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高三数学复习专题47立体几何中的向量方法Ⅰ


学案 47 【导学引领】 (一)考点梳理 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直 1.直线的方向向量与平面的法向量 → (1)直线的方向向量:l 是空 间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l 的 → 方向向量,与AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:可利用方程组求出,设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量的方程组为? 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)? v1∥v2. (2)设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l ? α ?存在两个实数 x,y,使 v=xv1+yv2. (3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l? α ?v⊥u. (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α ∥β ?u1∥u2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1 ⊥v2?v1·v2=0. (2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α ?v∥u. (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α ⊥β ?u1⊥u2?u1·u2=0. ②向量法. ? ?n·a=0, ? ?n·b=0. 【自学检测】 1.已知两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则 l1 与 l2 的位置关系是________. 2.已知平面 α 内有一个点 M(1 ,-1,2),平面 α 的一个法向量是 n=(6,-3,6),给 出下列四个 P 点,则点 P 在平面 α 内的是________. ①P(2,3,3); ②P(-2,0,1); ③P(-4,4,0); ④P(3,-3,4). → → → → → → 3.已知点 A,B,C∈平面 α ,点 P?平面 α ,则AP·AB=0,且AP·AC=0 是AP·BC=0 的________条件. 1 4.已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4 ,-6,2),则下列给出的四个结论. ①a∥c,b∥c;②a∥b,a⊥c;③a∥c,a⊥b;④以上都不对. 其中正确结论的序号是________. → → 5.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量是________. 【合作释疑】 利用空间向量证明平行问题 【训练 1】 如图所示,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点.求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF. 【训练 2】 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA =AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG. 利用空间向量证明垂直问题 【 训练 1】 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ A BC=60°, 2 PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

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