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北师版中考数学图形相似_图文

中考复习
准备好了吗? 时刻准备着!
阳泉市义井中学 高铁牛

课程标准及学习目标

2005年

(4)图形的相似 ①了解比例的基本性质,了解线段的比 1 成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解 黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似,探索相 似图形的性质,知道相似多边形的对应角相 等,对应边成比例,面积的比等于对应边比 的平方。 ③了解两个三角形相似的概念,探索两个 三角形相似的条件。 ④了解图形的位似,能够利用位似将一个 图形放大或缩小。

⑤通过典型实例观察和认识现实生活 中物体的相似,利用图形的相似解决一 些实际问题 ( 如利用相似测量旗杆的高 度)。 ⑥通过实例认识锐角三角函数 (sinA , cosA , tanA) ,知道 300 , 450 , 600 角的 三角函数值;会使用计算器由已知锐角 求它的三角函数值,由已知三角函数值 求它对应的锐角。 ⑦运用三角函数解决与直角三角形有 关的简单实际问题。

3.图形与坐标

(1) 认识并能画出平面直角坐标系; 在给定的直角坐标系中,会根据坐标描 出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
[参见例4]

(2) 能在方格纸上建立适当的直角坐 标系,描述物体的位置。[参见例5] (3) 在同一直角坐标系中,感受图形 变换后点的坐标的变化。[参见例6] (4) 灵活运用不同的方式确定物体的 位置。[参见例7]

一、线段的比
?1.如果选用一个长度单位量得

m a 如果把 表示成比值k , 那么 ? k , 或 a ? k ? b. n b

两条线段a 、b 的长度分别为 m 、n ,那么两条线段的比为a: a m b=m:n或 b ? n 其中 a,b 分别叫做这个线段比的 前项和后项.

2. 在四条线段中 , 如果其中两条线段的 比等于另外两条线段的比 , 那么这四条 线段叫做成比例线段,简称比例线段.
四条线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d.



a c ? .其中a,d为比例外项;b,c为比例内项 b d

.d称为a,b,c的第四比例项. 特殊情况:若作为比例内项的两条线段相同 ,即a∶b=b∶c(或表示为b2=ac),则线段b叫 a,c的比例中项.

3.比例基本性质
a c a c 如果 ? 那么 ad ? bc. 如果 ad ? bc, 那么 ? . b d b d

比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰: 横竖、上下都可比,惟有交叉只能乘.

a c e m 如果 ? ? ? ? ? , 5.等比性质: b d f n a ? c ? e ??? m a 那么 ? ?b ? d ? f ? ? ? n ? 0 ?. b ? d ? f ??? n b

a c a?b c?d 4.合比性质: 如果 ? , 那么 ? . b d b d

?6.黄金分割

A

C

B

如图4-5,点C把线段AB分成两条线段AC和
AC BC BC,如果 ? , 那么称线段AB被点C黄 AB AC

金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与
AC BC AB的比 (或BC与AC的比 )称为黄金比. AB AC

AC BC 黄金比 ? ? AB AC

5 ?1 ? 0618. 2

二、图形的相似
?1.形状相同的图形 ?①表象:大小不等,形状相同.

?②实质:各对应角相等、各对应边成比例. ?2.相似多边形
?各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形

叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相 似比(相似比与叙述的顺序有关). ?3.相似多边形性质: ?①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ?②相似多边形周长的比等于相似比.

?③相似多边形对应对角线的比

等于相似比. ?④相似多边形对应三角形相似, 且相似比等于相似多边形的相似 比. ?⑤相似多边形对应三角形面积 的比等于相似多边形的相似比的 平方. ?⑥相似多边形面积的比等于相 似比的平方.

?4.多边形与三角形

?①三角形是边数最少的多边形.
?②相似三角形可类比相似多边形来学习.

?5.相似三角形
?三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三

角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫 做相似比(相似比与叙述的顺序有关). ?6.相似三角形性质: ?①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ?②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比, 对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ?③相似三角形面积的比等于相似比的平方.

?7.相似三角形与全等三角形的关系:

?相似比等于1的两个三角形全等.
?8.两个极具代表性的益智“模型”:

“A”型和
D

“X” 型相似三角形 A .
D B E C

E

A
B C

?若△ADE∽△ABC,则 ?∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.

AD AE DE ? ? ? . AB AC BC

三、三角形相似的判定方法
两角对应相等的两个三角形相似. ?2.推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或 其延长线),所截得的三角形与原三角形相似; ?如图:如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC
A D E B A C E B E A C D

?1.定理

B

C

D

?3.推论2

平行于三角形一边直线截其它两边(或 其延长线),所得的对应线段成比例.如果DE∥BC,
AD AE 那么 ? ; DB EC AD AE DB EC DB EC 或 ? ; 或 ? ; 或 ? . AB AC AD AE AB AC

?4.定理 ?5.定理

三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三

·

?7.模型“双垂直”三角形

A

?直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个

· ·

直角三角形与原三角形相似. ?△ACD∽△CBD∽△ABC. 2 ?认识结论:∠A=∠DCB;∠B=∠ACD; AC ? AD ? AB; 2 2 BC ? BD ? AB; CD ? AD ? DB ; AC ? BC ? AB ? CD.

