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必修5数学基本不等式(教师版)

基本不等式专题训练
一、知识点:
2 2 1. (1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ? a ? b

2

(当且仅当 a ? b 时取“=”)

2. (1)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? ab
2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )
2

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
x x x

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 4.若 ab ? 0 , 则a?b ?2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )
a b a b ? ? 2即 ? ? b a b a a b 2或 ? ? b a 2 -

(当且仅当 a ? b 时取 “=” ) 若 ab ? 0 , 则

(当且仅当 a ? b 时取“=” )
2 2 5.若 a, b ? R ,则 ( a ? b ) 2 ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=” )

2

2

注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们 的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)基本不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用

解题技巧
技巧一:凑项
例 1. 已知 x ?
5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x 1 变式训练 1 当 x>-1 时,求 f(x)=x+ 的最小值. x ?1

当且仅当 5 ? 4 x ?

解:∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+

1 1 1 =x+1+ -1≥2 ( x ? 1) ? -1=1. x ?1 x ?1 ( x ? 1) 1 ,即 x=0 时,取得等号.∴f(x)min=1. x ?1

当且仅当 x+1=

技巧二:凑系数
例 2: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两 个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一 个系数即可。

,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 3 变式 2.1:设 0 ? x ? ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2 当
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ? 解:∵ 0 ? x ? ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 2 ? ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

1 变式 2.2:已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值; 3 1 (1)解法一:∵0<x< ,∴1-3x>0. 3 1 1 3x ? (1 ? 3x) 2 1 1 1 ∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x)≤ [ ]= ,当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成立.∴x= 时,函 3 3 6 6 2 12 1 数取得最大值 . 12 技巧三:加上负号变正数.
例 3 求 f(x)=3+lgx+

4 的最小值(0<x<1). lg x

思路分析:∵0<x<1, ∴lgx<0,

4 <0 不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的方法是加上负号变正数. lg x 4 4 <0.∴>0. lg x lg x
∴(-lgx)+(-

解:∵0<x<1,∴lgx<0,

4 4 )≥2 (? lg x)(? ) =4. lg x lg x

∴lgx+

4 4 ≤-4.∴f(x)=3+lgx+ ≤3-4=-1. lg x lg x 4 (0<x<1)的最小值为-1. lg x

当且仅当 lgx=

1 4 ,即 x= 时取得等号. 100 lg x

则有 f(x)=3+lgx+

变式训练 3.1 已知 x<

5 1 ,求函数 y=4x-2+ 的最大值. 4 4x ? 5
y=4x-5+

解:∵x<

5 ,∴4x-5<0. 4

1 1 1 +3=-[(5-4x)+ ]+3≤-2 (5 ? 4 x) ? +3=-2+3=1. 4x ? 5 5 ? 4x 5 ? 4x

1 ,即 x=1 时等号成立. 所以当 x=1 时,函数的最大值是 1. 5 ? 4x 3 8 变式训练 3.2 当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值. 2 2x ? 3 8 思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是 x· 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧 2x ? 3 1 8 3 3 3 ? 2x 8 ? 对原式变形.可以变为 y= (2x-3)+ + =-( )+ ,再求最值. 2 2x ? 3 2 2 2 3 ? 2x 1 8 3 3 3 ? 2x 8 ? 解:y= (2x-3)+ + =-( )+ , 2 2x ? 3 2 2 2 3 ? 2x 3 ∵当 x< 时,3-2x>0, 2
当且仅当 5-4x= ∴

1 3 ? 2x 8 3 ? 2x 8 3 ? 2x 8 ? ? ≥2 =4,当且仅当 ,即 x=- 时取等号. ? 2 2 3 ? 2x 2 3 ? 2x 2 3 ? 2x

3 5 5 = ? ,故函数有最大值 ? . 2 2 2 技巧四:换元 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 4:求 y ? x ?1 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
于是 y≤-4+

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。 (t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t
当 ,即 时, y ? 2 (x ? 1) ?
变式训练 4 求函数 y=

x 4 ? 3x 2 ? 3 的最小值. x2 ?1

解:令 t=x2+1,则 t≥1 且 x2=t-1.

x 4 ? 3x 2 ? 3 (t ? 1) 2 ? 3(t ? 1) ? 3 t 2 ? t ? 1 1 ? ? t ? ? 1. ∴y= = 2 t t t x ?1
∵t≥1,∴t+ ≥2 t ?

1 t

1 1 =2,当且仅当 t= ,即 t=1 时,等号成立. t t

∴当 x=0 时,函数取得最小值 3.

技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例 5:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。
1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

1

x2 ? 4

1 1 因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 t t 1 5 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 。 t 2

?5 ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 ?2 ?

技巧六:整体代换(利用“1 的代换)
1 9 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

解:解法一:利用“1 的代换”,
? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
a b ? =1,x+y 的最小值为 18,求 a,b 的值. x y

变式训练 6 已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10, 思路分析:本题属于“1”的代换问题. 解:x+y=(x+y)(

a b bx ay bx ay ? )=a+ ? ? +b=10+ . x y y x y x
∴x+y≥10+2 ab =18,即 ab =4. ∴?

∵x,y>0,a,b>0, 又 a+b=10,

?a ? 2, ?a ? 8, 或? ?b ? 8 ?b ? 2.

技巧七、取平方 例 7: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?
3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。


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