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高中数学第三章概率3.3.1几何概型课件1新人教B版必修3_图文

【课标要求】 1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型 的概率. 【核心扫描】 1.几何概型的特点及概念.(重点) 2.应用几何概型的概率公式求概率.(难点) 3.应用几何概型概率公式时需注意基本事件 的形成过程.(易错点) 自学导引 几何概型 1. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 面积 ______ 长度 或______) 体积 成比例,则称这样的概率模型为 (_____ 几何概型. 几何概率模型,简称_________ 概率公式 2. 在几何概型中,事件 A 的概率计算公式如下:P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? ____________________________________________. 几何概型的概率计算与构成事件的区域 形状有关吗? 提示 几何概型的概率只与它的长度(面 积或体积)有关,而与构成事件的区域形 状无关. 名师点睛 1. 几何概型概率的适用情况和计算步骤 (1)适用情况: 几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个 试验结果的情况,每种结果的出现也要求必须是等可 能的.而且事件发生在一个有明确范围的区域中,其 概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例. (2)计算步骤: ①判断是否是几何概型,尤其是判断等可能性,比古 典概型更难于判断. ②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区 域的几何度量(长度、面积或体积).这是计算的难点. ③利用概率公式计算. 几何概型的处理方法 2. 有关几何概型的计算的首要任务是计算事件A包含的基本 事件对应的区域的长度、角度、面积或体积,而这往往很 困难,这是本节难点之一,实际上本节的重点不在于计算, 而在于如何利用几何概型,把问题转化为各种几何概型问 题,为此可以参考以下办法:①适当选择观察角度(原则 是基本事件无限性、等可能性);②把基本事件转化为与 之对应的区域;③把随机事件A转化为与之对应的区域; ④利用概率公式给出计算;⑤如果事件A的对应区域不好 处理,可以用对立事件概率公式逆向思考. 题型一 与长度有关的几何概型 【例1】 如图A,B两盏路灯之间的距离 是30米,由于光线较暗,想在其间 再随意安装两盏路灯C、D,问A与 C,B与D之间的距离都不小于10米 的概率是多少? [思路探索] 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一 个基本事件,基本事件有无限多个,且每一个基本事件 的发生都是等可能的,因此事件发生的概率只与长度有 关,符合几何概型条件. 解 记 E: “A 与 C, B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”, 1 把 AB 三等分, 由于中间长度为 30× =10(米), 所以 P(E) 3 10 1 = = . 30 3 规律方法 将每个事件理解为从某个特定的几 何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取 到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理 解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的 点,这样的概率模型就可以用几何概型来求 解. 题型二 与面积有关的几何概型 【例2】 一只海豚在水池中自由游弋,水池为长30 m,宽20 m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸 边不超过2 m的概率. [思路探索] 海豚在水池中自由游弋,其位 置有无限个,且在每个位置是等可能的,故 这是几何概型问题,海豚游弋区域的面积与 水池面积之比就是所求的概率. 解 如图所示,区域Ω是长30 m、 宽20 m的长方形.图中阴影部分表 示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”,问题可以理解为求海豚嘴尖 出现在图中阴影部分的概率. 由于区域Ω的面积为30×20=600(m2),阴影部分 的面积为30×20-26×16=184(m2). 184 23 所以 P(A)= = ≈0.31. 600 75 即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31. 规律方法 此类几何概型题,关键是要 构造出随机事件对应的几何图形,利用 图形的几何特征找出两个“面积”,套 用几何概型公式,从而求得随机事件的 概率. 题型三 与体积、角度有关的几何概型 【例3】 已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a,在 正方体内随机取一点M. (1)求点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率; a (2)求点 M 与平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于 的 3 概率; 1 3 (3)求使四棱锥 M -ABCD 的体积小于 a 的概率. 6 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何 量之间的度量关系,再利用相关公式求出其概率. [规范解答] (1)棱长为 a 的正方体的体积 V= a3. 1 3 由正方体的性质可知 VB1- A1BC1= a . 6 ∴点 M 落在三棱锥 B1-A1BC1 内的概率为 VB1- A1BC1 1 P= = . (4 分 ) V 6 (2)∵两平行平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离为 a,∴点 M a 1 距离平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于 的概率为 . 3 3 (8 分 ) 1 2 1 3 (3)设点 M 到平面 ABCD 的距离为 h,由题意,得 a h< a , 3 6 a ∴ h< . 2 1 3 1 ∴使四棱锥 M- ABCD 的体积小于 a 的概率为 . (12 分 ) 6 2 【题后反思】 分清题中的条件,提炼 出几何体的形状,并找出总体积是多 少.以及所求的事件占有的几何体是什 么几何体并计算出体积. 方法技巧 数形结合思想 数形结合的思想的实质就是把抽象的 数学语言、数量关系和直观的图形结 合起来.包含“以形助数”和“以数 辅形”两个方面.在本节中把几何概 型问题利用坐标系转化成图形问题(或 符合条件的点集问题)去解决.

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