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2014届高三数学《考前指导》4



2014 届高三数学《考前指导》
专题四 不等式、数列
(本专题内容来自必修 5)

一、知识归纳 不等式部分 1、比较大小的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段
判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式) ; (3)分析法; (4)平 方法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量与“0”比, 与“1”比或放缩法 ;(8)图象法。 2、常用不等式:若 a, b ? 0 , (1) a ? b ? a ? b ?
2 2

2 (当且仅当 a ? b 时 1?1 a b 2 2 2 取等号) ; (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等 b b?m 号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) a a?m 2 2 ab ?
3、基本不等式的应用①一正二定三取等;②积定和最小,和定积最大。常用的方法为:拆、 凑、平方;

数列部分 1、数列前 n 项和 S 与第 n 项 a 的关系:
n a

S1 (n =1) an = Sn-Sn-1 (n≥2) 2、等差数列的主要性质: 已知{an},{bn}为等差数列,则: ①{kan},{an}+{bn},{kan+b},(k,b 为常数)等仍成等差数列; ②an=am+(n-m)d (m,n∈N+); ③2an=an-m+an+m; ④如果 m+n=p+q,则 am+an =ap+aq; ⑤如果 Sn 为{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n –Sn, S3n-S2n 成等差数列. ⑥在等差数列{an}中, 若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd, S 奇/S 偶 = an/an+1 ; 若项数为 2n-1,则 S 奇=nan , S 偶 =(n-1)an ,S2n-1 =(2n-1)an ,即 an =S2n-1/2n-1 3、等比数列的主要性质: 已知{an},{bn}为等比数列,则: k n-m ①{kan},{an },{anbn},(k≠0,k 为常数)等仍成等比数列; ②an=am·q (m,n∈N+); 2 ③an =an-m·an+m; ④如果 m+n=p+q,则 am·an =ap·aq; ⑤如果 Sn 为{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n –Sn, S3n-S2n 成等比数列. ⑥在等比数列{an}中,n 为偶数时,S 偶/S 奇=q,n 为奇数时,(S 奇-a1)/S 偶 = q. ⑦特别注意等比数列的前 n 项和公式及推导方法(错位相减)的应用. na1 (q=1) n Sn = [a1(1-q )]/(1-q)(q≠1) 4、能用等差、等比数列的定义进行解题。掌握等差、等比数列的通项公式,求和公式的 推导方法。 (叠加、叠乘法、倒序相加法、错位相减法、裂项法等)

本专题 C 级要求包括:一元二次不等式、基本不等式;等差数列、等比数列



二、考题剖析
例 1. 已知实数 a,b 满足:关于 x 的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切 x∈R 均成立 (1)验证 a=-2 , b=-8 满足题意; (2)求出满足题意的实数 a,b 的值,并说明理由; (3)若对一切 x>2,都有不等式 x2+ax+b≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围。

例 2.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水 从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米.已知流出的水中 该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a、b 各为多 少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A、B 孔的面积忽略不计)



例 3.已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 (1)求通项 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ?
bn (3)求 ( f n) ? (n ? 36)bn ?1

Sn ,求非零常数 c; n?c

n ? N? 的最大值

三、热身冲刺
1. 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn , 且满足:a2 ? a4 ? 65 ,a1 ? a5 ? 18. (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若 1 ? i ? 21 , a1 , ai , a21 是某等比数列的连续三项,求 i 值; (3)是否存在常数 k ,使得数列 { Sn ? kn} 为等差数列,若存在,求出常数 k ;若不存在, 请说明理由.



1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 2 项积记为 Tn . (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ; (2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时,
2 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2011 ,公比 q ? ? (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使 Tn 取得最大值; 其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 d1 , d2 , , dn ,则 数列 {dn } 为等比数列.

四、回归课本
必修 5 P38 11 P42 例 5 P44 习题 12 P50 习题 10 P52 例 5 P60 复习题 8 P78 例 1 P88 例 2 P89 例 2 P94 复习题 13


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