江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第七模拟)
一、填空题:共 14 题
1.若集合 A={x|-1≤x≤1},B={x|y=
},则 A∪B=
.
2.已知复数 z1=3+i,z2=1-2i,则 的模为
.
3.在竞选 2022 年冬奥会的举办国时,若投票人中有女性 8 位,男性 12 位,现用分层抽样的方法从这 20 位投票
人中抽取 5 位,则抽到的女性人数为
.
4.执行如图所示的流程图,若输出的结果为 1,则输入的实数 x 的值为
.
5.已知 f(x)=
,则 f(-2)=
.
6.已知在等比数列{an}中,a1+a2=3,a5+a6=12,则 a9+a10=
.
7.2015 年高考填报志愿时,甲、乙两人约定从 2 所“985”重点大学、4 所一般重点大学中选 1 所填报,且每人
只报 1 所,则他们报同一类重点大学的概率为
.
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8.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )cos(ωx- )- (0<ω<1)的图象关于直线 x= 对称,则函数 f(x)的解析式为
.
9.设过点 M(4,4)的抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,则 F 到双曲线 -y2=1 的渐近线的距离为
.
10.四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,M、N 分别是 PA、PB 的中点,则四棱锥 D-ABNM 与四棱锥
P-ABCD 的体积之比为
.
11.如图,在△ABC 中,E 为 AC 上一点,且
=2
,P 为 BE 上一点,且满足
=m
+n
(m>0,n>0),则 + 取得
最小值时,向量 a=(m,n)的模为
.
12.已知不等式 x2+ x-( )n≥0(n∈N*)在 x∈(-∞,λ]上恒成立,则实数 λ 的取值范围是
.
13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点,点 P 在圆(x-a)2+y2=2 上运
动.若∠MPN 恒为锐角,则实数 a 的取值范围是
.
14.已知函数 f(x)的定义域为 R,函数 y=f(x)log2
是奇函数,f(2)=0,当 x>0 时,f'(x)<
,则不等式
>0 的解集
为
.
二、解答题:共 12 题
15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin(A+ )=2cos A.
(1)若 cosC= ,求证:2a-3c=0;
(2)若 B∈(0, ),且 cos(A-B)= ,求 sin B.
16.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥AB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点,D 为 CC1 的中点,E 为 BC 上一点,且
CE= EB.
求证:(1)DE∥平面 A1MC1; (2)平面 A1MC1⊥平面 B1MC1.
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17.某商会拟在市区投资新建一座大型冷库,冷库的地面设计为如图所示的周长为 300 m 的平面区域,两头是
半圆形,中间区域是矩形 ABCD,冷库的高设计为地面区域两头半圆形半径的 ,冷库内矩形区域 ABCD 对应的
空间用来冷藏物品. (1)求用来冷藏物品的空间容量关于 AB 的长度的表达式; (2)为了让用来冷藏物品的空间容量尽可能大,应该如何设计 AB 与 BC 的长度?并求出最大空间容量.
2 2 18. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,圆 x +y = 与椭圆 C
的四个顶点构成的四边形相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)证明: + 为定值,并求出此定值.
19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn-1=2an-1-3· 2n-1+4(n≥2,n∈N*),设 bn= .
(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{Sn-4}的前 n 项和,求 Tn; (3)是否存在正整数 m,n,使得 bn+bn+1=bm 成立?若存在,求出所有符合条件的正整数 m,n;若不存在,请说明理由.
20.已知 a∈R,函数 f(x)=ax-lnx,g(x)=(4-a)lnx+ .
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若存在 a∈(0,+∞),使得函数 f(x)在(0,e]上的最小值是 3(e 为自然对数的底数),试求 a 的值; (3)试讨论函数 y=2f(x)+g(x)的单调性.
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21.已知直线 l 过圆心 O,交圆 O 于 B,C 两点,点 P 在直线 l 上,且 PA 与圆 O 相切,A 为切点,作 AH⊥PB 于 H.
AH=PC· HB. 求证:PA·
22.设矩阵 M 的逆矩阵 M-1=
,N=
,求 MN.
23.已知圆 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,圆 C2 的参数方程为
(α 为参数),若点 P 在 C1 上,点 Q 在
C2 上,求 PQ 长度的最小值.
24.若关于 x 的不等式|x- |+|x-a|≥a 恒成立,求实数 a 的最大值.
25.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别是 CD,PB 的中点,连接
AM,AN,MN,若 MN=5,AD=3. (1)求异面直线 MN 与 BC 所成角的正弦值; (2)求二面角 N-AM-B 的余弦值.
26.已知函数 f(x)=
,若 f1(x)=f(x),且 fn+1(x)=f(fn(x)),其中 n∈N*.
(1)求 f1(x),f2(x),f3(x); (2)由(1)猜想 fn(x)的表达式,并证明你的猜想正确.
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