 ? 2 ?1 ? 6

例 5.某年全国足球甲级 A组联赛共有14个队参加,每 队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多

少场比赛?
解: 14 个队中任意两队进行 1 次主场比赛与 1 次 客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元素的 一个排列,因此,比赛的总场次是

A

2 14

? 14 ? 13 ? 182

例 6.(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本, 共有多少种不同的送法? “从5个不同元素中选出3并按顺序排列”
3 5

A

= 5×4×3= 60

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本, 共有多少种不同的送法?

5×5×5= 125
被选元素可重复选取,不是排列问题!

例7.用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复数字
的三位数? 特殊位置“百位”,特殊元素“0”
百位 十位 个位

法1:A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648
法 2: A9 ? 2 A9 ? 648
百位 十位 个位 百位 十位 个位
3 2

1

2

百位 十位 个位

0
A
3
3 9

0
A
2 9

A
2

2 9

法 3: A10 ? A9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 ? 648

对于有限制条件的排列问题,必须遵循 “特殊元素优先考虑,特殊位置优先安 排”,并注意“合理分类,准确分步”, 做到“不重不漏,步骤完整” ,适当考虑 “正难则反” 。

变式:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位

数,其中小于50000的偶数共有多少个?
万位
1 3

千位

百位

十位

个位

A

A

3 3

1 A2

解法一:(正向思考法 )个位上的数字排列数
1 有A2 种(从2、 4中选);万位上的数字 排列数有 1 A3 种(5不能选),十位、百位 、千位上的排列数 3 1 1 3 有A3 种,故符合题意的偶数 有A2 A3 A3 个。

有约束条件的排列问题
变式:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

解法二:(逆向思维法 )由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复 数字的5位数有A 个,减去其中奇数的个 数A A 个,再
1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个,符合题意的偶数 5 5 1 3 4 4

共有:A ? A A ? A A ? 36个
5 5 1 3 4 4 1 2 3 3

排列问题,是取出m个元素后,还要按一定的顺序排 成一列,取出同样的m个元素,只要排列顺序不同, 就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不同的

排列). 由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也就是
说与位置有关的问题才能归结为排列问题.当元素较 少时,可以根据排列的意义写出所有的排列.

2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中,由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军,这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩!

讨论:莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法?

A ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
3 4

敬请指导
.


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