· · D

角形相似; ?6.定理 斜边直角边对应成比例的两个直角三 C 角形相似.

·B

三、相似图形的特例图形的位似
?1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所

在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形 叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似 比又称为位似比. E
B O C A

B

D

F D E

F

O

C

A

?2.性质: ?位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距

离之比等于位似比.

?3.如何作位似图形(放大).
E′ A B C D G F E


D′ B′ C′

A′ G′ B F′ C D

A G F E


P

P
G′

F′ A′

C′

B′

D′

E′

?4.如何作位似图形(缩小).
?5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O

P

?6.如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这

条件可以是
A D S A E E R

.

B
B C

P D Q

C

?7.如图所示,在△ABC中,底边BC=60cm,高

AD=40cm,四边形PQRS是矩形形. ?(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么? ?(2)求矩形PQRS的边长.

四、直角三角形的边角关系
?1.正切的定义:如图:
B

Rt△ABC中,锐角A的对 边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA,即
?A的对边 tan A ? ?A的邻边
?2.余切的定义:∠A的正

i

∠A的对边
A α ┌ ∠A的邻边 C

?3.坡面与水平面的

夹角(α)称为坡角, 切的倒数叫做∠A的余切, 坡面的铅直高度与水 即Rt△ABC中,锐角A的邻 平宽度的比称为坡度 边与对边的比叫做∠A的 i(或坡比),即坡度等 于坡角的正切. 余切,记作cotA,即
?A的邻边 cot A ? ?A的对边
BC i? ? tan ? . AC

?4.正弦的定义:在Rt△ABC

B

中,锐角A的对边与斜边的 比叫做∠A的正弦,记作 sinA,即 A
?A的对边 sin A ? 斜边
?5.余弦的定义:在

∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
?6.锐角A的正弦,余弦,

Rt△ABC中,锐角A的邻边 与斜边的比叫做∠A的余 弦,记作cosA,即
?A的对边 cos A ? 斜边

正切和余切都叫做∠A的 锐角三角函数. ? sinA,cosA,tanA,cotA 是在直角三角形中定义 的(注意数形结合,构造 直角三角形).它的实质 是一个比值其大小只与 ∠A的大小有关.

?7.互余两角之间的三角函数关系:

sinA=cosB,或sinB=cosA. ?一个锐角的正弦等于它的余角的余弦,即 c ?② cosA=sinB,或cosB=sinA. b ?一个锐角的余弦等于它的余角的正弦,即 ?③ tanA=cotB,或tanB=cotA. a ┌C B ?一个锐角的正切等于它的余角的余切,即 ?④ cotA=tanB,或cotB=tanA. ?一个锐角的余切等于它的余角的正切,即 sin A ? ?8.同角之间的三角函数关系: t an A ? ; ? ③商 ? cos A 2 2 ?①平方和关系:sin A+cos A=1. ? 的关 ? cot A cot A ? . ?② 倒数关系: tan A ? cot A ? 1. 系: ? sin A ?

?①

A

?9.特殊角(300,450,600角)的三角函数值. 特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 锐角α

余弦cosα

正切tanα

余切cotα

300

1 2

3 2 2 2
1 2

3 3
1

3
1

450
600

2 2 3 2

3

3 3
300 450

?10.三角尺三边之间的比值关系:

1 450 1 ┌

2

2
600 1 ┌

3

?11.三角函数的有关计算:
?①由锐角求三角函数值. ?②由锐角的三角函数值反求锐角.

?③运用特殊角(300,450,600角)的三角函数值和

计算器进行计算. ?④由于计算器的型号与功能的不同,按相应的 B 说明书使用. c ?12.解直角三角形: a ┌ ?工具:① a2+b2=c2.② A+B=900. A b C b a b a ?③ sin A ? cos B ? , cos A ? sin B ? , tan A ? cot B ? , cot A ? tan B ? . a c c b
?类型:①已知一边一角解三角形;②已知两边解

三角形.

13.几种模型:根据图中所示数值求AD
?1.
A

?2.
600

A

?3.

A

B 20 C

300

450

┌ D A

B

300 20

C

┌ D A

0 450 60┌ B 20 C D

?4.
B a
α

?5.
4cm

C

β ┌

D

B

450 ┌

?14.三角函数的应用 ?(1)解直角三角形应用题; ?(2)测量物体的高度.

D

300

C

能力测试——独立作业
?

1.《数学专页》第37期.

祝同学们:金榜题名! 愿我们:心想事成!

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